文档内容
2023 年 11 月绍兴市选考科目诊断性考试
数学试题
本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共 6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3
至6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在
试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题
卷上的作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 A，B，则
的最小值是（ ）A. B. C. D.
7.已知数列 满足 ，且 ，则下列说法中错误的是（ ）
A.若 ，则 是等差数列
B.若 ，则 是等差数列
C.若 ，则 是等比数列
D.若 ，则 是等比数列
8.已知定义在 上的奇函数 满足 ，则对所有这样的函数 ，由下列条件一定能得
到 的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆 ： 和圆 ： ，则（ ）
A.圆 的半径为4
B. 轴为圆 与 的公切线
C.圆 与 公共弦所在的直线方程为
D.圆 与 上共有6个点到直线 的距离为1
10.由变量 和变量 组成的 10 个成对样本数据 得到的经验回归方程为
，设过点 ， 的直线方程为 ，记 ， ，则（
）
A.变量 ， 正相关
B.若 ，则C.经验回归直线 至少经过 中的一个点
D.
11.已知函数 ，则（ ）
A. B. 恰有5个零点
C. 必有极值点 D. 在 上单调递减
12.已知椭圆 的左项点为 ，上、下顶点分别为 ， ，动点 ， 在椭圆上
（点P在第一象限，点Q在第四象限），O是坐标原点，若 的面积为1，则（ ）
A. 为定值 B.
C. 与 的面积相等 D. 与 的面积和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的展开式中 的系数为___________（用数字作答）.
14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB
（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的
数据量为 0.500ZB，2010 年增长到 1.125ZB.若从 2008 年起，全球产生的数据量 P 与年份 的关系为
，其中 ， 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的___________倍.
15.过正三棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 ，若三棱锥， 与三棱
台 的表面积之比为 ，则直线 与底面 所成角的正切值为___________.
16.已知等比数列 满足 且 ，则 的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求B的大小；
（2）若 ， ，求 .
18.（12分）
已知等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 前 项的乘积，若 ，求 的最大值.
19.（12分）
如图， 为正三角形， 平面 ， 平面 ， ， ，点F，P分
别为 ， 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）证明：直线 与直线 相交；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
20.（12分）
已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，都有 ，求 的取值范围.
21.（12分）机器人甲、乙分别在A，B两个不透明的箱子中取球，甲先从A箱子中取2个或3个小球放入B箱子，然后乙
再从B箱子中取2个或3个小球放回A箱子，这样称为一个回合.已知甲从A箱子中取2个小球的概率为 ，
取3个小球的概率为 ，乙从B箱子中取2个小球的概率为 ，取3个小球的概率为 .现A，B两个箱子各
有除颜色外其它都相同的6个小球，其中A箱子中有3个红球，3个白球；B箱子中有2个红球，4个白球.
（1）求第一个回合甲从A箱子取出的球中有2个红球的概率；
（2）求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；
（3）两个回合后，用X表示A箱子中小球个数，用Y表示B箱子中小球个数，求 的分布列及数学期望.
22.（12分）
已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线的左、右两支分别交于点A，B.
（1）当直线 的斜率为 时，求 ；
（2）是否存在定点 ，使得 ?若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明
理由.
2023 年 11 月绍兴市选考科目诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BD 10.ABD 11.BCD 12.ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.-8 14.1.5 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（本题满分10分）
解：（1）因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
18.（本题满分12分）
解：（1）设 的公差为 ，由 得 ；
由 ， ， 成等比数列，得 ，即 ，
整理得 .
由 解得 或
所以， 的通项公式为 或 .
（2）因为 ，所以 .
所以，当 时， ；当 时， .
从而 ， ， ， ， ，
又因为 ， ，
所以， 的最大值为 .
19.（本题满分12分）
（1）证明：取 中点 ，连接 ， ， ， ，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以 ， ，则四边形 为平行四边形，所以 ， .
因为点 在线段 上，且 ，所以 是 的中点，
又因为点 是 的中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
即 ， 共面，且 ， 长度不等，
所以直线 与直线 相交.
（2）解法1：
由（1）知，平面 即为平面 .
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 为正三角形，点 是 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 ，所以 平面 ，
所以 为平面 与平面 的夹角，
不妨设 ，则 ， ， ，所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
解法2：
因为 平面 ，所以 ，因为 为正三角形，所以 ，
所以 平面 ，又 ，所以 平面 .
以F为原点，以 ， ， 所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
取 .
设平面 的一个法向量为 ，则 即
取 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20.（本题满分12分）
解：（1）当 时， ， ，
因为 ， ，
所以，曲线 在 处的切线方程是 ，即 .
（2）因为 ，都有 ，所以 ，
设 ，则 .
记 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以， .
21.（本题满分12分）
解：（1）在第一个回合中，记事件 表示“甲从 箱子中取出2个球”，事件 表示“甲从 箱子中取出
3个球”，事件C表示“甲从 箱子取出的球中有2个红球”，则
.
（2）第一个回合后，A箱子和B箱子中小球个数相同，即甲从A箱子中取出小球的个数与乙从B箱子中取出
小球的个数一样，所以， .
（3）每个回合后
A，B两个箱子小球个数不变的概率 ，
A箱子比B箱子小球个数少2个的概率 ，
A箱子比B箱子小球个数多2个的概率 .
两个回合后， 的所有可能值为-4，-2，0，2，4.
，
，
，，
.
所以随机变量 的分布列为
-4 -2 0 2 4
所以， .
22.（本题满分12分）
解：（1）直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 得 ，所以 ， ，
所以， .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又由 得 ，所以 .
设 ， ，直线 的方程为 ，其中 ，
由 得 ，所以 ， .
因为 ， ， ，
所以 ，
，
所以 ，
整理得 ，
将 ， 代入上式，整理得 ，
所以 .
经检验，存在 ，使得 .
