文档内容
2024～2025 学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘
贴在”贴条形码区”.
2.作选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否
则，该答题无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.
1. 已知空间两点 ，则 两点间的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由距离公式计算．
【详解】由题意 ，
故选：B．
2. 若直线 经过点 ，则直线 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率公式计算．【详解】由题意 ，
故选：D．
3. 甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率的是 ，则乙不输的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得乙不输与甲胜是对立事件，再由对立事件的概率和为1求解即可；
【详解】乙不输与甲胜是对立事件，则乙不输的概率是 ，
故选：C.
4. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何法即可求得弦 的长 .
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则弦 的长
故选：A
5. 已知空间三点 ，则点 到直线 的距离是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示出 ， ，再根据点 到直线 的距离 计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ， ，则 ， ，
所以点 到直线 的距离 .
故选：D
6. 甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，
则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出样本空间包含的样本点个数，所求事件包含的样本点个数，再用古典概型概率计算公式求解
即可.
【详解】将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成 种等可能的结果，用表格表示如下：
乙
甲
2 3 4 5 6 7
2
34
5
6
7
记事件 “甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，
则事件A的可能结果有6种，即 ，
所以事件A的概率为： ，
故选：C.
7. 在正三棱柱 中， 为棱 的中点， 与 交于点 ，若 ，则 与
所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，取 中点 ，连接 ，证明 是 与 所成的角或其补角，设
，解三角形可得．
【详解】连接 ，取 中点 ，连接 ，则 ， ，所以 是 与
所成的角或其补角，
正棱柱 中所有侧棱都与底面上的任意直线垂直，设 ，则 ，所以 ，
，
等边三角形 中， ，
，
，在等腰 中， ，
,
中， ,
所以 与 所成角的余弦值是 ，
故选：B．
8. 若过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点为 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】利用圆的几何性质，将 化为 ，再求得 两点间距离的最小值，进而求
得 的最小值.
【详解】圆 的圆心 ，半径
四边形 中， ，
则 ，整理得 ，
又 ，
|PC|最小值即为圆心 到直线 的距离 ，
则
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设直线 的交点为 ，则（ ）
A. 恒过定点(0,2)
B.
C. 的最大值为D. 点 到直线 的距离的最大值为5
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，
代入计算即可判断C，结合题意可知点 到直线 的距离的最大值即为点 到定点(0,2)的距离，
即可判断D.
【详解】对于选项A，因为直线 ，即 ，
令 ，解得 ，所以 恒过定点(0,2)，故A正确；
对于选项B，因为直线 满足 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C，联立两直线方程 ，解得 ，
所以 ，
则
，
令 ，则 ，所以 ，
且 在 上单调递增，当 时， ，所以 ，故C错误；
对于选项D，由A可知，直线 恒过定点(0,2)，
则点 到直线 的距离的最大值即为点 到定点(0,2)的距离，
即 ，故D正确；
故选：ABD
10. 某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，
现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件 为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；
事件 为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件 为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件 为
“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（ ）
A. B.
C. 与 相互独立 D. 与 互斥
【答案】BC
【解析】
【分析】由古典概率可得A错误；由古典概率和相互独立事件的概率可得B正确；由相互独立事件的概率
关系可得C正确；由互斥事件的性质可得D错误；
【详解】A，由题意可得 ，故A错误；
B，由题意可得 ，故B正确；
C，由题意可得 ， ，所
以 与 相互独立，故C正确；D，事件 与 可能同时发生，所以不互斥，故D错误；
故选：BC.
11. 已知正方体 的棱长为2，点 满足 ，其中 ，
则（ ）
A. 存在唯一点 ，使得 平面
B. 存在唯一点 ，使得 平面
C. 当 时，点 到平面 的距离的最小值为
D. 当 时，三棱锥 的体积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】以 为原点， 所在方向分别为 轴、 轴、 轴，建立空间坐标系，由 平面
，利用向量法可得 ，从而得 唯一确定，即可判断A；由 平面 ，
可得 ，从而得 不唯一，即可判断B；找出点 的轨迹，结合由等体积法判断C，D.
【详解】解：以 为原点， 所在方向分别为 轴、 轴、 轴，建立空间坐标系，如图所示：
则对于A，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，唯一确定，故正确；
对于B，因为 ，
要使 平面 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故点 不唯一，故错误；
对于C，因为 ，所以 三点共线，因为 ,
设点 到平面 的距离为 ，
则有 ，所以 ，
设 到 的距离为 ，
则 ，
当 与 重合时， ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的 圆弧上，设 到 的距离为
因为 ，
当点 位于圆弧中点时， .
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用空间向量解决空间角度、距离及位置关系是常用方法.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若实数 满足方程 ，则 的最小值为___.
【答案】
【解析】
【分析】将 转化为 ，进而求得 的最小值.
