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东北三省精准教学 年 月高三联考 强化卷 数学 令z λ 则y λ x 所以n λ λ . 分
2024 12 1=2 , 1=2 , 1= 3, =( 3,2 ,2 ) (12 )
参考答案 因为y轴垂直于平面BCC B 则可取m 为平面BCC B 的一个法向量. 分
1 1, =(0,1,0) 1 1 (13 )
n m λ DE
设平面A BE与平面BCC B 的夹角为α 则 α | · | |2 | 5 解得λ 1 故 . 分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 , |cos |=
|
n
|·|
m
|
=
8
λ2
+3
=
5
, =
2
, EC
1
=1 (15 )
[ ] [ ]
C B A D A C D D ABC AD BD
17. 答案 5π 17π π 分
【 】(1) 0, , , (6 )
( ) ( ) 48 48 2
12. 4 4 分 13. 6 分 14. 分
-2, ∪ ,+∞ (5 ) (5 ) (-∞,2](5 ) 证明见解析 分
3 3 2 (2)(- 5, 5); (9 )
详解 分析:根据题意,先利用三角恒等变换公式将函数f(x)化简,再由正弦型函数的单调区间,代入计算得到结果.
15. 答案 15 分 分 【 】(1)
【 】(1) (6 ) (2)9+6 2(7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
f x x π π x x π x π x π . 分
详解 在 ABD中 由余弦定理得 ( )=sin 4 + -sin -4 =sin 4 + -cos 4 + = 2sin 4 + (2 )
【 】(1) △ , 3 6 3 3 12
k k
BD2 AB2 AD2 AB AD BAD 2 2 1 由 k π x π k π k Z 得 π 7π x π 5π k Z
= + -2 · ·cos∠ =5 +4 -2×5×4× =36, 2 π- ≤4 + ≤2 π+ ( ∈ ), - ≤ ≤ + ( ∈ ),
8 2 12 2 2 48 2 48
BD . 分 [k k ]
∴ =6 (3 ) 所以f x 的单调递增区间为 π 7π π 5π k Z .
设BO x 则DO x. AC BD ( ) - , + ( ∈ )
= , =6- ∵ ⊥ , 2 48 2 48
∴
在
Rt△
AOB
,Rt△
AOD中
,
由BO
=
x得AO2
=
AB2
-
BO2
=
AD2
-
DO2
(
关键:利用勾股定理,构造关于BO的方程
), (5
分
) (4
分
)
[k k ] [ ] [ ] [ ]
即 5 2 - x2 =4 2 -(6- x ) 2 , 解得x = 15 , 故BO = 15. (6 分 ) 又 π - 7π , π + 5π ∩ 0, π = 0, 5π ∪ 17π , π , k ∈ Z ,
4 4 2 48 2 48 2 48 48 2
(2) 令BC = m , DC = n ( m , n >0),∵ ∠ BCD =90 ° ,∴ m2 + n2 =6 2 , 所以f x 在 [ π ] 上的单调递增区间为 [ 5π ] [ 17π π ] . 分
( ) 0, 0, , , (6 )
分 2 48 48 2
(7 )
(m n)
2 (2)
分析:根据题意,带入数值,利用辅助角公式及三角函数的有界性得到a的取值范围;接下来分类讨论进行证明.
即 ( m + n ) 2 -2 mn =36 .又mn ≤ + ( 提示:利用基本不等式的变式,把边长积化为边长和 ), (9 分 ) ( x ) ( x )
2 由 f π f 5π a 得 x x a
(m n)
2
2
4
-
48
+
48
-
4
= 2 , 2sin +cos = ,
m n 2 + 即 m n 2 当且仅当m n 时取等号 分
∴ ( + ) -2· ≤36, ( + ) ≤72, = =3 2 , (11 ) 分
2 (7 )
∴
m
+
n
≤6 2,
故四边形ABCD周长的最大值为
5+4+6 2=9+6 2
.
