文档内容
绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 £1}，则A
I
B=
A．
-1,0,1
B．
0,1
C．
-1,1
D．
0,1,2
2．若z(1+i)=2i，则z=
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其
中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位
，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的
学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项为和为15，且a =3a +4a ，则a =
n 5 3 1 3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
6．已知曲线y =aex +xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a =e-1，b=1 D．a =e-1 ，
b=-1
第1页 | 共7页2x3
7．函数y = 在
-6,6
的图象大致为
2x +2-x
A． B．
C． D．
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线
段ED的中点，则
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的e为0.01，则输出s的值等于
第2页 | 共7页1 1 1 1
A.2- B. 2- C. 2- D. 2-
24 25 26 27
x2 y2
10．双曲线C： - =1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若
4 2
PO = PF ，则△PFO的面积为
3 2 3 2
A． B． C．2 2 D．3 2
4 2
11．设 f x 是定义域为R的偶函数，且在 0,¥ 单调递减，则
1 3 2
A． f （log ）＞ f （ - ）＞ f （ - ）
3 2 2 2 3
4
1 2 3
B． f （log ）＞ f （ - ）＞ f （ - ）
3 2 3 2 2
4
3 2 1
C． f （ - ）＞ f （ - ）＞ f （log ）
2 2 2 3 3
4
2 3 1
D． f （ - ）＞ f （ - ）＞ f （log ）
2 3 2 2 3
4
p
12．设函数 f x =sin（wx+ ）(w＞0)，已知 f x 在 0,2p 有且仅有5个零点，下述
5
四个结论：
① f x 在（0,2p）有且仅有3个极大值点
第3页 | 共7页② f x 在（0,2p）有且仅有2个极小值点
p
③ f x 在（0, ）单调递增
10
12 29
④w的取值范围是[ ， )
5 10
其中所有正确结论的编号是
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c =2a- 5b，则cos= ___________.
S
14．记S 为等差数列{a }的前n项和，a≠0，a =3a ，则 10 =___________.
n n 1 2 1 S
5
x2 y2
15．设F，F 为椭圆C: + =1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MFF
1 2 1 2
36 20
为等腰三角形，则M的坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
ABCD-ABC D 挖去四棱锥O—
1 1 1 1
EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，
AB=BC=6cm, AA =4cm，3D打印所用原料密度为0.9
1
g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
第4页 | 共7页三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成
A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每
组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出
残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计
值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）．
18．（12分）
A+C
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin =bsinA．
2
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
19．（12分）
第5页 | 共7页图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=
2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
20．（12分）
已知函数 f(x)=2x3-ax2 +b.
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）是否存在
a,b，使得 f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有
值；若不存在，说明理由.
x2 1
21．已知曲线C：y= ，D为直线y=- 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，
2 2
B.
（1）证明：直线AB过定点：
5
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AD
2
BE的面积.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
第6页 | 共7页一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
p 3p
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B( 2, )，C( 2, )，D(2,p)，弧AB，
4 4
p
BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, )，(1,p)，曲线M 是弧AB，曲线M
2 1 2
是弧BC，曲线M 是弧CD.
3
（1）分别写出M ，M ，M 的极坐标方程；
1 2 3
（2）曲线M 由M ，M ，M 构成，若点P在M上，且|OP|= 3，求P的极坐标.
1 2 3
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设x,y,zÎR，且x+ y+z =1.
（1）求(x-1)2 +(y+1)2 +(z+1)2的最小值；
1
（2）若(x-2)2 +(y-1)2 +(z-a)2 ³ 成立，证明：a£-3或a³-1.
3
第7页 | 共7页
