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高三数学试卷参考答案
!!#!全称量词命题的否定为存在量词命题!
$!%!由题可知!&!""""!&$#&!#’#!"#则满足条件的集合"有(个!
)!*!因为)’!!#!#’$’!!)$!#+,-’!!$’#所以##$#%!
)
.!#!因为&$’%/0’&0’#所以&($’%/0’&0!当’%$&1#!%时#&($’%$’#&$’%单调递减#当
’%$!#21%时#&($’%#’#&$’%单调递增#故&$’%的最小值为&$!%/’#无最大值!
# $ #$$2%%&$$#2%% $#&$%% # $
"!%!若%#’#则 & / / #’#即 # !取#/)#$
#2%$2% $#2%%$$2%% $#2%%$$2%% #2%$2%
# $ # $
/!#%/&$#满足##$#’# # #不满足%#’!故&%#’’是& # ’的充分不必要
#2%$2% #2%$2%
条件!
3!*!由题可知#)/$’+4$槡*2!%25’&!!’#则+4$槡*2!%&$#所以槡*2!&0$#从而*&$0$&!%$
’.’!63#故运动时间至少约为.!分钟!
0$’2+0’2!
5!*!&$’%/ &7,8’/0’20&’&7,8’2+为偶函数#其图象关于)轴对称!由
0’
&$’%恰有一个零点#可得&$’%/!2+/’#解得+/&!#此时&$’%/0’20&’&7,8’&!#当
’#’时#0’20&’#$#&7,8’&!&&$#则&$’%在$’#21%上无零点#从而&$’%恰有一个
零点!
’$ ( # ) #
(!9!&($’%/$’+4$’2#%2 /’$+4$’2#%& 2! !令,$’%/$+4$’2#%& 2
’2# ’2# ’2#
!#易知,$’%在$&##21%上单调递增#,$’%/$+4#!当#%$’#!%时#则存在+%$’#21%#
使得,$+%/’#符合’/’是函数&$’%/’$+4$’2#%的极大值点*当#%$!#21%时#则存在
+%$&##’%#使得,$+%/’#不符合’/’是函数&$’%/’$+4$’2#%的极大值点*当#/!
时#,$’%/’#不符合’/’是函数&$’%/’$+4$’2#%的极大值点!综上##的取值范围为
$’#!%!
’ ! !
6!%*9!对于%#当’#’时# / ( #所以%错误*
’$2! ! $
’2
’
对于*#若#/!#$/&!#%/&!#-/&$#则#%/&!#$-/$#此时#%$$-#所以*错误*
! ! $ ! ! % 7,8$’ 8:4$’
对于## 2 / 2 +$8:4$’27,8$’%/$2 2 &$2
8:4$’ 7,8$’ 8:4$’ 7,8$’ 8:4$’ 7,8$’
7,8$’ 8:4$’ !
$槡 + /.#当且仅当’/ 时#等号成立#所以#正确*
8:4$’ 7,8$’ .
对于9#$%&!##%&!#则#$%#$#%#所以9错误!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$!%
书书书’$
!’!*9!设&$’%/’!#因为&$’%的图象过点$$#.%#所以$!/.#解得!/$#所以,$’%/ 2+’
+
!$ +$%$ +) +$
/ ’2 & #& $’#故%##错误#*#9正确!
+ $ . $
!!!%#9!由题意得0’&&$’%&,$’%/&)2&$)%&$,$)%恒成立#所以存在常数##使得0’&
&$’%&,$’%/#且&)2&$)%&$,$)%/#!
$0’2’&#
* &$’%/ #
*0’&&$’%&,$’%/## )
令)/’#得) 解得) 经检验#符合条件!
+&’2&$’%&$,$’%/## 0’&’&$#
,$’%/ #
+ )
$0’2’&#
由&$’%/ #得&$’%是增函数且&$’%不是奇函数#%正确#*错误!因为,($’%/
)
0’&!
#所以,$’%在$&1#’%上单调递减#在$’#21%上单调递增#所以,$’%的最小值为
)
$$$0’2’&#%&$0’&’&$#%
,$’%##正确!$&$’%&,$’%/ /0’2’#9正确!
)
!$!’&)/’!由)/’+$’#得)(/$’2’+$’+4$!当’/’时#)/’#)(/!#故曲线)/’+$’
在’/’处的切线方程为’&)/’!
$! %
!)! #$ !设&$’%/#’$2$’2%#则&$’%&$&$’&!%/#’$2$’2%&$#$’&!%$&$$$’&
.
!%&$%/&#’$2$.#&$%’&$#2$$&%/$’$&6’#所以#/&$#$/!#%/3#则&$’%/
&$’$2’23#故,$’%/+,-!$&$’$2’23%!
