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绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考
数学参考答案及评分标准
一、 单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B C D D A
二、 多选题
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
三、 填空题
12、 13、 0 14、
四、解答题
15.
（1）由余弦定理知
…………………………………………………….……..3分
又 故 ； ……………………………………………………….…..6分
（2）由三角形的面积公式
从而 ， …………………………………….……..8分
若 , ， ……………10分
若 ， ， …12分
从而 …………………………………..13分
16.（1）因为 ，
当 时， ，解得 ；………………………………………………...2分当 时， ，所以 ，所以 ;………4分
所以{a }是以 为首项， 为公比的等比数列，
n
所以 . …………………………………………………………………….6分
（2）由（1）可得 ，
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，………………………………………10分
所以当 时 取得最大值为 ，当 时 取得最小值为 ，
因为 ， 恒成立，
所以 ，解得 ，………………………………………………… …...14分
所以 的取值范围为 . …………………………………………………………...15分
17.（1）由 ， ，
，
……………………… …….3分所以
……………………………………....7分
因为 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合 与 的关系．
（2）由题意可得： ，….11分
所以 关于 的回归直线方程为 ．
………………………………………….…………..13分
当 时， ，
由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 ……………………………..…15分
18. （1）
………………………………………………………………..….2分
故 在 处的切线方程为 ，即 …………………4分
（2） ，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ， …………………………………………………….……6分
现在只需证明当 时 ，事实上，
于是 ………………………………………………………………….8分
即存在实数 使得 是 的对称中心. ………………………………………. .9分（3） ，
3.1）当 时，
时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减， ………………………………………………..10分
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ，而 ，根据零点存在定理 在 上有一个零点；
i)若 ，即 ， 在 无零点，从而 在 上有1个
零点；
………………………………………………………….11分
ii)若 ，即 ， ， 在 有一个零点,
，故 在 有一个零点，从而 在 上
有3个零点；
……………………………………………………………12分
iii)若 ，即 ， 在 有一个零点，从而 在 上有2个
零点；
……………………………………………………………..13分
3.2)当 时， 在 上单调递增， ， 时， ，从
而 在 上有一个零点； …………………………………………………….....14分
3.3）当 时， 时 ，故 在 上单调
递增， 时， ， 单调递减. ………………………….15分而 ， ，故 在 无零点，又
，由 ，故 ，
，从而 在 有一个零点，从而 在 上有一个零点.
………………………………………………..…..16分
综上：当 时， 在 上只有1个零点； 时， 在 上有2个零点；
时 在 上有3个零点。
…………………………………..17分
19.（1）当 时， ，
， ……………………………….……………..2 分
当 ，即 时，f'(x)>0，
故 单调递增区间为 ； ………………………………………………………4分
（2） ，令 ，即 ，
令 ， ，则 、 是方程 的两个正根，……………………...6分
则 ，即 ， ………………………..…8分
有 ， ，即 ，………………………………………...……..10分
（3），……………………………………………………………………….12分
要证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 在(0,4)上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，…………………………..13分
则当x∈(0,x )时， ，当 时， ，
0
故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 ，………………15分
又 ，则 ，故 ，
即g(x)<0，即 . ………………………………………..17分
