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天津市河西区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知数列{𝑎 }中，𝑎 =1，𝑎 =3，𝑎 =𝑎 + (𝑛 ≥3)，则𝑎 等于( )
𝑛 1 2 𝑛 𝑛−1 𝑎 4
𝑛−2
55 13
A. B. C. 4 D. 5
12 3
2.准线方程为𝑦 =4的抛物线的标准方程是( )
A. 𝑥2 =16𝑦 B. 𝑥2 =8𝑦 C. 𝑥2 =−16𝑦 D. 𝑥2 =−8𝑦
4 9 16
3.数列−1， ，− ， ，…的一个通项公式是( )
3 5 7
𝑛2 𝑛(𝑛+1)
A. 𝑎 =(−1)𝑛⋅ B. 𝑎 =(−1)𝑛⋅
𝑛 2𝑛−1 𝑛 2𝑛−1
𝑛2 𝑛(𝑛+1)
C. 𝑎 =(−1)𝑛⋅ D. 𝑎 =(−1)𝑛⋅
𝑛 2𝑛+1 𝑛 2𝑛+1
𝑥2 𝑦2
4.设双曲线 − =1(𝑎 >0)的渐近线方程为3𝑥±2𝑦=0，则𝑎的值为( )
𝑎2 9
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成
等比数列，且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为( )
1
A.
8
1
B.
4
1
C.
2
D. 1
6.已知𝐹 (−1,0)，𝐹 (1,0)是椭圆𝐶的两个焦点，过𝐹 且垂直于𝑥轴的直线交椭圆于𝐴、𝐵两点，且|𝐴𝐵|=3，
1 2 2
则𝐶的方程为( )
𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2
A. +𝑦2 =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
2 3 2 4 3 5 4
𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2
7.若实数𝑘满足0<𝑘 <9，则曲线 − =1 与曲线 − =1 的( )
25 9−𝑘 25−𝑘 9
A. 焦距相等 B. 半实轴长相等 C. 半虚轴长相等 D. 离心率相等
8.设𝐹为抛物线𝐶：𝑦2 =3𝑥的焦点，过𝐹且倾斜角为30°的直线交于𝐶，𝐴，𝐵两点，则|𝐴𝐵|=( )
√ 30
A. B. 6 C. 12 D. 7√ 3
3
9.设数列1，(1+2)，…，(1+2+⋯+2𝑛−1)，…的前𝑛项和为𝑆 ，则𝑆 等于( )
𝑛 𝑛
第1页，共6页A. 2𝑛 B. 2𝑛−𝑛 C. 2𝑛+1−𝑛 D. 2𝑛+1−𝑛−2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
𝑥2 𝑦2
10.已知椭圆 + =1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为______．
𝑚 4
4
11.已知数列{𝑎 }满足3𝑎 +𝑎 =0，𝑎 =− ，则{𝑎 }的前10项和等于______．
𝑛 𝑛+1 𝑛 2 3 𝑛
12.已知𝐹是抛物线𝑦2 =𝑥的焦点，𝐴、𝐵是该抛物线上的两点，|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=3，则线段𝐴𝐵的中点到𝑦轴的
距离为______
1
13.已知等差数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 =5，𝑆 =15，则数列{ }的前100项和为______．
𝑛 𝑛 5 5 𝑎𝑛𝑎
𝑛+1
𝑥2 𝑦2 √ 3
14.设双曲线 − =1(𝑏 >𝑎 >0)的半焦距为𝑐，直线𝑙过(𝑎,0)，(0,𝑏)两点，已知原点到直线𝑙的距离为 𝑐，
𝑎2 𝑏 2 4
则双曲线的离心率为______．
15.在等差数列{𝑎 }中，𝑎 =7，公差为𝑑，前𝑛项和为𝑆 ，当且仅当𝑛 =8时𝑆 取得最大值，则𝑑的取值范围
𝑛 1 𝑛 𝑛
为 ．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知双曲线的两个焦点分别为𝐹 (−5,0)，𝐹 (5,0)，双曲线上一点𝑃与𝐹 ，𝐹 的距离差的绝对值等于6．
1 2 1 2
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(Ⅱ)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率．
17.(本小题10分)
解答下列各题．
(Ⅰ)在等差数列{𝑎 }中，𝑎 =10，𝑆 =5，求通项𝑎 及数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 ；
𝑛 6 5 𝑛 𝑛 𝑛
(Ⅱ)在等比数列{𝑏 }中，𝑏 =3，𝑏 =81，求通项𝑏 及数列{𝑏 }的前𝑛项和𝑇 ．
𝑛 2 5 𝑛 𝑛 𝑛
18.(本小题10分)
𝑆 31
已知等比数列的首项为−1，前𝑛项和为𝑆 .若 10 = ，求公比𝑞．
𝑛 𝑆 32
5
19.(本小题10分)
𝑥2 𝑦2 √ 3 2√ 3
已知点𝐴(0,−2)，椭圆𝐸： + =1(𝑎 >𝑏 >0)的离心率为 ，𝐹是椭圆的右焦点，直线𝐴𝐹的斜率为 ，
𝑎2 𝑏 2 2 3
𝑂为坐标原点．
(1)求椭圆𝐸的方程；
(2)设过点𝐴的直线𝑙与椭圆𝐸交于𝑃，𝑄两点，当△𝑂𝑃𝑄的面积最大时，求直线𝑙的方程．
第2页，共6页20.(本小题10分)
数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，且𝑆 =𝑛(𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗).
