2025届河北省沧州市运东五校高三11月期中考-数学试卷+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_11262025届河北省沧州市运东五校高三11月期中考

河北省沧州市运东五校 2024-2025 学年高三上学期 11 月期中考试数学 试题 考生注意： 1.本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288， 则这组数据的上四分位数为（ ） A.290 B.295 C.300 D.330 2. 已知数列  a  是无穷项等比数列，公比为q，则“q 1”是“数列  a  单调递增”的（ ） n n A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 x2 y2 3. 已知圆C:x2  y2 10y210与双曲线  1(a0,b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心 a2 b2 率是 5 5 A. 2 B. C. D. 5 3 2 4. 已知向量a   0,2  ，b   1,t ，若向量b  在向量a  上的投影向量为 1 a  ，则a  b  （ ） 2 5 11 A. 2 B.  C.2 D. 2 2 5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底 蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊 画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬” 的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了 ABD（如图乙），测得 △ 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司AB 3,BD 4,AC  AD 2 ，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） 1 11 3 15 11 A B. C. D. . 2 14 16 16 6.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿 色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段 传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后 一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.48 5  sincos cos2 7. 已知是三角形的一个内角，满足cossin ，则 （ ） 5 sin 2 9 2 9 A.  B.  C. D. 5 10 5 10 x2 y2 8. 已知椭圆C：  1  ab0 的焦点分别为F ，F ，点A在C上，点B在 y 轴上，且满足 a2 b2 1 2    2 AF  BF ，AF  F B，则C的离心率为（ ） 1 1 2 3 2 1 2 3 5 A. B. C. D. 2 2 3 5 二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 810i 9. 已知复数z 13i，z  2i 2，z  ，则（ ） 1 2 3 1i A. z  z  47i B. z ,z ,z 的实部依次成等比数列 1 2 1 2 3 C. 10 z 2 z D. z ,z ,z 的虚部依次成等差数列 1 2 1 2 3 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 π 10. 已知函数 f  x  Asin x A0,0, 的部分图象如图所示．则（ ）  2  π  A. f (x)的图象关于  ,0中心对称  12  5π  B. f (x)在区间  ,2π  上单调递增  3  C. 函数 f  x  的图象向右平移 π 个单位长度可以得到函数g ( x )=2sin2x的图象 6 1 π D. 将函数 f (x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数h(x)2sin(4x )的图象 2 6  π π  5π  11. 定义在R上的函数 f  x  满足 f x  bb f  x，bR， f(x) f  x.若  3 3   3  f x  g  x  ，记函数 f  x  的最大值与最小值分别为 f  x  、 f  x  ，则下列说法正确的是（ ） max min 2π  A. 2π为 f  x  的一个周期 B. g(x)g x 0  3  π 5π C. 若 f(x)  f(x) 2，则b1 D. f  x  在 , 上单调递增 max min  3 6  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.     12. 若集合A x x22x240 ，B  x m2  xm22 ，AB ，则m2的最小值为 __________. 3π 13. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 甲 乙 甲 2 S V 和V .若 甲 2，则 甲 __________. 乙 S V 乙 乙 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司2 3 14. 已知实数a，b满足4a 2a3，log 3 3b1b ，则a b__________． 2 3 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a 15 已知函数 f  x  x33x29x . 