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2024-2025 学年山东省东营市高二上学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( )
C7 C10−C0 =
10 10 10
A. 119 B. 120 C. 1199 D. 1200
2.已知直线l 的斜率为−1，直线l 的倾斜角比直线l 的倾斜角小30∘，则直线l 的斜率为( )
1 2 1 2
−2+√3 −2−√3
A. −2+√3 B. −2−√3 C. D.
2 2
3.平面α的斜线AB交平面α于点B，过定点A的动直线l与直线AB垂直，且交平面α于点C，那么动点C的
轨迹是( )
A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线
4.已知 P(1,2) 是直线 l 上一点，⃗ v=(3,−4) 是直线 l 的一个法向量，则直线 l 的方程为( )
A. 4x+3 y+5=0 B. 4x−3 y+5=0 C. 3x−4 y+5=0 D. 3x+4 y+5=0
5.如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
==120∘，|AP|=3 ，若 AO=AB+AC ，则|OP|=( )
A. 2√10 B. √37 C. 6 D. √35
6.已知 ，则 ( )
(x2−x−1) 5=a +a (x−1)+a (x−1) 2+⋯+a (x−1) 10 a +a +⋯+a =
0 1 2 10 1 2 10
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
7.已知三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，侧棱 底面 ，且 ，则异
ABC−A B C 2 A A ⊥ ABC A A =√2
1 1 1 1 1
面直线A B，AC 所成角的大小为( )
1 1
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
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1 18.若直线 与椭圆 x2 y2 交于 ， 两点，点 满足 ，
x+3 y−2m=0 C: + =1(a>b>0) A B P(m,0) |PA|=|PB|
a2 b2
则椭圆C的离心率为( )
√109 √110 √111 4√7
A. B. C. D.
11 11 11 11
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若α//β，m⊥α，n//β，则m⊥n
C. 若m，n异面，m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β
D. 若m⊥n，m//α，α//β，则n⊥β
10.将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有( )
A. 男生不在头尾的不同排法有2400种
B. 男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种
C. 假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同
的排法有20种
D. 2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种
11.已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且|OP|2=λ+μd2，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹
称为(λ,μ)曲线，则下列说法正确的是( )
A. (λ,μ)曲线一定都关于坐标轴对称
B. (7,2)曲线的离心率为2
1
C. 若( ,μ)曲线为焦点在y轴上的椭圆，则μ的取值范围是(0,1)
2
D. 设曲线Ω为(2,−1)曲线，曲线Ω与x轴交于A，B两个不同的点，M ，M ，M ，M ，M 是线段AB
1 2 3 4 5
的6等分点，分别过这五个点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交曲线Ω于点P ，P ，⋯，P ，则AP ，
1 2 10 1
1
AP ，⋯，AP 这10条直线的斜率的乘积为−
2 10 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.(1+2x2 )(x+ ) 4的展开式中常数项为 .(用数字作答)
x
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2 113.已知直线x−y+1=0与圆C:x2+ y2−4x−2y+m=0交于A，B两点，|AB|=2√2，则过点P(4,4)
的圆C的切线长为 ．
14.已知平面ABC⊥平面α，线段AB在平面α内，D为线段AB的中点，|AB|=2√2，∠CDB=45∘，点
P为α内的动点，且点P到直线CD的距离为√2，则动点P的轨迹Γ的离心率为 ，如果CD=√2，在平
面α内过点B的直线与Γ交于M，N两点，则三棱锥C−AMN的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
下图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽4m.那么当水面下降