(13
分
) 即 x φ
a
其中 φ 1 φ 2 . 分
sin( + )= , sin = ,cos = (8 )
16. 答案 证明见解析 分 分
5 5 5
【 】(1) (5 ) (2)1(10 )
详解 【证明】分析:根据点D在平面A B C D 内的投影为点A ,可以判断A D 平面ABCD,进而由线面垂直的性质证明线 a
【 】(1) 1 1 1 1 1 1 ⊥ 所以当且仅当 <1, 即 - 5< a < 5 时 , 满足题意.故实数a的取值范围为 (- 5, 5) . (10 分 )
线垂直,在 ABD中使用余弦定理求边BD的长度,结合勾股定理证明AD BD,最后根据线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转 5
△ ⊥
( )
化证明结论. 当 a 时 x x π φ 即x x x φ
1≤ < 5 , 1+ 2=2 - , 1- 2=π-2( 2+ ),
由题意可知A D 平面ABCD 又AD 平面ABCD 故A D AD. 分 2
1 ⊥ , ⊂ , 1 ⊥ (1 ) a
不妨设AD =1, 在 △ ADB中 , AB =2, AD =1,∠ DAB =60 ° , 由余弦定理得 BD2 = AB2 + AD2 -2 AB · AD ·cos∠ DAB =2 2 +1 2 -2×2×1× 此时 cos( x 1- x 2)=-cos [2( x 2+ φ )]=2sin 2 ( x 2+ φ )-1, 而 sin( x 2+ φ )= , 所以 2sin 2 ( x 2+ φ )-1= 2 a2 -1; (12 分 )
°
5 5
cos 60 =3, ( )
当 a 时 x x 3π φ 即x x x φ
所以BD 故AD2 BD2 AB2 故AD DB. 分 - 5< <1 , 1+ 2=2 - , 1- 2=3π-2( 2+ ),
= 3, + = , ⊥ (3 ) 2
因为A D DB D A D DB 平面A BD 所以AD 平面A BD 分 a
1 ∩ = , 1 , ⊂ 1 , ⊥ 1 , (4 ) 此时 x x x φ 2 x φ 而 x φ 所以 2 x φ 2 a2 . 分
而AD 平面ADD A 所以平面A BD 平面ADD A . 分 cos( 1- 2)=-cos [2( 2+ )]=2sin( 2+ )-1, sin( 2+ )= , 2sin( 2+ )-1= -1 (14 )
⊂ 1 1, 1 ⊥ 1 1 (5 ) 5 5
【解】分析:根据垂直关系建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.
(2) 综上 x x 2 a2 . 分
,cos( 1- 2)= -1 (15 )
连接A C AC 由 知 DA DB DA 两两垂直 如图所示 以D为坐标原点 DA DB DA 所在 5
1 1, , (1) , , , 1 , , , , , 1 18.【证明】 分析:先由导数的几何意义结合垂直关系求得a,从而求出f(x),再通过构造函数,利用导数研究函数的单调性,结合虚
(1)
直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系D xyz 则D A B A
, , - , (0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0), 1(0,0, 设零点的方式,即可证明不等式.
C 故A→B →AC 又因为A→C →AC 所以C f′ x a2 ax f′ a2 又a a f x x.
3), (-1, 3,0), 1 =(0, 3,- 3), =(-2, 3,0), 1 1= , 1(-2, 3, ∵ ( )= e ,∴ (0)= =1, >0,∴ =1,∴ ( )=e
分
所以D→C . 分 (2 )
3), 1=(-2, 3, 3) (7 )
设F x x x x 则F′ x x 1
设D→E λD→C λ 则D→E λD→C λ λ λ 即E λ λ λ 所以A→E λ λ λ . 分 ( )=e -ln( +2)( >-2), ( )=e -x ,
= 1(0< <1), = 1=(-2 , 3 , 3 ), (-2 , 3 , 3 ), 1 =(-2 , 3 , 3 - 3) (9 ) +2
设n x y z 为平面A BE的一个法向量
=( 1, 1, 1) 1 , 设φ x x 1 x 则φ′ x x 1
{
n A→B y z
( )=e -x
+2
( >-2), ( )=e +
(
x
+2)
2>0,
则 · 1 = 3 1- 3 1=0,
n A→E λx λy λ z ∴ F′ ( x ) 在 (-2,+∞) 上单调递增 , 又F′ (-1)= 1 -1<0, F′ (0)=e 0 - 1 = 1 >0,
· 1 =-2 1+ 3 1-( 3 - 3) 1=0, e 2 2
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1 , 4 2 4
{#{QQABJYQAgggoAAAAAQgCQwGACAOQkhCCAagOxBAEsAAASANABAA=}#}存在x 使得F′ x 即 x 0 1 若 { b n} 是数列 { a n} 的 “3 项递增衍生列 ”, 且 1<3<4<5,
∴ 0∈(-1,0) ( )=0, e =x
0+2
,
则 { b n} 为 1,3,4 或 1,3,5 或 1,4,5 或 3,4,5 . (3 分 )
∴ x 0=-ln( x 0+2), (4 分 ) (2) 【证明】设等比数列 { a n} 的公比为q ( q ≠1),
当x x 时 F′ x F x 单调递减 当x x 时 F′ x F x 单调递增
∈(-2, 0) , ( )<0, ( ) , ∈( 0,+∞) , ( )>0, ( ) , 假设数列 { b n} 是数列 { a n} 的 “3 项递增衍生列 ”,
∴
F
(
x
)≥
F
(
x
0)=e
x 0
-ln(
x
0+2)=x
1
+
x
0=
x 0 2
x
+2 x 0+1
=
( x
x
0+1) 2
>0,∴
f
(
x
)>ln(
x
+2)
.