3     （1）当a 3时，求 f x 在区间 0,4 上的最值； （2）若直线l:12x y10是曲线 y  f  x 的一条切线，求a的值. 16.“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕 江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每 个人尽情享受着足球带来的快乐. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了 男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 n(ad bc)2 附：2  .  ab  cd  ac  bd   0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828  （1）根据所给数据完成上表，依据0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足 球与性别有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司2 1 的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数X 3 2 的分布列和数学期望. 17. 如图，多面体PSABCD由正四棱锥P ABCD和正四面体S PBC组合而成. （1）证明：PS //平面ABCD； （2）求AS与平面PAD所成角的正弦值. 18. 已知抛物线x2 4y,Q为抛物线外一点，过点Q作抛物线的两条切线，切点分别为A,B（A,B在 y 轴 两侧），QA与QB分别交x轴于M,N . （1）若点Q在直线y=2上，证明直线AB过定点，并求出该定点； （2）若点Q在曲线x2 2y2上，求四边形AMNB的面积的范围. 19. 已知有穷数列A:a，a ，，a (n3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1mn的整数 1 2 n m，令集合A  m   k a m，k 1，2，，n  .记集合A(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个 k 数为0）. （1）若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)； 1 1 1 （2）若   n，求证：a ,a ,,a 互不相同； s(a ) s(a ) s(a ) 1 2 n 1 2 n （3）已知a a,a b，若对任意的正整数i，j(i j，i jn)都有i jA(a )或i jA(a )，求 1 2 i j a a a 的值. 1 2 n 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司河北省沧州市运东五校 2024-2025 学年高三上学期 11 月期中考试数学 试题 考生注意： 1.本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288， 则这组数据的上四分位数为（ ） A.290 B.295 C.300 D.330 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将数据从小到大排序为：188,240,260,284,288,290,300,360;875%6， 290300 所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为 295. 2 故选:B. 2. 已知数列  a  是无穷项等比数列，公比为q，则“q 1”是“数列  a  单调递增”的（ ） n n A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若a 0，q 1，则数列  a  单调递减，故q 1不能推出数列  a  单调递增； 1 n n 若  a  单调递增，则a 0，q 1，或a 0，0q1，不能推出q 1， n 1 1 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司  所以“q 1”是“数列 a 单调递增”的既不充分也不必要条件， n 故选：D． x2 y2 3. 已知圆C:x2  y2 10y210与双曲线  1(a0,b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心 a2 b2 率是 5 5 A. 2 B. C. D. 5 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程bxay0，再由圆C，求得圆心为C(0,5)，半径r 2， c 5 利用直线与圆相切，即可求得  ，得到答案． a 2 x2 y2 b 【详解】由双曲线  1(a0,b0)，可得其一条渐近线的方程为 y  x，即bxay0， a2 b2 a 又由圆C:x2  y2 10y210，可得圆心为C(0,5)，半径r 2， 5a 5a 5a c 5 则圆心到直线的距离为d   ，则 2，可得e  ， b2 (a)2 c c a 2 故选C． 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题． 4. 已知向量a   0,2  ，b   1,t ，若向量b  在向量a  上的投影向量为 1 a  ，则a  b  （ ） 2 5 11 A. 2 B.  C.2 D. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的概念运算求出t，再利用向量数量积运算求得结果. r r r r   r ab a   a 【详解】由题b在a上的投影向量为 b cos r  r   0,t  ， 2 a a 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司r 1  又 a 0,1 ，t 1，即b 1,1 ， 2 r r ab012 12. 