专题 2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求直线的倾斜角】......................................................................................................................................2
【题型2 求直线的斜率】..........................................................................................................................................3
【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】.........................................................................................................5
【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................................................................6
【题型5 两条直线平行的判定】..............................................................................................................................9
【题型6 由两直线平行求参数】............................................................................................................................10
【题型7 两条直线垂直的判定】............................................................................................................................11
【题型8 由两直线垂直求参数】............................................................................................................................13
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】...........................................................................................14
【知识点1 直线的倾斜角与斜率】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型1 求直线的倾斜角】
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线x−√3 y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解题思路】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
1 √3
【解答过程】因为x−√3 y+1=0的斜率k= = ，
√3 3
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
【变式1-1】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知直线l的斜率为−1,则l的倾斜角为（ ）
A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．135∘
【解题思路】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.
【解答过程】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为α,0∘≤α<180∘,
所以tanα=−1,即α=135∘.
故选:D.
【变式1-2】（2023春·江苏南京·高二校考期中）直线l经过A(−1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是
（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【解题思路】设出直线的倾斜角α，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.
2−0
【解答过程】设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率k=tanα= =1，
1+1
π
又α∈[0,π)，所以倾斜角是 ，
4
故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<√3，直线l的倾斜角α的取值范
围为（ ）
A． [ 0, π ) ∪ (3π ,π ) B． [ 0, π ) ∪ (3π ,π )
3 4 6 4
C． ( π , 3π ) D． [ 0, π ) ∪ [3π ,π )
6 4 3 4
【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系得到−1≤tanα<√3，结合正切函数的图象及α∈[0,π)，数形结
学科网（北京）股份有限公司合得到直线l的倾斜角α的取值范围.
【解答过程】由题意得：−1≤tanα<√3，
3π π
因为α∈[0,π)，且tan =−1，tan =√3，
4 3
画出y=tanx的图象如下：
所以α∈ [ 0, π ) ∪ [3π ,π )
3 4
故选：D.
【题型2 求直线的斜率】
π
【例2】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）
3
√3
A． B．−√3 C．√3 D．±√3
2
【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
π
【解答过程】因为直线的倾斜角是 ，
3
π
所以此直线的斜率是tan =√3.
3
故选:C.
【变式2-1】（2023春·上海·高二阶段练习）将直线3x−√3 y=0绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线的
斜率是（ ）
√3 √3
A． B．− C．√3 D．−√3
3 3
【解题思路】由题意知直线的斜率为√3，设其倾斜角为α，将直线绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线
学科网（北京）股份有限公司的斜率为 ，化简求值即可得到答案.
tan(α+90∘)
【解答过程】由3x−√3 y=0知斜率为√3，设其倾斜角为α，则tanα=√3，
将直线3x−√3 y=0绕着原点逆时针旋转90°，
则 sin(α+90∘) cosα 1 √3
tan(α+90∘)= = =− =−
cos(α+90∘) −sinα tanα 3
√3
故新直线的斜率是− .
3
故选：B.
[π 3π]
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是α∈ , ，则此直线的斜率k的
4 4
取值范围是（ ）
A．[−1,1] B．[−1,0)∪(0,1]
C．[−1,+∞) D．(−∞,−1]∪[1,+∞)
【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.
π [π 3π]
【解答过程】当直线的倾斜角α≠ 时，直线的斜率k=tanα，因α∈ , ，
2 4 4
π π π 3π
则当α∈[ , )时，tanα≥1，即k≥1，当α∈( , ]时，tanα≤−1，即k≤−1，
4 2 2 4
所以直线的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞).
故选：D.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，设直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则k ，k ，k
1 2 3 1 2 3 1 2 3
的大小关系为（ ）
A．k <k <k B．k <k <k
1 2 3 1 3 2
C．k <k <k D．k <k <k
2 1 3 3 2 1
【解题思路】直接由斜率的定义判断即可.
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】由斜率的定义可知，k <k <k .
1 2 3
故选：A．
【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
2π
【例3】（2023春·河南安阳·高二校联考开学考试）已知点A(2,3),B(−1,x)，直线AB的倾斜角为 ，
3
则x=（ ）
√3
A．3−3√3 B．3+ C．3+3√3 D．6
3
【解题思路】根据斜率公式列式计算即可.
