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专题 2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求直线的倾斜角】......................................................................................................................................2
【题型2 求直线的斜率】..........................................................................................................................................3
【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】.........................................................................................................5
【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................................................................6
【题型5 两条直线平行的判定】..............................................................................................................................9
【题型6 由两直线平行求参数】............................................................................................................................10
【题型7 两条直线垂直的判定】............................................................................................................................11
【题型8 由两直线垂直求参数】............................................................................................................................13
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】...........................................................................................14
【知识点1 直线的倾斜角与斜率】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型1 求直线的倾斜角】
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线x−√3 y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解题思路】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
1 √3
【解答过程】因为x−√3 y+1=0的斜率k= = ，
√3 3
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
【变式1-1】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知直线l的斜率为−1,则l的倾斜角为（ ）
A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．135∘
【解题思路】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.
【解答过程】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为α,0∘≤α<180∘,
所以tanα=−1,即α=135∘.
故选:D.
【变式1-2】（2023春·江苏南京·高二校考期中）直线l经过A(−1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是
（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【解题思路】设出直线的倾斜角α，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.
2−0
【解答过程】设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率k=tanα= =1，
1+1
π
又α∈[0,π)，所以倾斜角是 ，
4
故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<√3，直线l的倾斜角α的取值范
围为（ ）
A． [ 0, π ) ∪ (3π ,π ) B． [ 0, π ) ∪ (3π ,π )
3 4 6 4
C． ( π , 3π ) D． [ 0, π ) ∪ [3π ,π )
6 4 3 4
【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系得到−1≤tanα<√3，结合正切函数的图象及α∈[0,π)，数形结
学科网（北京）股份有限公司合得到直线l的倾斜角α的取值范围.
【解答过程】由题意得：−1≤tanα<√3，
3π π
因为α∈[0,π)，且tan =−1，tan =√3，
4 3
画出y=tanx的图象如下：
所以α∈ [ 0, π ) ∪ [3π ,π )
3 4
故选：D.
【题型2 求直线的斜率】
π
【例2】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）
3
√3
A． B．−√3 C．√3 D．±√3
2
【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
π
【解答过程】因为直线的倾斜角是 ，
3
π
所以此直线的斜率是tan =√3.
3
故选:C.
【变式2-1】（2023春·上海·高二阶段练习）将直线3x−√3 y=0绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线的
斜率是（ ）
√3 √3
A． B．− C．√3 D．−√3
3 3
【解题思路】由题意知直线的斜率为√3，设其倾斜角为α，将直线绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线
学科网（北京）股份有限公司的斜率为 ，化简求值即可得到答案.
tan(α+90∘)
【解答过程】由3x−√3 y=0知斜率为√3，设其倾斜角为α，则tanα=√3，
将直线3x−√3 y=0绕着原点逆时针旋转90°，
则 sin(α+90∘) cosα 1 √3
tan(α+90∘)= = =− =−
cos(α+90∘) −sinα tanα 3
√3
故新直线的斜率是− .
3
故选：B.
[π 3π]
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是α∈ , ，则此直线的斜率k的
4 4
取值范围是（ ）
A．[−1,1] B．[−1,0)∪(0,1]
C．[−1,+∞) D．(−∞,−1]∪[1,+∞)
【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.
π [π 3π]
【解答过程】当直线的倾斜角α≠ 时，直线的斜率k=tanα，因α∈ , ，
2 4 4
π π π 3π
则当α∈[ , )时，tanα≥1，即k≥1，当α∈( , ]时，tanα≤−1，即k≤−1，
4 2 2 4
所以直线的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞).
故选：D.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，设直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则k ，k ，k
1 2 3 1 2 3 1 2 3
的大小关系为（ ）
A．k 0 ，
m−2
解得20恒成立．
故方程有两相异实根，即l 与l 的斜率k，k 均存在．设两根为x，x，则kk＝xx＝－1，所以l⊥l．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：B.
2 ( 1)
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线l 的斜率为− ，l 经过点A(1,1)，B 0,− ，
1 3 2 2
则直线l 和l 的位置关系是（ ）
1 2
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【解题思路】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.
( 1)
【解答过程】因为直线l 经过点A(1,1)，B 0,− ，
2 2
1
− −1
所以直线l 的斜率为： 2 3，
2 =
0−1 2
3 2
又因为 ×(− )=−1，
2 3
所以两直线垂直，
故选：B.
【变式7-3】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）
A．2x−3 y−5=0与4x−6 y−5=0 B．2x−3 y−5=0与4x+6 y−5=0
C．2x−3 y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3 y−5=0与6x+4 y−5=0
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为−1两直线垂直，即可判断.
2 2
【解答过程】对于A：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线4x−6 y−5=0的斜率为 ，
3 3
故两直线平行，故A错误；
2 2
对于B：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线4x+6 y−5=0的斜率为− ，
3 3
斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故B错误；
2 3
对于C：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线3x−2y−5=0的斜率为 ，
3 2
斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故C错误；
2 3
对于D：直线2x−3 y−5=0的斜率为 ，直线6x+4 y−5=0的斜率为− ，
3 2
斜率之积为−1，即两直线垂直，故D正确；
故选：D.