故选：A. 5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底 蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊 画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬” 的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了 ABD（如图乙），测得 AB 3,BD 4,AC  AD 2 ，若点C恰好在边BD上，请△帮忙计算sin∠ACD的值（ ） 1 11 3 15 11 A. B. C. D. 2 14 16 16 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三条边求出cosADB，利用平方关系得到sinADB，即可根据等腰三角形求解. AD2 BD2 AB2 4169 11 【详解】由题意，在△ABD中，由余弦定理可得，cosADB   ， 2ADBD 224 16 11 3 15 因为ADB(0,π)，所以sinADB 1cos2ADB  1( )2  ， 16 16 3 15 在ACD中，由AC  AD  2得sinACDsinADB ， 16 故选：C 6.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿 色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段 传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后 一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.48 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】B 【解析】 【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当第一棒为丙时，排列方案有C1A3 12种； 2 3 当第一棒为甲或乙时，排列方案有A2A3 12种； 2 3 故不同的传递方案有121224种. 故选：B 5  sincos cos2 7. 已知是三角形的一个内角，满足cossin ，则 （ ） 5 sin 2 9 2 9 A.  B.  C. D. 5 10 5 10 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式sin2cos21,可求tan的值，进而利用三角函数恒等 变换的应用化简，即可计算得解． 5 1 【详解】因为cossin ，两边平方得12sincos ， 5 5 4 9 即2sincos ，可得(sincos)2 12sincos ， 5 5 4 因为是三角形的一个内角，且2sincos ，所以sin> 0,cos> 0， 5 3 5 所以sincos0，得sincos ， 5 5 3 5 又因为cossin ，sincos ， 5 5 2 5 5 联立解得：sin ，cos ，故有：tan2， 5 5  sincos cos2 sincos cos2sin2 tan1 1tan2 9 从而有      ． sin sin cos2sin2 tan 1tan2 10 故选：B． 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司x2 y2 8. 已知椭圆C：  1  ab0 的焦点分别为F ，F ，点A在C上，点B在 y 轴上，且满足 a2 b2 1 2    2 AF  BF ，AF  F B，则C的离心率为（ ） 1 1 2 3 2 1 2 3 5 A. B. C. D. 2 2 3 5 【答案】D 【解析】    2 5 16 【分析】设 Ax ,y ，先根据 AF  BF ， AF  F B 得x  c， y2  c2，代入椭圆方程可得 0 0 1 1 2 3 2 0 3 0 9 5 25e4 50e2 90，进而解方程可得e . 5 【详解】 如图，C： x2  y2 1  ab0 的图象，则F c,0，F  c,0  ，其中c2 a2b2， a2 b2 1 2   设Ax ,y ，B  0,y  ，则AF  cx ,y ，F B c,y  0 0 2 0 0 2   x2 y2 AF cx ,y ，BF c,y ， 0  0 1， 1 0 0 1 a2 b2  2  3 3 3 3 3  因AF  F B，得F B  AF   cx ,y   c x , y ， 2 3 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 0   3 3  5 c c x x  c   2 2 0   0 3 故 ，得 ， 3 3   y  y y  y  2 0  2 0     由AF  BF 得AF BF cx c y y  0， 1 1 1 1 0 0 5 3 16 得c2 cx  yy 0即c2  c2  y2  0，得 y2  c2 0 0 3 2 0 0 9 第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司2 5  16 x2 y2  c c2 c 由 0  0 1，得 3  9 ，又b2 a2 c2，e ， a2 b2  1 a a2 b2 化简得25e4 50e2 90，又椭圆离心率e 0,1  ， 1 5 所以e2  ，得e . 5 5 故选：D 二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 810i 9. 