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高三数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. 或x>2) B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知图中的阴影部分表示 ，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.
【详解】由题可知图中的阴影部分表示 ，
或 ，
则 ，
所以 或x>2).
故选：A.
2. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.
【详解】由题可知， 的定义域为 ，
又因为 ，
所以， 为偶函数．
当 时， ，当 时， ，当 时， .
故选：C．
3. 椭圆 的两焦点为 ， ，以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得 ， ，
由此建立a，c的齐次式，进而可得结果.
【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
易得 ， ，
∴ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：D.
4. 已知 的一段图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是
D. 函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由图可知 ， ，所以 ，解得 ，所以
，又函数过点 ，即 ，所以
，解得 ，因为 ，所以 ，所以
，故A错误；
因为 ，所以函数关于 对称，故B错误；
令 ，解得 ，故函数的单调递增区间
为 ，故C正确；
将函数 的图象向左平移 个单位得 为偶函数，
故D错误；
故选：C
5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积
的最大值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径
为 的四分之一圆，计算比较即可.
【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，
方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，
因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，高为 ，
所以两个圆锥体积的最大值为 ．
方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为 的四分之一圆，
因此一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，
所以两个圆锥体积的最大值为 ．
，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
6. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合结论若 ，则 ，证明 ，由此可得 ，再证明 ，
由此可得结论.
【详解】若 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：D．
7. 元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直
至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到摘取的次数为 次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为 次，
结合独立重复实验的概率计算公式，可得：
当两次摘完时，可得概率为 ；
当三次摘完时，可得概率为 ；
当四次摘完时，可得概率为 ，则 .
故选：D.
8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从 1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条
移动路线．从1移动到数字 的不同路线条数记为 ，从1移动到11的事件中，跳过数字
的概率记为 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司① ，② ，③ ，④ ．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析，不难得到 ，按照规律写出各项，即可判断①，
②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法
求出 即可判断.
【详解】由题意可知 ，
则 ， ，
则①正确；显然 ，故②正确；
因为 ，经过数字5的路线共有 条.
理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，
利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有 条.
则 ，故③正确；
同理可得 即有 ，故④错误.
故选:A．
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学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】因 ，
为
选项A： ，所以 的图象关于直线 对称，A
说法正确；
选项B： ，所以 的图象关于点 对称，B说
法正确；
选项C：当 时， ，因为 在 单调递增，所以 在区间
上单调递增，C说法错误；
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学科网（北京）股份有限公司选项D：当 时， ，因为 在 的值域为 ，
所以 在区间 的值域为 ，D说法正确；
故选：ABD
10. 已知点 为抛物线 的焦点， 为 上不重合的两个动点， 为坐标
原点，若直线 （直线 斜率存在且不为0）与 仅有唯一交点 ，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若线段 与 的交点恰好为 中点，则
C. 直线 与直线 垂直
D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A；求出线段 的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B；
设直线 的方程为 ，联立方程，根据 ，结合直线的斜率公式即可判断C；根据
焦半径公式即可判断D.
【详解】对于A，由抛物线抛物线 ，得 的准线方程为 ，故A正确；
对于B，F(1,0)，则线段 的中点坐标为 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于C，设直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，则 ，所以 ，
则 ，所以直线 与直线 垂直，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，设 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图所示的曲线 被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（
为坐标原点）动点 到点 的距离满足： ，则（ ）
A. |OP)的最大值是
B. 若 是曲线上一点，且在第一象限，则
C. 与 有1个交点
D. 面积的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对称性可知 运动到 轴上时，此时|OP)最大，即可求解A，根据特殊位置法即可求解B，
利用 与 的交点，即可结合 ， 求解C，利用判别式可得 ，即可求解D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由双纽线的对称性可知：当 运动到 轴上时，此时|OP)最大，不妨设此时 在 轴的正半轴上，
设此时 ，
由 ，得 ，解得 ，故|OP)的最大值是 ，A正确，
设P(x,y)，则 ，令 ，则 ，解得 ，而此
时 ，不满足 ，故B错误，
联立 与 ，则 ，解得 ，
故直线 与曲线 只有一个交点，而 ， ，由A易知双纽线中 ，
根据对称性，只需研究 上 与 的交点情况，显然只有原点这1个交点，C正确，
对于D，由 可得 ，
令 ，则 ，该方程有实数根，故 ，
解得 ，故 ，
，故D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据 与 的交点，结合 ，
，可判断 与 的交点，由二次型方程 的根，利用判别式
可求解最大的纵坐标.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
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学科网（北京）股份有限公司12. 设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线交抛物线于 ， 两点，若 ，
，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设A(x ,y )，B(x ,y )，根据抛物的定义表示出 ， ，再根据三角形相似得到 ，
1 1 2 2
即可求出 .
