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梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期4月月考
数学试题
一、单选题
1．乘积 的展开式中项数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
2．若 ，则 （ ）
A．380 B．190 C．188 D．240
3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量X的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
则 （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
5．若 是离散型随机变量， ，又已知 ，则 的值
为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．根据变量 的观测数据 ，绘制成散点图1；根据变量 的观测数据
，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设 表示变量 的样本相关系数， 表示
变量 的样本相关系数，则（ ）A． B．
C． D．
7．某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的
分类统计结果，并计算得出 ，经查阅 独立性检验的小概率值和相应的临界值，知 ，
则下列判断正确的是（ ）
A．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是
B．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
D．在犯错误的概率不超过 的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
8．甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成
绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人
的名次排列的情况有（ ）
A．300种 B．120种 C．240种 D．180种
二、多选题
9．在等比数列 中， ， ，则（ ）
A． 的公比为 B． 的前 项和为
C． 的前 项积为 D．
10．带有编号 、 、 、 、 的五个球，则（ ）
A．全部投入 个不同的盒子里，共有 种放法B．放进不同的 个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C．将其中的 个球投入 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 种放法
D．全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，共有 种不同的放法
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，且 ，
，则（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． D． （ ）
三、填空题
12．在 的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答）
13．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽
到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 ．
14．已知随机事件 ， 有概率 ， ，条件概率 ，则 .
四、解答题
15．二项式 的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和.
16．已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 .直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不
同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为 时，求k的值．
17．从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中男生的人数，求:(1) 的分布列以及期望与方差;
(2)设 为事件“抽取的3人中，既有男生，也有女生”，求事件 发生的概率.
18．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程;
(2)若函数 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围;
(3)若 无零点，求 的取值范围.
19．定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用
（ ）种颜色给某 （ ）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作 .
(1)当 ， 时，试求 的值；
(2)当 ， 时，试求 的值；
(3)结合前两问的解题思路，对任意的正整数 （ ） （ ），请写出 的运算公式，并证明.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B A C D AB AC
题号 11
答案 ABD
1．C
采用分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号
中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有 项.
故选：C.
2．B
利用组合数的性质求出 ，再求出答案.
【详解】由 ，得 ，所以 .
故选：B
3．D分别写出事件 和事件 包含的基本事件，由条件概率计算公式得到 .
【详解】记事件 ，包含的基本事件数是 ， ， ，共3个基本事件，
事件 ，包含的基本事件数是 ， ，共2个基本事件，
所以 ．
故选：D.
4．B
根据题意，由分布列的性质可得 的值，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题可得 ，解得 ．
由 ，可得 或4，
则 （ 或 ） ．
故选：B
5．B
先得到随机变量 的值只能为 ，根据期望和方差得到方程组，求出方程的解，得到答案.
【详解】 ，故随机变量 的值只能为 ，
，解得 或 ，
所以 .
故选：B
6．A
根据散点图，结合相关系数知识即可得出答案.
【详解】由图可得 随 增大而减小， 随 增大而减小，
所以 与 增呈负相关关系， 与 呈负相关关系，故 ，又由图可知图1相关性更强，故 更接近 ，
所以 .
故选：A.
7．C
根据独立性检验的定义判断即可.
【详解】因为 ，
所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 ，
即在犯错误率不超过 的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A错误；
每 个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B错误；
故选：C．
8．D
根据师生对话，结合三人的相对名次，利用插空法进行求解即可.
【详解】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高，
所以有两种相对名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲，
因此不同的名次有 种可能；
老师对乙说：“很遗憾，你不是第一名，
当乙是第一名时，有甲没有丙的名次高，这时不同的名次有 种可能，
因此6人的名次排列的情况有 种可能，
故选：D
9．AB
对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得 ，再根据
等差数列求和公式求解即可；对C，根据 求解即可；对D，代入 求解即可.
【详解】对A，设等比数列 的公比为 ，则 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以数列 的公比为 ，故A正确
对B，因为 ，所以 的前 项和为
，故B正确；
对C， 的前 项积为 ，故C错误
对D，因为 ，
所以 的前 项和为 ，故D错误．
故选：AB
10．AC
利用分步计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选出 个球，再选出 个盒子，即可判断C，
分 和 两种情况讨论，利用分组分配法判断D.
