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2025 届新高三暑期效果联合测评答案
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A D C C D B CD ABD AC
填空题：
12. 13 14.
解答题：
15.（本小题13分）
已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析
【详解】（1）由 ， ，
得 ，又 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， .
（2）证明：因为
，
所以
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.
16.（本小题15分）
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，所以 ,
， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ，
由 得 ，
的图象有2个交点，
令 ，
，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ，
且 时， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 时， ，所以 的大致图象如下，
所以若函数 有两个零点，
则 ，
所以实数 的取值范围为 .
17.（本小题15分）
如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 平面
ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为5，求BQ的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）取 的中点M，连接MP，MB，如图，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在四棱台 中，四边形 是梯形， ，
又点M，P分别是棱 的中点，所以 ，且 ．
在正方形ABCD中， ，又 ，所以 ．
从而 且 ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）在平面 中，作 于O．
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面ABCD．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则 ．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ．
因为四边形 是等腰梯形， ，所以
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，所以 ．
易得 ，
所以 ．
设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，
令 ，可得 ，另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 平面角为 ，由题意得 ．
又 ，所以 ，
解得 （舍负），因此 ．
所以当二面角 的正切值为5时，BQ的长为1．
18.（本小题17分）
为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：
3 8
消费（单元：美元） 40 50 63 100 133
2 6
小费（单位：美元） 5 6 7 9 8 9 12
相关公式： ， ．
参考数据： ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求小费 （单位：美元）关于消费 （单位：美元）的线性回归方程 （其中 的值精确到
0.001）；
(2)试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的小费（结果精确到整数）？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意可得 ，
，
，
；
，
，
关于 的线性回归方程为 ；
（2）由（1）可得当 时， ；
估计消费200美元时，要付 美元的小费．
19.（本小题17分）
已知抛物线 ： ，圆 ： ， 为坐标原点.
(1)若直线 ： 分别与抛物线 相交于点A， （ 在B的左侧）、与圆 相交于点S，
（S在 的左侧），且 与 的面积相等，求出 的取值范围；
(2)已知 ， ， 是抛物线 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中 ， 均与圆 相切，
请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)
(2)是，定值为1.
【详解】（1）因为 与 的面积相等，且 与 的高均为原点到直线 的距离，
所以 ，则 ，
设 ， ， ， ，
则 ，即 ，
直线 ： 代入抛物线 ，得 ，
因为直线 与抛物线交于 ， 两点，
所以 ，则 ，
直线 ： 代入圆 ： ，
得 ，
因为直线 与圆于S，T两点，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又 ，则 ，
将其代入 得 ，解得 ；
将其代入 得 ，解得 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上， 的取值范围为 .
（2）由题，易知直线 ， ， 斜率一定存在，
设 ， ， ，
则 ，
则直线 的方程为： ，
即 ，即 ，
因为圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，则 ，
平方化简得： ，
看成关于 ， 为变量的式子得： ，
同理得直线 与圆C相切，化简式子后得： ，
所以可以同构出直线 的方程为： ，
所以圆心 到直线 的距离为：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
此时圆心 到直线 的距离为定值，定值为 .
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