文档内容
O、A、B、C O、A、B、C
长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级第一次月考 C． 四点不共面 D． 点中任意三点不共线
数学试卷 4.若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是
出题人 ：康乐 审题人：李宁波
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4页。考试结束 A．(－∞，2) B． C．(－∞，－3) D．
后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。 5.已知 ， ，则下列直线的方程不可能是 的是
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
A． B．
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则
C． D．
实数x的值是
A． B． C． D．
2.已知直线 ，若 ，则实数 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．
OA,OB,OC
3.在空间四点 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正
确的是
O、A、B、C
A． 四点不共线 B． 四点共面，但不共线
数学试题 第11页 （共76页） 数学试题 第12页 （共76页）
学科网（北京）股份有限公司C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
6.如图，长方体 中， ， ， 、 、 分别是 、
D．“将军饮马”走过的总路程为
、 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是
8.如图，在正方体 中， 为棱 上的一个动点， 为棱 上的一个
动点，则平面 与底面 所成角的余弦值的取值范围是
A．0 B．
C． D． A． B．
C． D．
7. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞
诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，
二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多
艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军
在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最 9.直线 过 ， 两点，那么直线 的倾斜角有
可能是
短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所在位置为 ，河岸
A． B． C．
线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军
D．
饮马”）的总路程最短，则
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 10.如图，在平行六面体 中，设 ，若 为 与
的交点，则下列等式正确的是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
数学试题 第21页 （共76页） 数学试题 第22页 （共76页）
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
A．
12.已知点 ，点 在直线 上，若直线 垂直于直线 ，
则点 的坐标是 ．
B．
13.已知两条平行直线 ： ， ： ，则
C．
与 间的距离为 ．
AC abc
D． 1
14.在棱长为1的正方体 中， 、 、 分别在棱 、 、 上，
11.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条
直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线 且满足 、 、 ， 是平面 、平面 与平面
段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体 中，
的一个公共点，设 ，则 ．
点 在 上，且 ；点 在 上，且
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式．
.则下列结论正确的是
(1)斜率是 ，且经过点 ；
A．线段 是异面直线 与 的公垂线段
B．异面直线 与 的距离为
(2)在 轴和 轴上的截距分别是 和 ；
C．点 到直线 的距离为 (3)经过点 ，且一个方向向量为 ．
D．点 到平面 的距离为
16.（本小题15分）如图所示，在几何体 中，四边形 和 均为边
第Ⅱ卷（非选择题）
长为2的正方形， ， 底面 ，M、N分别为 、 的中点，
数学试题 第31页 （共76页） 数学试题 第32页 （共76页）
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19.（本小题17分）如图,在四棱锥 中,底面 是边长为6的正方形,
是正三角形, 平面 , 为 的中点, , , 分别是 , , 上的点,
且满足 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.（本小题15分）已知直线方程为 ．
(1)若直线的倾斜角为 ，求 的值；
(1)求平面 与平面 所成锐二面角的大小;
A、B
(2)若直线分别与 轴、 轴的负半轴交于 两点， 为坐标原点，求 面积 (2)在线段 上是否存在点 ,使得直线 与平面 所成角为 ?若存在,求线段
的最小值及此时直线的方程． 的长度；若不存在,请说明理由.
18.（本小题17分）已知直线 ： ， .
(1)证明：直线 过定点 ，并求出点 的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线 过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 ，求
长春外国语学校2024-2025学年第一学期期初考试高二年级
直线 的方程；
数学试卷答案
(3)若直线 不经过第四象限，求 的取值范围.
数学试题 第41页 （共76页） 数学试题 第42页 （共76页）
学科网（北京）股份有限公司1. C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.B 8.A
由题意可得 ， ， ， ， ， ，
9.AD 10.BD 11.ACD
， ， ，
12. 13. 14. /1.2
则 ， ，
15.【答案】(1) (2) (3)
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
【详解】（1）根据点斜式可得直线方程为： ，
化简可得 ；
故 ，即 ，则 ，
（2）根据截距式可得： ，化简可得 ；
令 ，得 ，
（3）由直线的方向向量为 可得直线的斜率 ，
所以 ，
所以所求直线方程为 即 .
所以 ，又 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）得直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为
16.【答案】(1)证明见解析 (2)
，
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以 ， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方
设直线 与平面 所成角为 ，
向建立空间直角坐标系 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.【答案】(1) ；
数学试题 第51页 （共76页） 数学试题 第52页 （共76页）
学科网（北京）股份有限公司(2) 面积的最小值为 ，此时直线 的方程为 . 所以直线 过定点 ，点 的坐标为 .
【详解】（1）解：由题意可得 . （2）当截距为0时，直线 的方程为 ，即 ，
当截距不为0时，设直 线的方程为 ，
（2）解：在直线 的方程中，令 可得 ，即点 ，
则 ，解得 ，
令 可得 ，即点 ，由已知可得 ，解得 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以， 故直线 的方程为 或 .
（3）当 时，直线 的方程为 ，符合题意；
，
当 时，直线 的方程为 ，不符合题意；
当且仅当 时，等号成立，此时直线的方程为 ，即 . 当 ，且 时， ，
所以 ，解得 或 ，
18.【答案】(1)证明见解析，点 的坐标为
(2) 或 (3)
综上所述，当直线 不经过第四象限时， 的取值范围是： .
【详解】（1）证明：整理直线 的方程，得 ，
19.【答案】(1) (2)不存在,理由见详解
所以直线 过直线 与 的交点，
【详解】（1） 是正三角形, 为 的中点, ,
又 平面 , 平面 , ,
联立方程组 ，解得 ，
又 平面 , 平面 , 平面 ,且 ,
数学试题 第61页 （共76页） 数学试题 第62页 （共76页）
学科网（北京）股份有限公司平面 .
,
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小 .
（2）设线段 上是否存在点 ,使得直线 与平面 所成角为 ,且
,
取 的中点 ,连接 ,
由（1）得 平面 ,且底面 是的正方形,所以以 为原点,分别以
,
所在直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标,
,
又 , , 分别是 , , 上的点,且满足 ,
,
，
9t2 15t130
整理可得: ,方程无解,
, ,
不存在这样的点 .
由 平面 ,所以平面 的法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,解得 , ,
设平面 与平面 所成锐二面角为 ,
数学试题 第71页 （共76页） 数学试题 第72页 （共76页）
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