2π
【解答过程】因为直线AB的倾斜角为 ，A(2,3),B(−1,x)，
3
x−3 2π
可得直线AB的斜率为k = =tan =−√3，
AB −1−2 3
可得x=3+3√3.
故选：C.
【变式3-1】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设a为实数，已知过两点A(a,3)，B(5,a)的直线的斜
率为1，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据斜率公式计算可得.
【解答过程】解：因为过两点A(a,3)，B(5,a)的直线的斜率为1，
3−a
所以 =1，解得a=4.
a−5
故选：C.
【变式3-2】（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知A(1,2)，B(−3,t)，C(5,−6)三点共线，则实数t=
（ ）
A．10 B．4 C．－4 D．－10
【解题思路】根据三点共线可得，k =k ，写出斜率相等的表达式即可求出参数t的值
AC AB
8 t−2 t−2
【解答过程】由题可得：k = =−2,k = ，∵k =k ,∴ =−2,∴t=10
AC −4 AB −4 AC AB −4
故选：A.
【变式3-3】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点A(1,m)，B(m−1,3)的直线的倾斜角是锐角，
则实数m的范围是（ ）
A．(−∞,−3)∪(−2,+∞) B．(−3,−2)
学科网（北京）股份有限公司C．(2,3) D．(−∞,2)∪(3,+∞)
【解题思路】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【解答过程】由题意经过两点A(1,m)，B(m−1,3)的直线的倾斜角是锐角，
3−m
可知m−1≠1 ，且 >0 ，
m−2
解得2<m<3 ，即实数m的范围是(2,3)，
故选：C.
【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例4】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知A(2,−3)、B(2,1)，若直线l经过点P(0,−1)，且与线段
AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2]∪[2,+∞) B．[−2,2]
C．(−∞,−1]∪[1,+∞) D．[−1,1]
【解题思路】作出图形，数形结合可得出直线l的斜率的取值范围.
【解答过程】过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示：
−1+3 1+1
设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且k = =−1，k = =1，
PA 0−2 PB 2−0
当点M在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线l的倾斜角逐渐增大，
此时−1=k ≤k<0；
PA
当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤k =1.
PB
综上所述，直线l的斜率的取值范围是[−1,1].
故选：D.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知A(3,1)，B(1,2)，若直线x+ay−2=0与线段AB没有公共
点，则实数a的取值范围是（ ）
(1 ) ( 1)
A．(−∞,−1)∪ ,+∞ B． −1,
2 2
学科网（北京）股份有限公司C．(−∞,−2)∪(1,+∞) D．(−2,1)
【解题思路】画出图象，对a进行分类讨论，结合图象求得a的取值范围.
【解答过程】直线x+ay−2=0过点C(2,0)，
画出图象如下图所示，
2−0 1−0
k = =−2，k = =1，
BC 1−2 AC 3−2
由于直线x+ay−2=0与线段AB没有公共点，
当a=0时，直线x=2与线段AB有公共点，不符合题意，
1
当a≠0时，直线x+ay−2=0的斜率为− ，
a
1
根据图象可知− 的取值范围是(−2,0)∪(0,1)，
a
(1 )
所以a的取值范围是(−∞,−1)∪ ,+∞ .
2
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）已知点A(2,3)，B(−3,−2)，若直线l过点P(3,1)且与线段AB
相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
1 1
A．k≥ 或k≤−2 B．−2≤k≤
2 2
1
C．k≥−2 D．k≤
2
【解题思路】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果．
【解答过程】解：直线l过点P(3,1)且斜率为k，与连接两点A(2,3)，B(−3,−2)的线段有公共点，
3−1 2+1 1
由图，可知k = =−2，k = = ，
AP 2−3 BP 3+3 2
1
当−2≤k≤ 时，直线l与线段AB有交点．
2
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点
的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
1 3 2
A．− ≤k≤ B．−2≤k≤
2 2 3
1 3 2
C．k≤− 或k≥ D．k≤−2或k≥
2 2 3
1 3
【解题思路】根据直线方程kx−y−k−1=0得到恒过定点A(1,−1)，利用坐标得到k =− ，k = ，
MA 2 NA 2
然后结合图象可得k的取值范围.
1 3
【解答过程】直线kx−y−k−1=0恒过定点A(1,−1)，且k =− ，k = ，
MA 2 NA 2
1 3
由图可知，k≤− 或k≥ .
2 2
故选：C.