$
) $ !% $! %
由&$’$2’23#’#得& $’$$!因为&$’%在 &1# 上单调递增#在 #21 上单
$ . .
$! %
调递减#所以根据复合函数的单调性可知#,$’%的单调递增区间为 #$ !
.
#2$2% #$ ! $$ #$ %
!.!(!因为#2槡$/%#所以 2 / $#2槡$2)%% 2 2!!
#2% 槡$2$% .% #2% 槡$2$%
$$ #$ % $$ #$ % $$槡$2$%%
$#2槡$2)%% 2 /($#2%%2$槡$2$%%) 2 /#$2$2
#2% 槡$2$% #2% 槡$2$% #2%
#$$#2%% )槡$ #2$2%
2 &#$2$2$槡#$$/$#2槡$%$/%$#当且仅当#/ 时#等号成立!故 2
槡$2$% $ #2%
#$ %
& 2!/)#解得%/(!
槡$2$% .
!"!解,$!%由!$$’2"$!!#得&$$’$)#则./$&$#)%! ………………………………!分
) " " " $ " "%
因为+/ #所以由,’,$ #得& $’$ #则// & # ! ……………………$分
$ $ $ $ $ $
$ " % $ ") (" % (" %
故.-// & #) #.// &1#& - #21 #./$./%/ #) !………3分
$ ! $ $ ! $
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!"#$!%$$%因为.////#所以/".!……………………………………………………………5分
若+2!(’#即+(&!#则//0#符合/".*…………………………………………6分
若+2!#’#即+#&!#则//$&+&!#+2!%#………………………………………!’分
*&+&!&&$#
由/".#可得) 解得&!$+(!!…………………………………………!$分
++2!()#
综上所述#+的取值范围为$&1#!)!……………………………………………………!)分
! $ ! $! $% !$ ) $’%
!3!$!%解,因为’2)/$#所以 2 / $’2)% 2 / )2 2 ……………)分
’ ) $ ’ ) $ ’ )
)2$槡$
& # …………………………………………………………………………………"分
$
当且仅当’/$槡$&$#)/.&$槡$时#等号成立#…………………………………………3分
! $ )2$槡$
故 2 的最小值为 ! ……………………………………………………………5分
’ ) $
$$%证明,由$/’2)&$槡’)#可得槡’)(!#……………………………………………6分
则$槡’2槡)%$/’2)2$槡’)/$2$槡’)(.#…………………………………………!!分
当且仅当’/)/!时#等号成立#…………………………………………………………!$分
则槡’2槡)($#……………………………………………………………………………!.分
从而槡’2槡)2槡’)()!…………………………………………………………………!"分
#+)’ #+)$&’ 6# )#
!5!解,$!%因为&$’%/ #所以&$$&’%/ / / #………………)分
)’2) )$&’2) )’2!26 )’2)
#+)’ )#
则&$’%2&$$&’%/ 2 /#!…………………………………………………"分
)’2) )’2)
又+,-)2+,-!$/+,-)3/$# ……………………………………………………………3分
3 3 3
所以&$+,-)%2&$+,-!$%/##……………………………………………………………5分
3 3
从而#/$!……………………………………………………………………………………(分
$;)’ 3
$$%由$!%可知&$’%/ /$& #…………………………………………………6分
)’2) )’2)
显然&$’%在!上单调递增!………………………………………………………………!’分
!
因为&$’%/ #所以由$&$’$2)’%&!#’#可得&$’$2)’%#&$’%# ………………!$分
$
则’$2)’#’#解得’$&)或’#’#……………………………………………………!.分
故不等式$&$’$2)’%&!#’的解集为$&1#&)%-$’#21%!………………………!"分
!(!解,$!%&$’%的定义域为!#&($’%/0’&$#&!%!…………………………………………!分
当’$#(!时#&($’%#’#则&$’%在!上单调递增*……………………………………)分
当##!时#令&($’%#’#解得’#+4$#&!%#令&($’%$’#解得’$+4$#&!%#
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!"#$!%所以&$’%在$+4$#&!%#21%上单调递增#在$&1#+4$#&!%%上单调递减!…………3分
$$%由&$’%&+4’#可得+4’2+4#2#’(0’2’#即0+4$#’%2+4$#’%(0’2’!…………6分
令,$’%/0’2’#易知,$’%单调递增! …………………………………………………!’分
+4$#’% !
由0+4$#’%2+4$#’%(0’2’#可得,$+4$#’%%(,$’%#则+4$#’%(’#即 ( !…!$分
#’ #
+4’ !&+4’
令0$’%/ #则0($’%/ !