已知复数z 13i，z  2i 2，z  ，则（ ） 1 2 3 1i A. z  z  47i B. z ,z ,z 的实部依次成等比数列 1 2 1 2 3 C. 10 z 2 z D. z ,z ,z 的虚部依次成等差数列 1 2 1 2 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意由复数乘除法分别将z ,z 化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、 2 3 虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C. 810i  810i  1i  【详解】因为z  2i 2 34i，z   9i，所以z  z  47i，所以 2 3 1i  1i  1i  1 2 z  z  47i，故A正确； 1 2 因为z ，z ，z 的实部分别为1，3，9，所以z ，z ，z 的实部依次成等比数列，故B正确； 1 2 3 1 2 3 因为z ，z ，z 的虚部分别为3，4，1，所以z ，z ，z 的虚部依次不成等差数列，故D错误； 1 2 3 1 2 3 10 z  10 19 2 z 2510 ，故C正确. 1 2 故选：ABC.  π 10. 已知函数 f  x  Asin x A0,0, 的部分图象如图所示．则（ ）  2 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 π  A. f (x)的图象关于  ,0中心对称  12  5π  B. f (x)在区间  ,2π  上单调递增  3  C. 函数 f  x  的图象向右平移 π 个单位长度可以得到函数g ( x )=2sin2x的图象 6 1 π D. 将函数 f (x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数h(x)2sin(4x )的图象 2 6 【答案】ABD 【解析】   【分析】由题意首先求出函数 f x 的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、 正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可. T 5π π 1 2π 【详解】由图象可知A2，     ，解得T  π,2， 4 12 6 4  π π  π π π π 又 f  2，所以2sin   2，即  2kπ,kZ，结合 ，可知k 0, ， 6 3  3 2 2 6  π 所以函数 f  x  的表达式为 f  x 2sin2x ，  6  π   π π  π  对于A，由于 f     2sin    0，即 f (x)的图象关于  ,0中心对称，故A正确；  12  6 6  12  5π  π 7π 25π 7π 9π 对于B，当x  ,2π  时，t 2x   ,    ,  ，由复合函数单调性可知 f (x)在区间  3  6  2 6   2 2  5π   ,2π  上单调递增，故B正确；  3  π   对于C，函数 f x 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 6 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司  π π  π g  x 2sin2x    2sin2x ，故C错误；   6 6  6 1 π 对于D，将函数 f (x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数h(x)2sin(4x )的图象，故D 2 6 正确. 故选：ABD.  π π  5π  11. 定义在R上的函数 f  x  满足 f x  bb f  x，bR， f(x) f  x.若  3 3   3  f x  g  x  ，记函数 f  x  的最大值与最小值分别为 f  x  、 f  x  ，则下列说法正确的是（ ） max min 2π  A. 2π为 f  x  的一个周期 B. g(x)g x 0  3  π 5π C. 若 f(x)  f(x) 2，则b1 D. f  x  在 , 上单调递增 max min  3 6  【答案】ABC 【解析】  π π  【分析】结合已知求得2π为 f  x  的一个周期，从而A正确；将等式 f x  bb f  x两侧  3 3   π π  对应函数分别求导，得 f x   f  x，即可判断B正确；利用 f  x  中心对称性质求值判断C  3 3    正确；根据函数 f x 的性质判断D错误.  π π  π 2π  【详解】由 f x  bb f  x，将x替换成x ，得 f(x)2b f  x．  3 3  3  3  5π  5π  2π  因为 f(x) f  x，由上面两个式子， f  x 2b f  x．  3   3   3  5π 将x替换成 x， f(x)2b f(xπ)，所以 f(xπ)2b f(x)． 3 所以 f(x2π)2b f(xπ)2b 2b f(x)  f(x)， 所以2π为 f  x 的一个周期，A正确； 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 π π  将等式 f x  bb f  x两侧对应函数分别求导，  3 3   π π  2π  得 f x   f  x，即g  x  g x成立，B正确；  3 3   3   π π  π  满足 f x  bb f  x，即函数图象关于点 ,b中心对称，  3 3   3  π    函数 f x 的最大值和最小值点一定存在关于点 ,b中心对称的对应关系，  3  f(x)  f(x) 所以 max min b，解得b1，C正确； 2 π 5π     已知条件中函数 f x 没有单调性，无法判断 f x 在 , 上是否单调递增，D错误.  3 6  故选：ABC． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.     12. 若集合A x x22x240 ，B  x m2  xm22 ，AB ，则m2的最小值为 __________. 【答案】6 【解析】   【分析】先求出集合A x 4 x6 ，然后由AB，从而求解.   【详解】由x2 2x240，解得4 x6，所以A x 4 x6 ， 因为AB，m2 0，所以m2 6， 所以m2的最小值为6. 故答案为：6. 3π 13. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 甲 乙 甲 2 S V 和V .若 甲 2，则 甲 __________. 乙 S V 乙 乙 8 5 8 【答案】 ## 5 5 5 【解析】 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面积公式可得r 2r ， 1 2 1 2 再结合圆心角之和可将r,r 分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即 1 2 可得解. 【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ， 1 2 S rl r 则 甲  1  1  2，所以r 2r ， S rl r 1 2 乙 2 2 2πr 2πr 3π r r 3 l l 又 1  2  ，则 1 2  ，所以r  ,r  ， l l 2 l 4 1 2 2 4 1 3 所以甲圆锥的高h  l2  l2  l ， 1 4 2 1 15 乙圆锥的高h  l2  l2  l ， 2 16 4 1 1 3 πr2h l2 l 所以 V 甲  3 1 1  4 2  8 5 . V 乙 1 πr2h 1 l2 15 l 5 3 2 2 16 4 8 5 故答案为： . 5 2 3 14. 已知实数a，b满足4a 2a3，log 3 3b1b ，则a b__________． 2 3 2 【答案】1 【解析】 2 【分析】由log 3 3b1b 可变形为2log 2 3b1 log  3b1 3 ，故考虑构造函数 f  x 2x x， 2 3 2 判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求a,b. 2 【详解】因为log 3 3b1b ，化简得log  3b1  3b1 3． 2 3 2 所以2log 2 3b1 log  3b1 3 ，又4a 2a22a 2a3， 2 构造函数 f  x 2x x， 因为函数 y 2x， y  x在 , 上都为增函数， 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以函数 f  x  在 , 上为单调递增函数， 由 f 13，∴2a log  3b1 1， 2 1 1 解得a  ，b ， 2 3 3 ∴a b1． 2 故答案为：1. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a 15 已知函数 f  x  x33x29x . 3     （1）当a 3时，求 f x 在区间 0,4 上的最值； （2）若直线l:12x y10是曲线 y  f  x  的一条切线，求a的值. 【答案】（1） f  x  27， f  x  0 min max （2）a 3 【解析】 【分析】（1）求导后，根据 f x  正负可确定 f  x  在  0,4  上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最 值；  a  （2）设切点为x , x3 3x2 9x ，结合切线斜率可构造方程组求得x 和a的值.  0 3 0 0 0  0 【小问1详解】 当a 3时， f  x  x3 3x2 9x，则 f x 3x2 6x93  x3  x1  ， 当x 0,3 时， fx0；当x 3,4  时， fx0； \ f ( x )在  0,3  上单调递减，在  3,4  上单调递增，  f  x   f  3 27， f  x  max  f  0  , f  4  ， min max 又 f  0 0， f  4 64483620 ， f  x  0. max 【小问2详解】 由题意知： f x ax2 6x9， 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 a  设直线l与 f  x  相切于点x , x3 3x2 9x ，  0 3 0 0 0  ax2 6x 912  0 0 则a ，消去a得：x2 2x 10，解得：x 1，  x3 3x2 9x 112x 0 0 0 3 0 0 0 0 则a6912，解得：a 3. 16.“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕 江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每 个人尽情享受着足球带来的快乐. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了 男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 n(ad bc)2 附：2  .  ab  cd  ac  bd   0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828  （1）根据所给数据完成上表，依据0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足 球与性别有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司2 1 的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数X 3 2 的分布列和数学期望. 