【知识点2 两条直线平行的判定】
1．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α＝α≠90° α＝α＝90°
1 2 1 2
对应关系 l∥l k＝k l∥l 两直线的斜率都不存在
1 2 1 2 1 2
⇔ ⇔
图示
学科网（北京）股份有限公司【题型5 两条直线平行的判定】
【例5】（2023·高二课时练习）“直线l 与l 平行”是“直线l 与l 的斜率相等”的（ ）条件
1 2 1 2
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【解题思路】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【解答过程】充分性：直线l 与l 平行，但是l 和l 都没有斜率，即当l 和l 都垂直于x轴时，l 与l 仍然平行，
1 2 1 2 1 2 1 2
但是，此时不满足直线l 与l 的斜率相等，故充分性不成立；
1 2
必要性：直线l 与l 的斜率相等，则直线l 与l 平行或重合，故必要性不成立；
1 2 1 2
综上，“直线l 与l 平行”是“直线l 与l 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.
1 2 1 2
故选：D.
【变式5-1】（2023秋·江西上饶·高二统考期末）下列与直线4x−y−2=0平行的直线的方程是（ ）.
A．4x−y−4=0 B．4x+ y−2=0
C．x−4 y−2=0 D．x+4 y+2=0
【解题思路】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.
【解答过程】直线4x−y−2=0斜率为4，纵截距为2，
A选项：直线斜率为4，纵截距为−4，符合；
B选项：直线斜率为−4，纵截距为2，不符合；
1 1
C选项：直线斜率为 ，纵截距为− ，不符合；
4 2
1 1
D选项：直线斜率为− ，纵截距为− ，不符合；
4 2
故选：A.
【变式5-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）m=4是直线mx+(3m−4)y+3=0与直线
2x+my+3=0平行的（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【解题思路】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【解答过程】当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行，
3 3
当m=0时，直线方程分别为：y= ，x=− ，两直线不平行；
4 2
4 9 4
当3m - 4=0，即m= 时，直线方程分别为：x=− ，2x+ y+3=0，两直线不平行；
3 4 3
学科网（北京）股份有限公司由直线mx+（3m−4）y+3=0与直线2x+my+3=0平行，可知两直线斜率相等，
m 2
即− =− ，解得m=2或m=4；
3m−4 m
当m=2时，两直线重合，故“m=4”是“直线mx+（3m−4）y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的
充要条件.
故选C.
【变式5-3】（2023秋·高二课时练习）直线l：(√2－1)x＋y＝2与直线l：x＋(√2＋1)y＝3的位置关系是(
1 2
)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
【解题思路】求出两直线的斜率及纵截距可知：直线的斜率相等，但截距不等，故二者平行．
【解答过程】由题意可得直线l 的斜率为：﹣（√2﹣1），在y轴的截距为：2
1
1 √2−1 3
直线l 的斜率为：﹣ =﹣ =﹣（√2﹣1），在y轴的截距为： ，
1 √2+1 (√2+1)(√2−1) √2+1
∴直线l：（√2﹣1）x+y﹣2=0与直线l：x+（√2+1）y﹣3=0的位置关系为：平行
1 2
故选A.
【题型6 由两直线平行求参数】
【例6】（2023·江苏·高二假期作业）已知过A(−2,m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m
的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【解题思路】由两点的斜率公式表示出直线AB的斜率k ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出
AB
答案.
4−m
【解答过程】由题意可知，k = =−2，解得m=−8．
AB m+2
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）若直线x=1−2y与2x+4 y+m=0重合，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【解题思路】将x=1−2y化为一般式，由直线平行求参数m即可.
【解答过程】由题设x=1−2y一般式为x+2y−1=0，与2x+4 y+m=0重合，
1 2 −1
所以 = = ，则m=−2.
2 4 m
故选：D.
【变式6-2】（2023春·江苏南通·高二期末）设a∈R，则“直线ax+ y−1=0与直线x+ay+1=0平行”是
学科网（北京）股份有限公司“a=1”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的性质分析判断即可.
【解答过程】若直线ax+ y−1=0与直线x+ay+1=0平行，则¿；
若a=1，则直线x+ y−1=0与直线x+ y+1=0平行，
∴直线ax+ y−1=0与直线x+ay+1=0平行是a=1的充分必要条件．
故选：B.