【详解】设A(x ,y )，B(x ,y )，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
1 1 2 2
因为 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
13. 若曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 ________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与 ，消元，根据
计算可得.
【详解】由 ，所以 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线为 ，即 ；
又 与曲线 相切，
由 ，可得 ，
则 ，解得 或 （舍去），
故答案为：
14. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为 ，乙命中目
标的概率为 ．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互
独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.
【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为
.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；
（2）先利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，进而可得面积的最大值.
【小问1详解】
，
，
， ，
， ；
【小问2详解】
由余弦定理可得： ，
即 ，
则 ， ，当且仅当 时，等号成立．
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学科网（北京）股份有限公司，
面积的最大值为 ．
16. 已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，a ＝2S＋2.
n n 1 n＋1 n
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若2b＝3na，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 的关系可得 ，求出 ，再由 的关系，得到 ，进而根据等比定
义求得{a}的通项公式；
n
（2） ，由错位相减法可求得{b}的前n项和T．
n n
【
小问1详解】
,
为首项是3，公比为3的等比数列， ，
当 时， ，
当 时， ，符合上式，
【小问2详解】
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
.
17. 在 中，角 的对边分别为 的面积为 ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；
(2)由余弦定理及三角形的面积公式得 ，再由基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理，得 ，
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
由余弦定理，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
即 的最大值为 .
18. 正四棱柱 中 ，点 分别在 上，且 四点共面.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，记平面 与底面的交线为 ，证明： ；
（2）已知 ，若 ，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）❑√2
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用已知可得四边形 是平行四边形，进而可得 平面 ，
由线面平行的性质可得 ；
（2）以 为坐标原点， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形
是平行四边形，进而可得 ，结合已知计算可求四边形 面积的
最大值.
【小问1详解】
连接 ，
由正四棱柱 ，可得 ， ， ，又因为
，所以由勾股定理可得 ，
又 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 ；
【小问2详解】
以 为坐标原点， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，又底面 是正方形，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
由正四棱柱 ，可得平在面 ，
又 四点共面，过 有唯一平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理可得 ，所以四边形 是平行四边形，
又 ，所以 ，
所以 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以
，
所以四边形 面积的最大值为 .
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个
细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝
的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为 ，则从一
个细胞开始，它有 的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是 ，两个细胞最
终都走向灭绝的概率就是 ，于是我们得到： ，计算可得 ；我们也可以设一个种群由
一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为 ，那么从一个细胞开始，它有 的概率分裂成两个细胞，在这两
个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是 ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是 ，于是我们得
到： ，计算可得 ．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系
的点 处，他每步走动都会有 的概率向左移动1个单位，有 的概率向右移动一个
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学科网（北京）股份有限公司单位，原点 处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以 代表当这个人由 开始，最终掉
入陷阱的概率．
（1）若这个人开始时位于点 处，且 ．
（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率 ；
（ⅲ）已知 ，若 ，求 ；
（2）已知 是关于 的连续函数．
（ⅰ）分别写出当 和 时， 的值（直接写出即可，不必说明理由）；
的
（ⅱ）求 关于 表达式．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ） ；（ⅲ）
（2）（ⅰ）当 时， ；当 时， ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合
累加法得出通项公式；
（2）针对定义域分段求解函数表达式.
【小问1详解】
（ⅰ）设事件 ：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件 ：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件 ：“这个人在
第5步掉入陷阱”，
则他在5步内掉入陷阱的概率 ．
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学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率为 ，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，
若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，
而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以 ，
由此可得 （舍去）或 ．
（ⅲ）由（ⅱ）可知， ，
方法一：由 ，得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ．
则
累加得 ，所以 ．
方 法 二 ： 由 ， 得 ， 即
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 是以 为首项， 为公比 等比数列，所以 ．
的
【小问2详解】
（ⅰ）由题意得，当 时， ；当 时， ．
（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，
若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，
而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，
所以 ，即 ，得 或 ．
因为 是关于 的连续函数，所以当 时， ，
当 时， ．
所以
【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式.
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