【答案】（1）有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关 11 （2）分布列见解析，E  X  6 【解析】 【分析】（1）根据男女生各 名及表中数据即可填写22列联表，然后根据计算 100 30351520 502 2  从而求解. 50504555 （2）根据题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，列出分布列，计算出期望从而求解. 【小问1详解】 依题意，22列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设H ：该中学学生喜欢足球与性别无关， 0 100 30351520 2 100 2的观测值为2    9.091， 50504555 11 9.0917.879 x ，根据小概率值0.005的独立性检验，推断H 不成立， 0.005 0 所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关. 【小问2详解】 依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3， 2 2  2  1 1 2 2  1  2 1 5 P  X 0  1   1   ,P  X 1 C1  1   1   1    ，  3  2 18 2 3 3  2  3 2 18 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司2 2 2 2 1 2  1 8 4 2 1 2 P  X 2 C1  1       1    ,P  X 3      2 3 3 2 3  2 18 9 3 2 9 所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 1 5 4 2 P 18 18 9 9 1 5 4 2 11 数学期E  X 0 1 2 3  . 18 18 9 9 6 17. 如图，多面体PSABCD由正四棱锥P ABCD和正四面体S PBC组合而成. （1）证明：PS //平面ABCD； （2）求AS与平面PAD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 2 （2） 3 【解析】 【分析】（1）利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体PSABCD的棱长全相等，从而利用线面垂直 的判定定理证得P,E,F,S四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解. 【小问1详解】 分别取AD,BC,PS的中点E,F,G，连接PE,PF,GF,SF,EF， 由题意可知多面体PSABCD的棱长全相等，且四边形ABCD为正方形， 所以EF BC,PF BC,SF BC， 因为EFPF  F,EF,PF 平面PEF ， 所以BC 平面PEF ，同理BC 平面PFS. 又平面PEF平面PFS  PF ，所以P,E,F,S四点共面. 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司又因为EF  ABPS,PE  PF SF，所以四边形PEFS 为平行四边形， 所以PS //EF ，又EF 平面ABCD,PS 平面ABCD， 所以PS //平面ABCD. 【小问2详解】 以F 为原点，以FE,FB,FG所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB 1， 1 2   1   1 2  则P  ,0,   ,E  1,0,0  ,A1, ,0,S   ,0,   ， 2 2   2   2 2    1 2    1    3 1 2  所以EP    ,0,   ,EA 0, ,0,AS    , ,   .  2 2   2   2 2 2   1 2   EPn  0    x z  0 2 2 设平面PAD的一个法向量为 ，则 ，即 ，  EAn 0 1 y 0 = , , 2    令z 1，则x 2,y 0，所以n  2,0,1 . 设AS与平面PAD所成角为，   |nAS| 2 2 sin     则 |n|| AS| 9 1 1 3 ， 3   4 4 2 2 即AS与平面PAD所成角的正弦值为 . 3 18. 已知抛物线x2 4y,Q为抛物线外一点，过点Q作抛物线的两条切线，切点分别为A,B（A,B在 y 轴 两侧），QA与QB分别交x轴于M,N . 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1）若点Q在直线y=2上，证明直线AB过定点，并求出该定点； （2）若点Q在曲线x2 2y2上，求四边形AMNB的面积的范围.   【答案】（1）证明见解析，定点 0,2 （2）  3, 【解析】 【分析】（1）设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合A,B处的切线方程 求得直线AB所过定点. （2）先求得四边形AMNB的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围. 【小问1详解】 设A  x ,y  ,B  x ,y  ,Q  x ,y  ，直线l :y kxm， 1 1 2 2 0 0 AB x2 4y 联立 ，可得x2 4kx4m0,Δ16k2 16m. y kxm A,B在 y 轴两侧，x x 0,m0,Δ0， 1 2 x x 4k,x x 4m， 1 2 1 2 1 1 由x2 4y得y  x2,y x， 4 2 1 1 1 所以A点处的切线方程为 y y  x  xx  ,y x2  x  xx ， 1 2 1 1 4 1 2 1 1 x x x2 整理得 y  1  1 ， 2 4 x x x2 同理可求得B点处的切线方程为 y  2  2 ， 2 4  x x x2  x x   y  2 1  4 1   x 0  1 2 2  2k 由 ，可得 ，  x x x2  x x y  2  2 y  1 2 m  2 4  0 4 又Q在直线 y=2上，m2,m2. 