【详解】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入 个不同的盒子里共有 种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的 个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法，故B错误；
对于C：将其中的 个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有 种放法，故C正确；
对于D：全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，
共有 种不同的放法，故D错误．
故选：AC
11．ABD对于A，对条件 ，求导可得；对于B，对条件 ，两边同时除以 可得；
对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件 ，可得 与 矛盾，可判断
C；对于D，求出 ， ，所以有 ， ， ，得出数列
是以0为首项， 为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，得 ，故A正确；
因为 ，
当 时， ，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
对于C，假设 成立，
求导得 ，
即 ，又 ，
所以 ，所以 与 矛盾，故C错误；
对于D，因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以有 ，
所以数列 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
数列 的偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
又 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】由题意，
在 中，当 时所求值即为所有项的系数和，为： ，
故答案为： .
13． /0.5
设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得 ，结合条件概率的计算公式，
即可求解.
【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，
则 ， ，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 .
故答案为： .
14．0.82
根据条件概率公式计算即可.
【详解】∵ ，∴ ， .
由乘法公式得 .
∴ .
故答案为：0.82.
15．（1） ；（2） ；（3） .【解析】（1）根据二项式系数的性质即可求解；
（2）设 ,令 ，代入 即可求解；
（3）由（2），再令 ，两式相加即可求解.
【详解】设 .
（1）二项式系数之和为 .
（2）各项系数之和为 ，
令 ，得 .
（3）由（2）知 ，①
令 ，
得 ，②
将①②两式相加，得 ，
此即为所有奇数项系数之和.
16．（1） （2）1或－1.
【详解】
（1）由题意得 解得 ．所以椭圆C的方程为 ．
（2）由 得 ．设点M，N的坐标分别为 ， ，则 ， ， ，
．
所以|MN|= = = ．
由因为点A（2,0）到直线 的距离 ，
所以△AMN的面积为 ． 由 ，解得 ，经检验
，所以 ．
17．(1)分布列见解析，期望 ，方差
(2)
（1）利用超几何分布可求X的分布；进而利用期望与方差公式可求解；
（2）利用 可求解.
【详解】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，随机变量X的分布列为
0 1 2 3随机变量 的数学期望 ，
方差
（2）设 ，
所以，事件 发生的概率为 .
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1） 时， ，
所以 在 处的切线方程为
（2）因为 在区间 上不是单调函数，
所以 在 上有变号解，即 在 上有变号解.
因为 ，所以 ，所以
（3）因为 ，
当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 在 上无零点，符合题意;.
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递减区间是 ;单调递增区间是 ，
所以 的最小值为
当 ，即 时， 无零点，符合题意;
当 时， 有一个零点 ，此时 ，不符合题意;
当 时， 的最小值 ，
因为 ，
所以 ，使得 ，不符合题意;
综上所述，当 时，
无零点.
19．(1)1560
(2)6120
(3) ，证明见解析
【详解】（1）题目等同于“用六种不同的颜色给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，
并使同一条棱的两个端点异色”，设顶点为 ，底面4点为 ， ， ， .
首先对顶点 进行涂色，共有6种选择；
第二步，对 点进行涂色，共有5种涂色方法；
第三步，需要对 是否同色进行分类：
若 同色，则共有 种情况；
若 不同色，则共有 种情况；
因此， 种情况.
（2）题目等同于“用六种不同的颜色给一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，
并使同一条棱的两个端点异色”，
设顶点为 ，底面五点为 ， ， ， ， .
首先对顶点 进行涂色，共有6种选择；
此时 五点共有五种不同颜色可供选择.
故问题转化为如图 ， ， ， ， 五个区域，
有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.
若按照 ， ， ， ， 的顺序分步涂色，暂不考虑 同色的情况，
则共有 种情况；其中包含了 同色.
当 同色时，相当于（1）中 四个点的涂色问题，即有1560种；
因此， .
（3）题目等同于“用 种不同的颜色给一个 棱锥的每个顶点染上一种颜色，
并使同一条棱的两个端点异色”，设顶点为 ，底面五点为 ， ， ， ，
首先对顶点 进行染色，共有 种选择；
设 ， ， ， ， 的染色方法共有 种，
下面考虑 的递推关系：
若从 开始染色，则 有 种染法，
继而 ， ， ， 分别均有 种染法，最后对 染色，
如果仅要求 与 异色（不要求 与 异色），则仍有 种染法.
于是，总共有 种染法.
上述 种染法可分为以下两类：
一类是 与 异色，这是符合要求的，有 种染法；
另一类是 与 同色，这不符合要求，
这时可将 与 合并成一点，得出 种符合题设的染法.
于是 （ ），
即 .
故
得