1m后．
(1)水面的宽为多少?(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AB的中点为G，
PD的中点为F
(1)证明：AF//平面PGC;
(2)若直线FC与平面ABCD所成的角为30∘，求点B到平面PGC的距离．
17.(本小题15分)
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3 1已知双曲线
x2 y2
的左、右焦点分别为 ， ，且 ，点 在双
C: − =1(a>0,b>0) F F |F F |=2√5 (√2,2)
a2 b2 1 2 1 2
曲线C上．
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(M在第一象限)，记
直线 ， 的斜率分别为 ， ，判断k 是否是定值，若是定值，请求出此定值 若不是定值，请说明
AM BN k k 1 ;
1 2 k
2
理由．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3，
AB=AD=2，PB=√13，E为PD中点，点F在PC上，且PC=3FC．
(1)求证：AB⊥平面PAD;
(2)求二面角F−AE−D的余弦值;
(3)线段AC上是否存在点Q，使得DQ//平面FAE?若存在，求线段AQ的长;若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆 x2 y2 的离心率为√2，直线 与椭圆 交于 ， 两点．
C: + =1(a>b>0) y=kx(k>0) C A B
a2 b2 2
(1)若点P为椭圆C上异于点A，B的点．
①若直线AP，BP斜率分别为k ，k ，求证：k k 为定值;
1 2 1 2
②若直线AP⊥AB，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线．
(2)设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线x−y=0的对称点为点N，直线AB与直线
|AQ| √6−√2
MN交于点Q，且 = ，求直线AB的方程．
|NQ| 2sin∠NOQ
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4 1参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.B
6.B
7.D
8.B
9.BC
10.AC
11.ACD
12.14
13.3
√2 2√2
14. ；
2 3
15.解：(1)以顶点O为坐标原点建立如图所示坐标系，设方程为x2=−2py(p>0)，
因为(2,−2)在抛物线上，代入x2=−2py得p=1，所以抛物线方程为x2=−2y，
令y=−3，解得x=±√6，水面的宽为2√6m.
(2)设P(x,y)为抛物线上动点，则水面中心A(0,−3)到抛物线上的点距离为：
d=√x2+(y+3) 2=√−2y+(y+3) 2=√y2+4 y+9=√(y+2) 2+5 ，
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5 1所以d =√5．
min
故此时水面中心到抛物线上的点距离的最小值为√5m
1
16.(1)证明：设PC的中点为H，连结FH，HG.因为FH//CD，FH= CD，AG//CD，
2
1
AG= CD，
2
所以FH//AG，FH=AG，所以四边形AGHF为平行四边形，
则AF//GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC，所以AF//平面PGC．
(2)因为PA⊥平面ABCD，取AD的中点M，连结FM，CM，
则FM//PA，FM=1，所以FM⊥平面ABCD，
π
所以∠FCM为FC与平面ABCD所成的角，故∠FCM= ，在RtΔFCM中，CM=√3，
6
π
在△DCM中，CD=2，DM=1，所以CM2+DM2=CD2，所以CM⊥AD.所以∠CDM= ．
3
因为PA⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD.所以PA⊥CG，
又因为CG⊥AB，PA、AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，所以CG⊥平面PAB．
又因为PG⊂平面PAB，所以CG⊥PG．
√15
在在RtΔPCG中，CG=√3，PG=√5，所以S = ．
△PCG 2
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6 1√3
在在Rt△BCG中，CG=√3，BG=1，所以S = ，
△BCG 2
S |PA| 2√3 2√5
由V =V ，得点B到平面PGC的距离d= ΔBCG = = ．
三棱锥B−PCG 三棱锥P−BCG S √15 5
ΔPCG
{a2+b2=5
17.解： 依题意， ，
(1) 2 4
− =1
a2 b2
解得a2=1，b2=4，
y2
故双曲线C的方程为x2− =1．
4
(2)设直线l的方程为x=my+2，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由{ x=my+2 整理得 ，
(4m2−1)y2+16my+12=0
4x2−y2=4
，
Δ=256m2−48(4m2−1)=64m2+48>0
16m 12
由韦达定理得：y + y =− ，y y = ，
