文档内容
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣ ＜x＜ }，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取
部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生
的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中
，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐
近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
第1页 | 共7页A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]
6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将
一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm
，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =﹣2，S =0，S =3，则m=
n n m﹣1 m m+1
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y
）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E： 的右焦点为F（3，0），过点F的
第2页 | 共7页直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（
）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范
围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
12．（5分）设△A B C 的三边长分别为a ，b ，c ，△A B C 的面积为S ，n=1，
n n n n n n n n n n
2，3…若b ＞c ，b +c =2a ，a =a ， ， ，则（
1 1 1 1 1 n+1 n
）
A．{S }为递减数列
n
B．{S }为递增数列
n
C．{S }为递增数列，{S }为递减数列
2n﹣1 2n
D．{S }为递减数列，{S }为递增数列
2n﹣1 2n
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0
，则t= ．
14．（5分）若数列{a }的前n项和为S = a + ，则数列{a }的通项公式是a =
n n n n n
．
15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．
16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
则f（x）的最大值为 ．
第3页 | 共7页三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=1，P为△ABC内一点
，∠BPC=90°．
（1）若PB= ，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，CA=CB，AB=AA ，∠BAA =60°．
1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明AB⊥A C；
1
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA B B，AB=CB=2，求直线A C与平面BB C C所成角的正
1 1 1 1 1
弦值．
第4页 | 共7页19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4
件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任
取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产
品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这
批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是
优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批
产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外
切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半
径最长时，求|AB|．
第5页 | 共7页21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和
曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的
题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂
的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点
E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
第6页 | 共7页23．已知曲线C 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x
1
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．
2
（1）把C 的参数方程化为极坐标方程；
1
（2）求C 与C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
1 2
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
第7页 | 共7页
