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绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时
，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中
，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A. Æ B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
2.（1–i）4=（ ）
A –4 B. 4
C. –4i D. 4i
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a ，a ，…，a .设1≤i0,b>0)的两条渐近线分别交于
a2 b2
D,E两点，若 ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
V
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
1
10.设函数 f(x)= x3 - ,则 f(x)（ ）
x3
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
第2页 | 共6页C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
9 3
11.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16
4
π，则O到平面ABC的距离为（ ）
3 3
A. 3 B. C. 1 D.
2 2
12.若2x -2y <3-x -3-y，则（ ）
A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0 C. ln|x- y|>0 D.
ln|x- y|<0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
2
13.若sinx=- ，则cos2x=__________．
3
14.记S 为等差数列 a 的前n项和．若a =-2, a +a =2，则S =__________．
n n 1 2 6 10
ìx+ y³-1，
ï
15.若x，y满足约束条件íx- y³-1，则z=x+2y的最大值是__________．
ï
2x- y£1,
î
16.设有下列四个命题：
p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p ：若直线lÌ平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① p Ù p ② p Ù p ③Øp Ú p ④Øp ÚØp
1 4 1 2 2 3 3 4
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
p 5
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2( + A)+cosA= ．
2 4
（1）求A；
第3页 | 共6页3
（2）若b-c= a，证明：△ABC是直角三角形．
3
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个样
i i i i
20
区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 åx =60，
i
i=1
20 20 20 20
åy =1200， å（x -x)2 =80， å（y - y)2 =9000， å（x -x（) y - y)=800.
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
n
å（x -x（) y - y)
i i
i=1
附：相关系数r= ， 2 =1414.
n n
å（x -x)2å（y - y)2
i i
i=1 i=1
x2 y2
19.已知椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶
1 2 1 2
a2 b2
4
点重合．过F且与x轴重直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2
3
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
20.如图，已知三棱柱ABC–
A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N分别为BC，B C 的中点，P为AM上一
1 1 1 1 1 1 1
点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1
第4页 | 共6页（1）证明：AA //MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
1 1 1 1
π
（2）设O为△A B C 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB C F，且∠MPN= ，求四棱锥B–
1 1 1 1 1
3
EB C F的体积．
1 1
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
f(x)- f(a)
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
x-a
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答
题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按
所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
ì 1
x=t+ ,
ìx=4cos2q， ï ï t
22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ：í （θ为参数），C ：í （t为
1 2 1 îy =4sin2q 2
ï
1
y =t-
ïî t
参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 f(x)= x-a2 +|x-2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式 f(x)…4的解集；
（2）若 f(x)…4，求a的取值范围.
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