【题型8 由两直线垂直求参数】
【例8】（2023春·江西宜春·高二校考期末）若直线l :ax+3 y+2=0与直线l :x−(a+1)y+a=0垂直，
1 2
则实数a=（ ）
3 3
A．0 B．1 C．− D．−
4 2
【解题思路】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答过程】直线l :ax+3 y+2=0与直线l :x−(a+1)y+a=0垂直，
1 2
3
则a−3(a+1)=0，解得a=− ．
2
故选：D．
【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线 ： ，则“
l (a2−a−2)x+(2a2−5a+2)y+a=0
1
a= ”是“直线l与x轴垂直”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由直线l与x轴垂直，可得直线l的斜率不存在，进而得到¿，解出a的值，再根据充分条件和
必要条件的定义判断即可求解.
【解答过程】由直线l与x轴垂直，得直线l的斜率不存在，
学科网（北京）股份有限公司1
可得¿，解得a= ，
2
1
所以“a= ”是“直线l与x轴垂直”的充要条件.
2
故选：C.
【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）已知经过点A(−2,0)和点B(1,3a)的直线l 与经过点
1
P(0,−1)和点Q(a,−2a)的直线l 互相垂直，则实数a的值为（ ）
2
A．0 B．1 C．0或1 D．−1或1
【解题思路】求出直线l 的斜率为k =a，分a≠0、a=0两种情况讨论，在a≠0时，由两直线斜率之积为
1 1
−1可求得实数a的值；在a=0时，直接验证l ⊥l .综合可得结果.
1 2
3a−0
【解答过程】直线l 的斜率k = =a．
1 1 1−(−2)
−2a−(−1) 1−2a
①当a≠0时，直线l 的斜率k = = ．
2 2 a−0 a
1−2a
因为l ⊥l ，所以k k =−1，即a⋅ =−1，解得a=1．
1 2 1 2 a
②当a=0时，P(0,−1)、Q(0,0)，此时直线l 为y轴，
2
又A(−2,0)、B(1,0)，则直线l 为x轴，显然l ⊥l ．
1 1 2
综上可知，a=0或1.
故选：C.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）若直线ax−4 y+2=0与直线2x+5 y+c=0垂直，垂足为(1,b)，
则a+b+c=（ ）
A．−6 B．4 C．−10 D．−4
【解题思路】根据垂直关系可求a，再根据点在直线上可求b，c，从而可得正确的选项.
【解答过程】因为ax−4 y+2=0与直线2x+5 y+c=0垂直，故2a−20=0即a=10，
10×1−4×b+2=0 b=3
因为垂足为(1,b)，故{ ，故{ ，
2×1+5×b+c=0 c=−17
故a+b+c=−4，
故选：D.
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例9】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0)，试判定
四边形ABCD的形状．
【解题思路】求出四边斜率，然后再判断形状．
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】由斜率公式可得：
5−3 1
k = =
AB 2−(−4) 3
0−3 1
k = =
CD −3−6 3
0−3
k = =−3
AD −3−(−4)
3−5 1
k = =−
BC 6−2 2
k =k ，
AB CD
∴AB//CD
∵k ≠k
AD BC
∴AD与BC不平行
1
又∵k ⋅k = ×(−3)=−1，
AB AD 3
∴AB⊥AD，
故四边形ABCD是直角梯形．
【变式9-1】（2023秋·高二课时练习）已知△ABC的顶点分别为A(5,−1)、B(1,1)、C(2,m)，若
△ABC为直角三角形，求实数m的值．
【解题思路】根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
m+1 1+1
【解答过程】①若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，解得m=−7；
AC AB 2−5 1−5
1+1 m−1
②若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，
AB BC 1−5 2−1
解得m=3；
m+1 m−1
③若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k ⋅k =−1，即 × =−1，
AC BC 2−5 2−1
解得m=±2．
综上，m的值为−7，−2，2或3．
【变式9-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A(0,3),B(−1,0),C(3,0)，求点D的坐标，使四边形
ABCD为等腰梯形．
【解题思路】根据D的位置分类讨论，再根据等腰与两底平行列方程组解得结果.
【解答过程】设D(x,y)．
若AB∥CD，即D在D 位置，则¿
2
即¿
学科网（北京）股份有限公司(16 3)
解方程组，得D , ．
5 5
若AD∥BC，即D在D 位置，则¿即¿解方程组，得D(2,3)．
1
(16 3)
故点D的坐标为 , 或(2,3)．
5 5
【变式9-3】（2023秋·广东广州·高二校考期中）已知四边形MNPQ的顶点
M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2).
(1)求斜率k 与斜率k ；
MN PQ
(2)求证：四边形MNPQ为矩形.
【解题思路】（1）利用斜率公式求解即可；
（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ，MQ//NP，MN⊥MQ，从而得证.
【解答过程】（1）因为M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2)，
−1−1 2−0
所以k = =−1,k = =−1，即k =−1,k =−1.
MN 3−1 PQ 2−4 MN PQ
（2）因为k =−1,k =−1，所以MN//PQ.
MN PQ
2−1 −1−0
又因为k = =1,k = =1，所以MQ//NP，
MQ 2−1 NP 3−4
所以四边形MNPQ为平行四边形，
又因为k ⋅k =−1，所以MN⊥MQ，
MN MQ
所以四边形MNPQ为矩形.
学科网（北京）股份有限公司