1 2 4m2−1 1 2 4m2−1
3
得：m y y =− (y + y )，
1 2 4 1 2
由题 y ， y ，
k = 1 k = 2
1 x +1 2 x −1
1 2
所以k y (x −1) y (my +1)
1= 1 2 = 1 2
k y (x +1) y (my +3)
2 2 1 2 1
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7 13 1 3
− (y + y )+ y y − y
4 1 2 1 4 1 4 2 1
= = =− ，
3 3 9 3
− (y + y )+3 y − y + y
4 1 2 2 4 1 4 2
所以k 是定值，k 1．
1 1=−
k k 3
2 2
18.解：(1)在△PAB中，PA2+AB2=PB2，
π
所以∠PAB= ，即AB⊥PA，又因为AB⊥AD，
2
在平面PAD中，PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．
(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，又PA⊂平 面P,所A以B AD⊥PA，
由(1)已证AB⊥PA，且已知AB⊥AD，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系A−xyz，
则D(2,0,0)，P(0,0,3)，C(3,2,0)．
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
所以AP=(0,0,3) ，AD=(2,0,0) ，AC=(3,2,0) ，CP=(−3,−2,3) ，
因为E为PD中点，
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8 1⃗ 1 ⃗ ⃗ 3
所以AE= (AD+AP)=(1,0, )，
2 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ 4
由点F在PC上，且PC=3FC知，AF=AC+CF=AC+ CP=(2, ,1)，
3 3
3
{⃗ ⃗ { x+ z=0
n·AE=0 2
设平面AEF的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，即 ，
⃗ ⃗ 4
n·AF=0 2x+ y+z=0
3
⃗
令z=2，则x=−3，y=3，于是n=(−3,3,2) ，
⃗
又因为由(1)已证AB⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为AB=(0,2,0) ，
⃗ ⃗
⃗ n·AB 3×2 3√22
⃗ ，AB⟩= = = ，
cos⟨n
⃗ ⃗ 2×√22 22
|n||AB|
3√22
由题知，二面角F−AE−D的平面角为锐角，所以其余弦值为 ．
22
⃗ ⃗
(3)设Q是线段AC上一点，则存在λ∈[0,1]使得 AQ=λAC ，
⃗ ⃗
因为AC=(3,2,0) ，DA=(−2,0,0) ，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
所以DQ=DA+AQ=DA+λAC=(3λ−2,2λ,0) ，
DQ⊄平面AEF，所以要使DQ//平面AEF，
当且仅当 D ⃗ Q· ⃗ n=0 ，即(3λ−2,2λ,0)·(−3,3,2)=0，
整理得：(3λ−2)×(−3)+6λ=0，解得λ=2，
因为λ=2∉[0,1]，所以线段AC上不存在点Q，使得DQ//平面AEF．
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9 1√2
19.解：(1)因为椭圆离心率为 ，所以a2=2b2．
2
设 ，则
，则x2 y2
，解得： ．
A(x ,y ) B(−x ,−y ) 0+ 0=1 x2=2b2−2y2
0 0 0 0 a2 b2 0 0
设 ，则m2 n2 ，整理得 ．
① P(m,n) + =1 m2=2b2−2n2
a2 b2
k k =
y
0
−n
×
−y
0
−n
=
y2
0
−n2
=
y2
0
−n2
=−
1．
1 2 x −m −x −m x2−m2 (2b2−2y2 )−(2b2−2n2 ) 2
0 0 0 0
依题意得： ， y ，
② D(x ,0) k = 0
0 AB x
0
{k k =−1
AB 1 y y
因为 所以 ，即： ．
1 k = 0 k = 0
k k =− 2 2x BP 2x
1 2 2 0 0
而 −y y ，
k = 0 = 0
BD −x −x 2x
0 0 0
所以k =k ，故B、P、D三点共线．
BP BD
b kb
(2)依题意得：MN方程为y=−x+b，与y=kx联立得：Q( , ).
k+1 k+1
|NQ| |OQ|
= =√2|OQ|
在△ONQ中，由正弦定理可得：sin∠NOQ π ，
sin
4
|AQ| √6−√2
又| = ，
|NQ| 2sin∠NOQ
所以|AQ|=(√3−1)|OQ|，即|OA|=√3|OQ|，
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10 1√3b √3kb
所以A点的坐标为A( , )，
k+1 k+1
代入椭圆方程： 3b2 3k2b2 ，解得 1．
+ =1 k=
2b2 (k+1) 2 b2 (k+1) 2 2
1
故直线AB的方程为y= x
2
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11 1
