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宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的.）
s(t)=3t3 −5t2
1．已知某质点的位移函数为 ，则当 时，该质点的瞬时速度是（ ）
A．−4m/s B．8m/s C． 68m/s D． 104m/s
2．函数 的单调递减区间为（ ）
(−∞,0] [−1,1]
A． B． C． D．
3．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ）
A．21 B．210 C． D．
4．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间
内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
f(x)=0
5．已知函数 ，若方程 有两个解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为 千元时，在销售A，B商品中所获收益分
别为 千元与 千元，其中 ， ，如果该个体户准备共投入5千元销售
A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（ ）千元．A． B． C． D．
y=ln(2x) y=−ln(−2x)
7．已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则（ ）
A． ， B． ，
2 2
C．
k=
， D．
k=
，
e e
8．已知 是自然对数的底数， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，共18分，在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选
对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9．下列命题正确的有（ ）
f(1)−f(1+Δx)
A．已知函数 在 上可导，若 ，则 lim =2
Δx
Δx→0
(
cosx) ' −xsinx−cosx
=
B． x x2
C． 在R上是增函数
D． 在 处的切线斜率是
''
f (x)
10．定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三
f(x)=ax3 +bx2 +c
次函数图象的对称中心.已知三次函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有
（ ）
5
c=
A．若 3，则 ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．若 是 的极大值点，则 在区间 单调递增a>0 c∈(2,+∞)
D．当 时，函数 有三个零点时
11、已知函数 ，若 有两个极值点 ，则下面判断正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
3
f(x)= x2 −4ax+a2lnx
12、已知函数 2 在x=1处有极大值，则a=
13、若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数
一共有 个
14、已知定义在 上的连续奇函数 的导函数为 ，当 时， ，且
1 1 −3
f( )=−3，则不等式f(x− )< 的解集为
2 2 2x−1
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
f(x)=x−2sinx+1
15、已知函数
(0,f(0))
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
[ π]
0，
(2)求函数 在区间 2 上的最大值与最小值.
16．已知函数 在 处的切线与直线
x+4 y=0
垂直
(1)求a的值；(2)求 的单调区间和极值.
17．已知抛物线 过点P(1,1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点
M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
18．已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
x∈(−1,+∞)
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.lnx+1
f(x)= +ax,(a∈R)
19．已知函数 x
(1)当 时，证明： ；
(0,1]
(2)若 在区间 单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 且 ， ，证明：x2 +x2 >2．
1 2宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考
数学试题答案
单选：DCBA ABCA
多选：BCD ABD ACD
( 1)
填空：3 52 0, ∪(1,+∞)
2
11、解：由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， ， 有且仅有一个极值点 ，不合题意；
当 时，令 ，则 ；
由题意 ，且 所以 ，
对于A， 是方程 的两根， ，A正确；
对于B， ， ，
， ；
， ，
，B错误；
对于C，当 时， ， 当 时， 单调递减，
，C正确；
对于D， ，
是方程 的两根， ， ，，
令 ， ，
在 上单调递增， ， ，D正确.
故选：ABD.
四、解答题
f' (x)=1−2cosx f' (0)=1−2cos0=−1
15、解：（1）由题意 ，
∵f(0)=1 (0,f(0)) y−1=−1(x−0)
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
y=−x+1
即 .......................................................................................................................................6分
[ π]
f' (x)=1−2cosx，x∈ 0,
（2）由题意 2
π π π
≤x≤ 0≤x≤
由f' (x)≥0，3 2 ，又由f' (x)≤0， 3
π π
[ π] [π π]
0， ， ∵f( )= −1，f(0)=1
则f (x)在 3 递减， 3 2 递增. 2 2
π π
∴f (x) =f ( )= +1−√3
min 3 3 , f (x) max =f (0)=1
............................................................................................................................13分
16．解：（1）由题意知 ，
x+4 y=0
所以 ，又函数 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 ，即a的值为1....................................................................7分
（3）由（1）知 ， ，令 ，解得 或 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
又 ， ，所以 的极大值为 ，极小值为 ..................................15分
17．解：（1）由抛物线C： 过点P（1，1），得 .
所以抛物线C的方程为 . 抛物线C的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 .............6分
（2）由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ， .
由 ，得 ..........................................................................................8分
则 ， .................................................................................................................9分
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为 ，点A的坐标为 .......................10分
y x
( )
x , 2 1
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 1 x ................................................................12分
2
y x y x +y x −2x x
因为 y + 2 1 −2x = 1 2 2 1 1 2
1 x 1
2
， 所以 .
故A为线段BM的中点................................................................................................................15分
18．解：（1）因为 ，所以 ..........................................1分
因为 ，若 ，即 时， 在 上单调递增，..........................................4分
若 ，即 时，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减............................................................................................................................................8分
（2）因为 ， 恒成立，
所以 ，则 ，.............................10分
令 且 ，则 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，.............13分
又 ，所以 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，.............................16分
所以 ，实数 的取值范围为 .........................................................................................17分
19．解：（1）由 ，，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ．..................................................................................................................3分
−lnx lnx
f' (x)= +a≥0 ∴a≥
x2 (0,1] x2 (0,1]
（2）由题 在区间 上恒成立， 在区间 上恒成立.
lnx
h(x)= ，x∈(0,1]
x2
令 ，
1−2lnx lnx
h' (x)= >0在x∈(0,1] ∴h(x)= 在(0,1]
x3 x2
上恒成立， 递增
∴h(x)
max
=0
，
∴a≥0
.......................................................................................................................6分(3)由 可得 ，两边取对数并整理，
得 ，即 ，...........................................................................8分
不妨设 ，由（1）知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，且当 时， 恒成立，得到 ，.......................................................10分
记 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，....................................................................................................13分
所以 ，即 ，于是 ，
又 在 上单调递减，所以 ．................................................................................15分
x2 +x2 >x2 +(2−x ) 2 =2x2 −4x +4=2(x −1) 2 +2>2
所 1 2 1 1 1 1 1 ，得证．............................................17分