𝑛 𝑛 𝑛
(1)求数列{𝑎 }的通项公式；
𝑛
(2)若数列{𝑏 }满足：𝑎 =
𝑏
1 +
𝑏
2 +
𝑏
3 +⋯+
𝑏𝑛
，求数列{𝑏 }的通项公式；
𝑛 𝑛 3+1 32+1 33+1 3𝑛+1 𝑛
(3)令𝑐 =
𝑎𝑛𝑏𝑛(𝑛∈𝑁
∗)，求数列{𝑐 }的前𝑛项和𝑇 ．
𝑛 4 𝑛 𝑛
第3页，共6页1.【答案】𝐵
2.【答案】𝐶
3.【答案】𝐴
4.【答案】𝐶
5.【答案】𝐶
6.【答案】𝐶
7.【答案】𝐴
8.【答案】𝐶
9.【答案】𝐷
10.【答案】2√ 5或4
11.【答案】3(1−3−10)
5
12.【答案】
4
100
13.【答案】
101
14.【答案】2
7
15.【答案】(−1,− )
8
16.【答案】解：(𝐼)由题意得𝑐 =5，2𝑎=6，则𝑎 =3，
所以𝑏 =√ 𝑐2−𝑎2 =√ 25−9=4，
又因为焦点在𝑥轴上，
𝑥2 𝑦2
所以双曲线的标准方程为 − =1；
9 16
(Ⅱ)由(𝐼)得，双曲线的顶点为(−3,0)，(3,0)，
实轴长为2𝑎 =6，虚轴长为2𝑏 =8，焦距为2𝑐 =10，
4 𝑐 5
渐近线方程为𝑦 =± 𝑥，离心率为𝑒 = = ．
3 𝑎 3
17.【答案】解：(Ⅰ)在等差数列{𝑎 }中，设公差为𝑑，
𝑛
由𝑎 =10，𝑆 =5，可得𝑎 +5𝑑 =10，5𝑎 +10𝑑 =5，
6 5 1 1
解得𝑎 =−5，𝑑 =3，
1
则𝑎 =−5+3(𝑛−1)=3𝑛−8，
𝑛
1 3 13
𝑆 = 𝑛(−5+3𝑛−8)= 𝑛2− 𝑛；
𝑛 2 2 2
第4页，共6页(Ⅱ)在等比数列{𝑏 }中，设公比为𝑞，
𝑛
由𝑏 =3，𝑏 =81，可得𝑏 𝑞 =3，𝑏 𝑞4 =81，
2 5 1 1
解得𝑏 =1，𝑞 =3，
1
1−3𝑛 1
则𝑏 =3𝑛−1，𝑇 = = (3𝑛−1)．
𝑛 𝑛 1−3 2
𝑆 10𝑎 31
18.【答案】解：若𝑞 =1，则 10 = 1 =2≠ ，所以𝑞 ≠1．
𝑆 5𝑎 32
5 1
𝑆 31 (−1)⋅(1−𝑞10) 1−𝑞 31
由 10 = ，得 ⋅ = ．
𝑆 32 1−𝑞 (−1)⋅(1−𝑞5) 32
5
31 1
整理，得1+𝑞5 = ，即𝑞5 =− ．
32 32
1
所以𝑞 =− ．
2
19.【答案】解：(1)设𝐹(𝑐,0)，由条件知 2 = 2√ 3 ，得𝑐 =√ 3又 𝑐 = √ 3 ，
𝑐 3 𝑎 2
𝑥2
所以𝑎 =2，𝑏2 =𝑎2−𝑐2 =1，故E的方程 +𝑦2 =1．
4
(2)依题意当1⊥𝑥轴不合题意，故设直线1：𝑦 =𝑘𝑥−2，设𝑃(𝑥 ,𝑦 )，𝑄(𝑥 ,𝑦 )
1 1 2 2
𝑥2
将𝑦=𝑘𝑥−2代入 +𝑦2 =1，得(1+4𝑘2)𝑥2−16𝑘𝑥+12=0，
4
3
8𝑘±2√ 4𝑘2−3