【变式6-3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线l ：x+a2y+6=0，l ：
1 2
(a−2)x+3ay+2a=0，若l //l ，则a=（ ）
1 2
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
【解题思路】由l //l 可得3a−a2(a−2)=0解得a=0或a=−1或a=3，代入检验即可得出答案.
1 2
【解答过程】l ：x+a2y+6=0，l ：(a−2)x+3ay+2a=0，
1 2
若 ，则 ，即
l //l 3a−a2(a−2)=0 a(a2−2a−3)=0
1 2
a(a+1)(a−3)=0，解得：a=0或a=−1或a=3，
当a=0时，l ：x+6=0，l ：x=0，则l //l ；
1 2 1 2
当a=−1时，l ：x+ y+6=0，l ：3x+3 y+2=0，则l //l ；
1 2 1 2
当a=3时，l ：x+9 y+6=0，l ：x+9 y+6=0，则l 与l 重合，舍去；
1 2 1 2
故选：D.
【知识点3 两条直线垂直的判定】
1．两条直线垂直的判定
图示
对应 l⊥l(两直线的斜率都存 l 的斜率不存在，l 的斜率为
1 2 1 2
关系 在) kk＝－1 0 l⊥l
1 2 1 2
【注】判断两条直线是否垂直时：
⇔ ⇔
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与
x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【题型7 两条直线垂直的判定】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）直线l :ax+ y−1=0与直线l :x−ay−1=0的位置关系是（ ）
1 2
学科网（北京）股份有限公司A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【解题思路】分a=0和a≠0讨论，其中a≠0时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断.
【解答过程】当a=0时，直线l :y−1=0，直线l :x−1=0，此时两直线垂直，
1 2
1
当a≠0时，直线l 的斜率k =−a，直线l 的斜率k = ，
1 1 2 2 a
因为k ⋅k =−1，则两直线垂直，
1 2
综上两直线位置关系是垂直，
故选：A.
【变式7-1】（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l，l 的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，
1 2
则l 与l 的位置关系是（ ）
1 2
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
【解题思路】由韦达定理可知k k =−1，由此可作出判断.
1 2
【解答过程】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l 与l 的斜率k，k 均存在．设两根为x，x，则kk＝xx＝－1，所以l⊥l．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：B.
2 ( 1)
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线l 的斜率为− ，l 经过点A(1,1)，B 0,− ，
1 3 2 2
则直线l 和l 的位置关系是（ ）
1 2
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【解题思路】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.
( 1)
【解答过程】因为直线l 经过点A(1,1)，B 0,− ，
2 2
1
− −1
所以直线l 的斜率为： 2 3，
2 =
0−1 2
3 2
又因为 ×(− )=−1，
2 3
所以两直线垂直，
故选：B.
【变式7-3】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）
A．2x−3 y−5=0与4x−6 y−5=0 B．2x−3 y−5=0与4x+6 y−5=0
C．2x−3 y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3 y−5=0与6x+4 y−5=0
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为−1两直线垂直，即可判断.
2 2
【解答过程】对于A：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线4x−6 y−5=0的斜率为 ，
3 3
故两直线平行，故A错误；
2 2
对于B：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线4x+6 y−5=0的斜率为− ，
3 3
斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故B错误；
2 3
对于C：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线3x−2y−5=0的斜率为 ，
3 2
斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故C错误；
2 3
对于D：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线6x+4 y−5=0的斜率为− ，
3 2
斜率之积为−1，即两直线垂直，故D正确；
故选：D.
【题型8 由两直线垂直求参数】
【例8】（2023春·江西宜春·高二校考期末）若直线l :ax+3 y+2=0与直线l :x−(a+1)y+a=0垂直，
1 2
则实数a=（ ）
3 3
A．0 B．1 C．− D．−
4 2
【解题思路】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答过程】直线l :ax+3 y+2=0与直线l :x−(a+1)y+a=0垂直，
1 2
3
则a−3(a+1)=0，解得a=− ．
2
故选：D．
【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线 ： ，则“
l (a2−a−2)x+(2a2−5a+2)y+a=0
1
a= ”是“直线l与x轴垂直”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由直线l与x轴垂直，可得直线l的斜率不存在，进而得到¿，解出a的值，再根据充分条件和
必要条件的定义判断即可求解.
【解答过程】由直线l与x轴垂直，得直线l的斜率不存在，
学科网（北京）股份有限公司1
可得¿，解得a= ，
2
1
所以“a= ”是“直线l与x轴垂直”的充要条件.
