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数学答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 2. 3. 4. 5.
C A C B B
6. 7. 8.
C A D
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. AC 10.BCD 11.AC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. “ x∈ ， ，使λx2＋x－2≤0 ” 13. 既非充分又非必要 14. [ -1, 0)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
∀ 1 4
【解析】（1）要使函数有意义，则有{ ，解之可得： -2 < x
lx + 2 >
≤ 3 ，
0
16.【小问 1 详解】: 没有 95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相
关； 【小问 2 详解】
= 2 ， 5 - 2 = 3 ， :5 人中 2 人成绩优秀，3 人成绩不优秀，
X 的取值可能为 0 、 1 、 2 ，
: 分布列为：
X 0 1 2
3 3 1
P
10 5 10
17.【答案】(1)作图见解析
(2)(-1,1)
(3) {x | -2 < x < 0 或 }
【分析】（1）奇函数x 关> 于2原点对称，据此补全图象即可；
（2）（3） 由图象写出单调递增区间和写出使f (x)< 0 的 x 的取值集合即
可； 【详解】（1） 由题意作出函数图象如图所示.
（2） 由图可知，单调递增区间为(-1,1) .
（3） 由图可知，使f (x)< 0 的 x 的取值集合为{x | -2 < x < 0 或x > 2} .a = 1, b = -
（2）极大值为 ，极小值为-
【解析】
【小问 1 详解】
x3 + ax2 + b ， : f ’ = x2 +
2ax . 由题意得 解得 a = 1, b
= -
【小问 2 详解】
由 x3 + x2 -
: f ’(x) = x2 + 2x ，
令 f’(x) = 0 ，解得 x = -2 或 x = 0 ，
当 x ∈(-∞, -2) 时， f’(x) > 0 ，则函数 f (x) 单调递
增； 当 x ∈(-2, 0) 时， f’(x) < 0 ，则函数 f (x) 单调
递减； 当 x ∈(0, +∞) 时， f’(x) > 0 ，则函数 f (x)
单调递增，
故当 x = -2 时， f (x) 有极大值为
当 x = 0 时， f (x) 有极小值为
综上，函数 f (x) 的极大值为 ，极小值为 -
.
19.【答案】（1） f (x) = x2 - 2x + 2【解析】
【分析】（1）设f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，利用 f(0) = 2 求得c ，由 f(x +1) -f(x) =
2x -1 可求得 a, b ，即得答案；
（2）依题意可得当 x ∈ [ -1, 2] 时，x2 - 2x + 2 > -x + a 恒成立，参变分离可得 a < x2 -
x + 2 恒成立，再令 g(x) = x2 - x + 2 ， x ∈[ -1, 2] ，求出 g(x) ，即可求出参数的
min
取值范围. 【小问 1 详解】
由题意设 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠
0) ， 由 f (0) = 2 得 c = 2 ；
由 f (x +1)-f (x) = 2x -1 得 a(x + 1)2 + b(x + 1) + c - ax2 -bx- c = 2x -1 ，
即 2ax + a +b = 2x -1恒成立，故{ ，则 {
〔2a = 2
=
〔a ,
1
故 f (x) = x2 - 2x + 2 ； la + b = -1 =
【小问 2 详解】
因为当 x ∈ [ -1, 2] 时， y = f (x ) 的图象恒在 y = -x + a 图象的上
方， 所以当 x ∈ [ -1, 2] 时， x2 - 2x + 2 > -x + a 恒成立，
即当 x ∈ [ -1, 2] 时， a < x2 - x + 2 恒成立，
2
) )
令 g(x) = x2 - x + 2 ， x ∈[ -1, 2] ，则 g(x ) = x - + 在 (| -1, 上单调
, ( ,
)
递减，在 (| , 2 上单调递增，
( ,
)
所以 g (x ) = g (| = ，
min
( ,
7 (
所以 a < ，即实数a 的取值范围为 -∞ , .
4 |( 4 ,