当𝛥=16(4𝑘2−3)>0，即𝑘2 > 时，𝑥 = ，
4 1+4𝑘 2
4√ 𝑘 2 +1⋅√ 4𝑘 2 −3
从而|𝑃𝑄|=√ 𝑘2+1|𝑥 −𝑥 |= ．
1 2 2
1+4𝑘
2 1
4√ 4𝑘2−3
又点𝑂到直线𝑃𝑄的距离𝑑 = ，所以△𝑂𝑃𝑄的面积𝑆 = 𝑑|𝑃𝑄|= ，
√ 𝑘 2 +1 △𝑂𝑃𝑄 2 1+4𝑘 2
4𝑡 4
设√ 4𝑘2−3=𝑡，则𝑡 >0,𝑆 = = ⩽1，
△𝑂𝑃𝑄 𝑡2+4
𝑡+
4
𝑡
√ 7
当且仅当𝑡 =2,𝑘 =± 等号成立，且满足𝛥 >0，
2
所以当△𝑂𝑃𝑄的面积最大时，1的方程为：𝑦=
√ 7
𝑥−2或𝑦 =−
√ 7
𝑥−2．
2 2
20.【答案】解：(1)当𝑛 =1时，𝑎 =𝑆 =2，
1 1
当𝑛 ≥2时，𝑎 =𝑆 −𝑆 =𝑛(𝑛+1)−(𝑛−1)𝑛=2𝑛，
𝑛 𝑛 𝑛−1
知𝑎 =2满足该式，
1
∴数列{𝑎 }的通项公式为𝑎 =2𝑛．
𝑛 𝑛
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
1 2 3 𝑛
(2)∵𝑎 = + + +⋯+ (𝑛≥1)①,
𝑛 3+1 3 2 +1 3 3 +1 3 𝑛 +1
第5页，共6页𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
1 2 3 𝑛 𝑛+1
∴𝑎 = + + +⋯+ + ②,
𝑛+1 3+1 3 2 +1 3 3 +1 3 𝑛 +1 3 𝑛+1 +1
𝑏
②−①得： 𝑛+1 =𝑎 −𝑎 =2，
3𝑛+1+1 𝑛+1 𝑛
𝑏 =2(3𝑛+1+1)，
𝑛+1
∴𝑏 =2(3𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗)，𝑛 =1时，𝑏 =8符合该式．
𝑛 1
故𝑏 =2(3𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗);
𝑛
(3)𝑐 =
𝑎𝑛𝑏𝑛
=𝑛(3𝑛+1)=𝑛⋅3𝑛+𝑛，
𝑛 4
∴𝑇 =𝑐 +𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐
𝑛 1 2 3 n
=(1×3+2×32+3×33+⋯+𝑛×3𝑛)+(1+2+⋯+𝑛)
令𝐻 =1×3+2×32+3×33+⋯+𝑛×3𝑛，①
𝑛
则3𝐻 =1×32+2×33+3×34+⋯+𝑛×3𝑛+1②
𝑛
①−②得：−2𝐻 =3+32+33+⋯+3𝑛−𝑛×3𝑛+1
𝑛
𝑛
3(1−3 )
= −𝑛×3𝑛+1
1−3
(2𝑛−1)×3𝑛+1+3
∴𝐻 = ，
𝑛 4
(2𝑛−1)×3𝑛+1+3 𝑛(𝑛+1)
∴数列{𝑐 }的前𝑛项和𝑇 = + ．
𝑛 𝑛 4 2
第6页，共6页