【详解】由实数 满足方程 ，可得 ，则
，
则 的最小值为 .
故答案为：
13. 某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
不满意 一般 满意
女性 25 64
男性 15 36
若 ，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为________.【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，写出样本空间包含样本点，然后写出“满意的顾客中男性顾客不少于
女性顾客”事件的样本点，最后计算概率即可.
【详解】由题可知： ，又因为 ，
所以样本空间包含样本点为 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 个，
设“满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客”为事件 ，则事件 包含的样本点为
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，共 个，所以 ，
所以满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为 .
故答案为： .14. 已知正四棱柱 为对角线 的中点，过点 的直线与长方体表
面交于 两点， 为长方体表面上的动点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 由 ， 求 出
的最大值和最小值后即可得．
【详解】 为 的中点，即为正四棱柱 的中心，由对称性， 为 的中点，
则 ，
， ， ，所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，长方体 中， ，设 .（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面所成角的余弦.
【小问1详解】
连接 ，设 ，连接 ，如图：
则 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 平面 平面
故 平面 .【小问2详解】
以 为坐标原点， 方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，所以 ，
，
.
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，
则 ，即
令 ，解得
，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 令 ，解得 ，
.
设平面 与平面 的夹角为 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16. 在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，
各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手
中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.
（1）求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；
（2）设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为 ，求 的概率.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由独立事件的乘法公式计算即可；
（2）设事件 A，B，C 分别表示“观众甲、乙、丙选 3 号歌手，由题意得到 ，
，再由独立事件 乘的法公式计算即可；
【小问1详解】
设事件D表示“观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手”，
观众甲选2号歌手的概率为 ，观众乙未选2号歌手的概率为 ，
从而 ，
故观众甲选2号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为 ，
【小问2详解】
设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手”，
由题意得： ， ，
所以故 的概率为 .
17. 已知直线 经过直线 的交点 ，且A(3,2)､ 两点到直线
的距离相等.
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若点 在直线 的同侧，且 为直线 上一个动点，求 的最小值.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论所求直线与直线 平行或过 的中点，结合直线点斜式方程运算求解；
（2）求点 关于直线 的对称点为 ，结合几何性质可得 ，即可得结果.
【小问1详解】
由 ，解得 ，所以交点
①当所求直线与直线 平行时，直线 的斜率为 ，
则所求直线的方程为 ，即 ；
②当所求直线过 的中点时，线段 的中点坐标为(1,0)，
则所求直线垂直于 轴，故所求直线方程为 ，即 ；
综上所述，所求直线方程为 或 .
【小问2详解】
因为点 在直线 的同侧，所以直线 的方程为 ，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
解得 ，即点 ，
因 为 ，
当 三点共线时等号取到，
故 的最小值为 .
18. 如图，在矩形 中， ，沿 将 折起，点 到达点 的位置，使点
在平面 的射影 落在边 上.
（1）证明： ；
（2）求点 到平面 的距离；（3）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证 平面 ，即可证明 ；
（2）根据题意，作 ，垂足为 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，即可得到点到面
的距离；
（3）点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即
可得到结果.
【小问1详解】
由点 在平面 的射影 落在边 上可得： 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，且 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
【小问2详解】
作 ，垂足为 ，
由已知得： 且 平面 平面 ，
从而 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，即 即为点 到平面 的距离，
在直角三角形 中， ，所以 ，
故点 到平面 的距离为 .
【
小问3详解】
在直角三角形 中可得， ，以点 为坐标原点，
分别以 所在直线为 轴，以过点 且垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ，
所以 ，从而 ，
易知 ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
所以 ，解得： ，
又直线 的方向向量为 ，因此可得
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 在平面直角坐标系中，已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在 轴上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）设 为圆 的动弦，且 不经过点 ，记 分别为弦 的斜率.
（i）若 ，求 面积的最大值；
（ii）若 ，请判断动弦 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i） ，（ii）过定点，
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程 ，代入已知条件求解；
（2）（i）由 得 ， 是直径，由基本不等式可求得面积的最大值；
（ii）设直线 的方程为 ，代入圆方程，应用韦达定理得 ，
代入 ，得出 关系，然后观察直线方程可得定点坐标．
【小问1详解】
设圆 的标准方程为 ，
由已知可得：解得： ，
所以圆 的标准方程为
【小问2详解】
（2）（i）因为 ，所以 ，
从而直线 经过圆心， 是直角三角形，且 ，
设 ，则 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
（ii）由已知得：直线 的斜率必存在，
设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得： ，
，（※）
又 ，
即 ，
代入（※）得： ，
即 ，
解得： ，或 ，当 时，此时直线 的方程为 ，过定点 （舍去），.
当 时，此时直线 的方程为 ，过定点 ，
故当 ，动弦 过定点 .