(6
分
)
则存在 1≤ k 1< k 2< k 3≤ m , 使a k
1
=1, a k
2
=16, a k
3
=81,
分析:先判断g(x)的单调性,再 0 对 +2 g(x ),g( 0 x +2 )变形,通 0 过 +2 构造函数h(x) x x ,证明g(x ) ,g(x ) ,结合零点存在定理 所以a k 2 = a k 1 q k 2- k 1 , a k 3 = a k 1 q k 3- k 1 , 则q k 2- k 1 =16, q k 3- k 1 =81, (5 分 )
( 即 2 可 ) 得证. 1 2 =e - -1 1 <0 2 >0 则 | q | k 2- k 1 =16,| q | k 3- k 1 =81,
ax ax k k
∵
g
(
x
)=
a
e
ax
-
e
x
1
1
-
-
e
x 2
2
(
a
≠0),∴
g′
(
x
)=
a2
e
ax
>0,∴
g
(
x
)
在
(
x
1,
x
2)
上单调递增
, (8
分
)
所以 k 3
2
-
-
k 1
1
= l
l
o
o
g
g
|
|
q
q
|
|
8
1
1
6
=log1681=log23(∗), (6 分 )
k k
又g ( x 1)= a e ax 1 - e a x x 1 -e x ax 2 = a e ax 1 ( x 1- x x 2)- x (e ax 1 -e ax 2 ) =-x e ax x 1 [ a ( x 1- x 2)+e a ( x 2- x 1) -1]=-x e ax x 1 [e a ( x 2- x 1) - a ( x 2- x 1)-1], 同理 , 因为k 2- k 1, k 3- k 1∈ N∗ , 所以 k 3 2 - - k 1 1 为有理数 , 但 log23 为无理数 ,
1- 2 1- 2 2- 1 2- 1 所以 式不可能成立. 分
(∗) (7 )
ax (反证法的应用,先假设数列{b }是数列{a }的“ 项递增衍生列”,推出矛盾,得出结论)综上 数列 b 不是数列 a 的 项递
g
(
x
2)=x
e
x
2
[e
a ( x 1- x 2)
-
a
(
x
1-
x
2)-1]
.
(13
分
) 增衍生列 .
n n 3 , { n} { n} “3
分
2- 1 【解】设 ” 等差数列 a 的公差为d (8 )
设h x x x 则h′ x x 令h′ x 解得x 当x 时 h′ x h x 单调递减 当x 时 h′ x h x 单调递增 (3) { n} ,
( )=e - -1, ( )=e -1, ( )=0, =0, <0 , ( )<0, ( ) , >0 , ( )>0, ( ) ,
14
∴ 当x ≠0 时 , h ( x )> h (0)=0, 即 e x - x -1>0, 由 ∑i= a i=14 a 1+91 d =105, 解得d =1, (9 分 )
∴ e a ( x 2- x 1) - a ( x 2- x 1)-1>0,e a ( x 1- x 2) - a ( x 1- x 2)-1>0 . (15 分 ) 故 令 数 b 列1 a { a n 因 } 为 为 1 数 ,2 列 ,3, a 4,5 中 ,… 各 , 项 14 均 , 为正整数 所以a a 提示:若a a ,则a ,a ,a 成等差数列 (10 分 分 )
ax ax i= ki, { n} , k - k ≥3( k - k =2 k k k ), (11 )
又 x e 2- x 1 1 >0,x e 2- x 2 1 >0,∴ g ( x 1)<0, g ( x 2)>0,∴ 存在c ∈( x 1, x 2), 使得g ( c )=0, 又g ( x ) 在 ( x 1, x 2) 上单调递增 , 同 同 理 理 a a k k 5 - - a a k k 3 ≥ ≥ 3 7 , , 且 且 a a k k 5 - - a a k k 3 ≠ ≠ a a k k 3 - - a a k k 1 , , 所 所 以 以 a a k k 5 - - a a k k 3 ≥ ≥ 3 4 8 , , 则 则 1a a k k 5 - - a a k k 1 ≥ ≥ 7 15 , , 3 1 1 2 3
函数g x 在 x x 上存在唯一零点. 分 这与已知9 条5件矛盾 所9以k5 5 1 9 5 9 1 分
∴ ( ) ( 1, 2) (17 ) , i≤8, (15 )
此时可以构造数列 b 为 其中任意三项均不构成等差数列 分
19. 答案 或 或 或 分 { n} 1,2,4,5,10,11,13,14, , (16 )
【 】(1)1,3,4 1,3,5 1,4,5 3,4,5(3 ) 综上所述 m的最大值为 . 分
证明见解析 分 分 , 8 (17 )
(2) (5 ) (3)8(9 )
详解 【解】由题意得 数列 a 为 分
【 】(1) , { n} 1,8,3,4,5,2, (1 )
第 页 共 页 第 页共 页
3 , 4 4 4
{#{QQABJYQAgggoAAAAAQgCQwGACAOQkhCCAagOxBAEsAAASANABAA=}#}