直线AB过定点 . 0,2 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 由（1）可得Q  2k,m  ,Q在曲线x2 2y2上， 4k2 2m2,m1.  x   x  1 x x 由（1）可知M 1,0,N 2 ,0,S  m 1 2 ，  2   2  MNQ 2 2 1  S  2k2 2m x x  k2 m x x ， QAB 2 1 2 1 2 S  S S  1 4k2 3m   x x  1 4k2 3m    x x 2 4x x 四边形AMNB QAB MNQ 4 1 2 4 1 2 1 2  1 4k2 3m    4k 2 4 4m   1  2m23m  8m816m 4 4 1 1   5m2  6m2  (5m2)2 6m2  ， 2 2 令 f  x  5x2 2 6x2  x1  , f x 2  5x2  45x16 0, f  x 在  1,单调递增，  f  x 36,S 3,四边形AMNB的面积的范围为  3, . AMNB 【点睛】 方法点睛：求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即设出切线的方程并与抛物线方 程联立，化简后利用判别式为0列方程来求得切线方程；另一种是利用导数的方法，利用导数求得切线的 斜率，进而求得切线方程. 19. 已知有穷数列A:a，a ，，a (n3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1mn的整数 1 2 n m，令集合A  m   k a m，k 1，2，，n  .记集合A(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个 k 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司数为0）. （1）若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)； 1 1 1 （2）若   n，求证：a ,a ,,a 互不相同； s(a ) s(a ) s(a ) 1 2 n 1 2 n （3）已知a a,a b，若对任意的正整数i，j(i j，i jn)都有i jA(a )或i jA(a )，求 1 2 i j a a a 的值. 1 2 n 【答案】（1）A(5){4，7，8}，s(5)=3. （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）观察数列，结合题意得到A(5)及s(5)； 1 1 1 1 1 1 1 （2）先得到 1，故   n，再由   n得到s(a )1，从 s(a ) s(a ) s(a ) s(a ) s(a ) s(a ) s(a ) i i 1 2 n 1 2 n 而证明出结论； （3）由题意得a a 或a a ，令 j 1，得到a a 或a a ，当a b时得到a a a na， ij i ij j 3 2 3 1 1 2 n 当a b时，考虑a a或a b两种情况，求出答案. 3 3 【小问1详解】 因为a a a  5，所以A(5)4,7,8，则s(5)=3； 4 7 8 【小问2详解】 依题意s(a)1,i1，2，，n， i 1 则有 1， s(a ) i 1 1 1 因此   n， s(a ) s(a ) s(a ) 1 2 n 1 1 1 又因为   n， s(a ) s(a ) s(a ) 1 2 n 所以s(a )1 i 所以a ,a ,,a 互不相同. 1 2 n 【小问3详解】 依题意a a,a b. 1 2 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司由i jA(a )或i jA(a )，知a a 或a a . i j ij i ij j 令 j 1，可得a a 或a a ，对于i2,3,...n1成立， i1 i i1 1 故a a 或a a . 3 2 3 1 ①当a b时， a a a a， 3 4 n 所以a a a na. 1 2 n ②当a b时， a a或a b. 3 3 当a a时，由a a 或a a ，有a a， 3 4 3 4 1 4 同理a a a a， 5 6 n 所以a a a (n1)ab. 1 2 n 当a b时，此时有a a b， 3 2 3 令i1，j3，可得4A(a)或4A(b)，即a a或a b. 4 4 令i1，j4，可得5A(a)或5A(b). 令i2，j3，可得5A(b). 所以a b. 5 若a a，则令i1，j4，可得a a，与a b矛盾. 4 5 5 所以有a b. 4 不妨设a a a b(k 5)， 2 3 k 令it，jk1t(t 2,3,,k1)，可得k1A(b)，因此a b. k1 令i 1, j k ，则a a或a b. k1 k1 故a b. k1 所以a a a (n1)ba. 1 2 n 综上，a b时，a a a na. 1 2 n 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司a ab时，a a a (n1)ab. 3 1 2 n a ba时，a a a (n1)ba. 3 1 2 n 【点睛】数列新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用 书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司