文档内容
★ 保密·启用前
★
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求．
1．已知全集 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 的虚部是
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，则
A． B． C． D．
5．在等比数列 中， ， ，则
A． B．
高三数学试题 第 1 页 （共 7 页）C． D．
6．已知函数 的定义域均为 ， ， 且
，则
A． B． C． D．
7．在直角三角形 中， ， 的重心、外心、垂心、内心分别为 ，若
（其中 ），当 取最大值时，
A． B． C． D．
8．已知函数 在区间 上有且仅有 个极大值点，则正实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，且 的反函数为 ，则
A． ，且 且定义域是
B．若 ，则
C．函数 与 的图象关于直线 对称
D．函数 与 的图象的交点个数可能为
10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各 个，从中不放回的依次取出 个球，事件
“取出的两球同色”，事件 “第一次取出的是白球”，事件 “第二次取出的是白
球”，事件 “取出的两球不同色”，则
高三数学试题 第 2 页 （共 7 页）A． B． 与 互斥
C． 与 相互独立 D． 与 互为对立
11．等差数列 与 的前 项和分别是 与 ，且 ，则
A． B．
C． 的最大值是 D． 最小值是
12．中华人民共和国国旗是五星红旗．国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中
隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中
每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为 的等腰三角形，其
底边与一腰的长度之比为黄金比 ；一种是顶角为 的等腰三角形，其一腰与底边
的长度之比为黄金比 ．如图，正五角星 中， ，记 ，则
A
A．
B G F E
B．
H J
I
C． 在 上的投影向量为
C D
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个
空填对得3分．
13．已知 ，则 的最小值为 .
14．已知 ，则 .
15．吉林市一中学有男生 人，女生 人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时
间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取 名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均
值分别为 分钟和 分钟，方差分别为 和 .结合上述数据估计该校学生每天读书时间
高三数学试题 第 3 页 （共 7 页）的平均值为 分钟，方差为 ．
16．已知函数 若函数 有 个零
点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量 ．
（Ⅰ）若 且 ，求 ；
（Ⅱ）若函数 ，求 的单调递增区间．
18．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ， ， .
（Ⅰ）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，
①求数列 的通项公式；②求 ；
高三数学试题 第 4 页 （共 7 页）（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ．
20．（本小题满分12分）
近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领
先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生
Q
产商用某国产光刻机生产的 型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯
片的某项指标的频率分布如图所示：
Ⅰ级品 Ⅱ级品
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的产品应用于 型手机，
A
小于或等于 的产品应用于 型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相
B
应事件发生的概率．
Q
（Ⅰ）求 型芯片Ⅰ级品该项指标的第 百分位数；
Q
（Ⅱ）当临界值 时，求 型芯片Ⅱ级品应用于 型手机的概率；
（Ⅲ）已知 ，现有足够多的 型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于 型手机、 型
手机各 万部的生产：
方案一：直接将 型芯片Ⅰ级品应用于 型手机，其中该指标小于等于临界值 的芯
片会导致芯片生产商每部手机损失 元；直接将 型芯片Ⅱ级品应用于 型手机，
其中该指标大于临界值 的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失 元；
方案二：重新检测 型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共
需要 万元；
高三数学试题 第 5 页 （共 7 页）请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
21．（本小题满分12分）
已知 的三个角 的对边分别为 ， ， ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，在 的边 和 上分别取点 ，将 沿线段 折叠到平面
后，顶点 恰好落在边 上（设为点 ），设 ，当 取最小值时，求
的面积．
C
E
D
A P B
22．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在 上单调递增，求正实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证：当 时， 在 上存在唯一极小值点 ，且 ．
高三数学试题 第 6 页 （共 7 页）命题、校对：数学学科中心组
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