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呼和浩特市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题
1．如图，在四面体 中， 是棱 的中点， 是棱 上一点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为棱 ， 的中点.设 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知点 是点 在坐标平面 内的射影，则 （ ）
A． B． C． D．5
4．在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点，则直线 与
所成角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．
5．已知直线 ： 和 ： 平行，则实数 （ ）
A．2或 B．1 C． D．2
6．设直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．圆 ： 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．若方程 表示圆，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，已知正方体 的边长为2， 分别为 的中点，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B． 平面AEFC．异面直线 与EF所成角的余弦值为
D．点 到平面AEF的距离为2
10．已知直线 ，圆 ，则（ ）
A． 经过定点
B．圆 与圆 ： 外离
C．当 与圆 相切时， .
D．圆心 到直线 距离的最大值为
11．已知圆C： 及点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为
B．点Q在圆C外
C．若点 在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．若M是圆C上任一点，则 的取值范围为 .
三、填空题
12．已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 .
13．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发
现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么点 的轨迹为圆，这就是著
名的阿波罗尼斯圆.若点 到 ， 的距离比为 ，则点 到直线 ： 的距离
的最大值是 .
14．已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围是 ．四、解答题
15．已知在 中， 边上的高所在的直线方程为 ， 边上的高所在的直线方程为
，点 的坐标为 ．
(1)求垂心 的坐标；
(2)若 关于直线 的对称点为 ，求点 到直线 的距离．
16．求解下列问题：
(1)求过直线 与直线 的交点，且与直线 平行的直线方程；
(2)已知 ， ，求以线段 为直径的圆的方程.
17．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) ， ，焦点在y轴上；
(2) ， ．
(3)经过点 ， 两点；
18．如图，直四棱柱 的底面是平行四边形， ， ， ， ，
， 分别是 ， ， 的中点.
(1)证明： 平面 ；(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
19．如图，在平行六面体 中， ， ， ，
M，N分别为 ， 中点．
(1)求 的长；
(2)证明： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D C B A ABD AD
题号 11
答案 AB
1．D
根据空间向量的加减及数乘运算即可求解.
【详解】连接 ，
由题意，得
．
故选：D
2．D
根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出 .
【详解】在直三棱柱 中， ， 分别为棱 ， 的中点，
.
故选：D
3．A
求出点 的坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：A
4．A
建立空间直角坐标系，求得向量 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
设 ，可得 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
5．D
由两直线的不相交可得 的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可..
【详解】当 ： ， ： 平行
得 ，解得 或 ，
当 时， ： ， ： ，即 ，此时直线 和直线 重合，故不符合
题意，
当 时， ： ， ： ，此时直线 和直线 平行，符合题意；
故选：D6．C
根据直线方程可得 ，结合同角三角关系运算求解.
【详解】由题意可知：直线 的斜率 ，
则 ，可得 ，且 ，
又因为 ，可得 ，
由 可知 ，所以 .
故选：C.
7．B
计算圆心关于直线 对称的点是 ，得到圆方程.
【详解】因为圆 ，即 ，
所以圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
圆心关于直线 对称的点是 ，则 ，解得 .
则所求圆的方程为 .
故选： .
8．A
【详解】方程 表示圆，
则 ，
解得 ，即 的取值范围为 .
故选：A.9．ABD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， .
对于A，因 ，
则 ，故 ，A正确；
对于B， ， ，
设平面AEF的法向量为 ，
则 故可取 ，
因 ，则 ，又 平面AEF，
故 平面AEF，故B正确；
对于C，因 ，
则异面直线 与EF所成角的余弦值为 ，故C错误；
对于D， ，由上分析已得平面AEF的法向量为 ，
则点 到平面AEF的距离为 ，D正确.故选：ABD.
10．AD
根据方程的形式，联立方程 ，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点
到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D.
【详解】对于选项A：因为 ，
令 ，解得 ，所以l过定点 ，故A正确；
对于选项B：圆 可化为 ，可知其圆心为 ，半径 ，
圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，即 ，可知两圆相交，故B错误；
对于选项C：若 与圆 相切，
则圆心 到直线 的距离 ，解得 ，故C错误；
对于选项D：当 时，圆心 到直线 距离的最大，
此时最大值为 ，故D正确.
故选：AD.
11．AB
利用配方法、直线斜率公式、圆的几何性质逐一判断即可.
【详解】A： ，显然该圆的圆心C的坐标为 ，因此本选项
说法正确；
B：因为 ，所以点Q在圆C外，因此本选项说法正确；
C：当点 在圆C上，则有 ，
即 ，所以直线PQ的斜率为 ，因此本选项说法不正确；D：因为 ，该圆的半径为 ，
所以 ，
故选：AB
12． /
由题意得 ，设 ，从而得解.
【详解】因为 ，所以 ，则存在实数 ，使 ，
即 ，解得 ，所以
故答案为：
13．
根据给定条件，求出点 的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得.
【详解】设点 ，由 ，得 ，整理得 ，
因此点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
点 到直线 ： 的距离为 ，
所以点 到直线 最大距离为 .
故答案为：
14．
直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分．画出图形，
结合图形可得所求的范围．【详解】由题意得，直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的
上半部分（包括与 轴的交点），画出图形如下图所示．
当直线 ，即直线 与圆相切时，
则有 ，解得 ， ．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为 ．
15．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意作出示意图如图，作出 边上的高 ， 边上的高 ，
即直线 方程为 ，直线 方程为 ,联立 ，解得 ；
故垂心 的坐标为
（2）连接 并延长交 于点 ，
由（1）可知， ；
易知 ，设直线 的方程为 ，
将 代入可得 ，即直线 的方程为 ；
联立 ，解得 ，即 ；
所以直线 的方程为 ，即 ；
设点 的对称点 ，则 ，且 的中点 在直线上，
又 ，所以 ，整理得 ，解得 ；
即 ;
所以点 到直线 的距离为 .
16．(1)
(2)
（1）求出两直线的交点坐标，再求出直线 的斜率，最后利用点斜式计算可得；（2）求出 、 的中点坐标与 ，即可得到圆心坐标与半径，从而求出圆的方程.
【详解】（1）解：由 ，解得 ，所以两直线的交点为 ，
因为直线 的斜率为 ，
故所求直线的方程为 ，即 .
（2）解：因为 ， ，所以 、 的中点坐标为 ，
，
所以以线段 的中点 为圆心， 为半径．
则所求圆的方程为 .
17．(1)
(2) 或
(3)
（1）根据 求出 ，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程.
（2）根据 求出 ，按照焦点位置分类求解即可.
（3）由题意确定焦点位置及 ，即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为： ；
（2）因为 ， ，所以 ，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为： 或 ；
（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
18．(1)证明见解析
(2)
（1）取 的中点 ，连接 、 、 ，即可得到 ，再证明 ，由直棱柱的性质证
明 ，即可得到 平面 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 、 ，
又因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 且 ， 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又在直四棱柱 的底面是平行四边形， ， ，
所以 为等边三角形，所以 ，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 平面 .（2）如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
，设平面 与平面 所成二面角为 ，则 ，
所以 ，即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
19．(1) ；
(2)证明见解析.
（1）设 ， ， ，将 用 表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果.
（2）将 ，分别用 表示出来，根据 ，即可证明 .
【详解】（1）设 ， ， ，则 ， ， ， ，
．
因为，
所以
（2）证明：因为
，