2
故选：C.
【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）已知经过点A(−2,0)和点B(1,3a)的直线l 与经过点
1
P(0,−1)和点Q(a,−2a)的直线l 互相垂直，则实数a的值为（ ）
2
A．0 B．1 C．0或1 D．−1或1
【解题思路】求出直线l 的斜率为k =a，分a≠0、a=0两种情况讨论，在a≠0时，由两直线斜率之积为
1 1
−1可求得实数a的值；在a=0时，直接验证l ⊥l .综合可得结果.
1 2
3a−0
【解答过程】直线l 的斜率k = =a．
1 1 1−(−2)
−2a−(−1) 1−2a
①当a≠0时，直线l 的斜率k = = ．
2 2 a−0 a
1−2a
因为l ⊥l ，所以k k =−1，即a⋅ =−1，解得a=1．
1 2 1 2 a
②当a=0时，P(0,−1)、Q(0,0)，此时直线l 为y轴，
2
又A(−2,0)、B(1,0)，则直线l 为x轴，显然l ⊥l ．
1 1 2
综上可知，a=0或1.
故选：C.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）若直线ax−4 y+2=0与直线2x+5 y+c=0垂直，垂足为(1,b)，
则a+b+c=（ ）
A．−6 B．4 C．−10 D．−4
【解题思路】根据垂直关系可求a，再根据点在直线上可求b，c，从而可得正确的选项.
【解答过程】因为ax−4 y+2=0与直线2x+5 y+c=0垂直，故2a−20=0即a=10，
10×1−4×b+2=0 b=3
因为垂足为(1,b)，故{ ，故{ ，
2×1+5×b+c=0 c=−17
故a+b+c=−4，
故选：D.
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例9】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0)，试判定
四边形ABCD的形状．
【解题思路】求出四边斜率，然后再判断形状．
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】由斜率公式可得：
5−3 1
k = =
AB 2−(−4) 3
0−3 1
k = =
CD −3−6 3
0−3
k = =−3
AD −3−(−4)
3−5 1
k = =−
BC 6−2 2
k =k ，
AB CD
∴AB//CD
∵k ≠k
AD BC
∴AD与BC不平行
1
又∵k ⋅k = ×(−3)=−1，
AB AD 3
∴AB⊥AD，
故四边形ABCD是直角梯形．
【变式9-1】（2023秋·高二课时练习）已知△ABC的顶点分别为A(5,−1)、B(1,1)、C(2,m)，若
△ABC为直角三角形，求实数m的值．
【解题思路】根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
m+1 1+1
【解答过程】①若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，解得m=−7；
AC AB 2−5 1−5
1+1 m−1
②若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，
AB BC 1−5 2−1
解得m=3；
m+1 m−1
③若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，
AC BC 2−5 2−1
解得m=±2．
综上，m的值为−7，−2，2或3．
【变式9-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A(0,3),B(−1,0),C(3,0)，求点D的坐标，使四边形
ABCD为等腰梯形．
【解题思路】根据D的位置分类讨论，再根据等腰与两底平行列方程组解得结果.
【解答过程】设D(x,y)．
若AB∥CD，即D在D 位置，则¿
2
即¿
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解方程组，得D , ．
5 5
若AD∥BC，即D在D 位置，则¿即¿解方程组，得D(2,3)．
1
(16 3)
故点D的坐标为 , 或(2,3)．
5 5
【变式9-3】（2023秋·广东广州·高二校考期中）已知四边形MNPQ的顶点
M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2).
(1)求斜率k 与斜率k ；
MN PQ
(2)求证：四边形MNPQ为矩形.
【解题思路】（1）利用斜率公式求解即可；
（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ，MQ//NP，MN⊥MQ，从而得证.
【解答过程】（1）因为M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2)，
−1−1 2−0
所以k = =−1,k = =−1，即k =−1,k =−1.
MN 3−1 PQ 2−4 MN PQ
（2）因为k =−1,k =−1，所以MN//PQ.
MN PQ
2−1 −1−0
又因为k = =1,k = =1，所以MQ//NP，
MQ 2−1 NP 3−4
所以四边形MNPQ为平行四边形，
又因为k ⋅k =−1，所以MN⊥MQ，
MN MQ
所以四边形MNPQ为矩形.
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