’ ’$
当’#0时#0($’%$’#0$’%单调递减#当’$’$0时#0($’%#’#0$’%单调递增#
+40 !
所以0$’% / / #…………………………………………………………………!"分
<=> 0 0
! !
则 & #解得’$#(0#故#的取值范围为$’#0)!……………………………………!5分
# 0
!6!解,$!%设点1$’#)%#则点1的&关联点’为2$&’#&)%#
将点2的坐标代入)$2’)&’2)/.#得$&)%$2$&’%$&)%&$&’%2$&)%/.#……
……………………………………………………………………………………………$分
即)$2’)2’&)/.#所以点1所在的曲线方程为)$2’)2’&)/.!……………….分
$$%设3$’#)%#则根据对称性得,34,$/.$’$2)$%!……………………………………"分
( ! !)
因为曲线5 关于)轴对称#当’&’时#设’/7,8"#)&’/8:4"#"% & # # …5分
! $ $
!27,8$"
所以’$2)$/7,8$"2$7,8"28:4"%$/$7,8$"28:4$"2$8:4"7,8"/!2 28:4$"/
$
) ! ) 槡"
2 7,8$"28:4$"/ 2 8:4$$"2# %#………………………………………………6分
$ $ $ $
所以,34,$的最小值为3&$槡"#最大值为32$槡"#所以,34,$的取值范围为(3&$槡"#32
$槡")!………………………………………………………………………………………!’分
’
$)%5,)/#0’2$和5,)/’0’&#有且仅有两对&关联点’等价于曲线)/#0’2$和)/
! $ 0’
2#有且仅有两个交点#
’
即#0’2$/ 2##化简可得#0$’2$$&#%0’&’/’!…………………………………!!分
0’
令,$’%/#0$’2$$&#%0’&’#则,($’%/$#0$’2$$&#%0’&!/$#0’2!%$$0’&!%!
$"%若#&’#则#0’2!#’#由,($’%/’#得’/&+4$!
当’%$&1#&+4$%时#,($’%$’#当’%$&+4$#21%时#,($’%#’#
所以,$’%在$&1#&+4$%上单调递减#在$&+4$#21%上单调递增#
!
所以,$’%的最小值为,$&+4$%/+4$$0%& #!
.
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!"#$!%!
#当#%(’#.+4$$0%%时#+4$$0%& ##’#即,$&+4$%#’#则,$’%没有零点#不满足题意!
.
$当#/.+4$$0%时#,$&+4$%/’#,$’%只有一个零点#不满足题意!
!
%当#%$.+4$$0%#21%时#+4$$0%& #$’#即,$&+4$%$’#
.
当’$’时##0$’#’#’$0’$!#
因为$&#$’#所以,$’%#$&#&’#故,$$&#%#’#
又$&#$&+4$#所以,$’%在$$&##&+4$%上有一个零点!
设0$’%/0’&’$’#’%#则0($’%/0’&!#’#0$’%单调递增#所以0$’%#’#
则当’#’时#,$’%##0$’2$$&#%0’&0’/0’$#0’2!&#%#0’$#’2!&#%#
! $ !% $ !%
又!& #’#所以,!& #’#因此,$’%在 &+4$#!& 上有一个零点!
# # #
故当##.+4$$0%时#,$’%有两个不同的零点#满足题意!………………………………!.分
$&%若#$’#则由,($’%/’#得’/&+4$#’/&+4$&#%!
! $
#当&$$#$’时#’$’#当’%$&1#&+4$%时#,($’%$’*当’%$&+4$#&+4$&#%%时#
! $
,($’%#’*当’%$&+4$&#%#21%时#,($’%$’!所以,$’%在$&1#&+4$%和$&+4$&#%#
21%上单调递减#在$&+4$#&+4$&#%%上单调递增!
!
又,$&+4$%/+4$$0%& ##’#所以,$’%至多有一个零点#不满足题意!
.
$当#/&$时#’/’#则,($’%(’#所以,$’%单调递减#至多有一个零点#不满足题意!
! $
%当#$&$时#’#’#当’%$&1#&+4$&#%%时#,($’%$’*当’%$&+4$&#%#&+4$%
! $
时#,($’%#’*当’%$&+4$#21%时#,($’%$’!所以,$’%在$&1#&+4$&#%%和$&+4$#
21%上单调递减#在$&+4$&#%#&+4$%上单调递增#
!
又,$&+4$&#%%/!& 2+4$&#%#’#所以,$’%至多有一个零点#不满足题意!
#
综上#实数#的取值范围为$.+4$$0%#21%!……………………………………………!5分
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