文档内容
晋中市 2025 年 1 月高二年级期末调研测试试卷
数学
考生注意：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
的
【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线 倾斜角.
【详解】由 ，可得 ，故直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角为 ，则 ，因 ，故 .
故选：D.
2. 2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成
绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 （单位：
）与时间 （单位： ）之间的关系为 ，则当 时，该运动员的滑雪速度为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的实际意义，对 求导再代入 求解即可.
【详解】由题意， ，故当 时，该运动员的滑雪速度为 .
故选：B
3. “ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆可得出 的取值范围，再根据范围大小可得结果.
【详解】若方程 表示椭圆，则需满足 ，
解得 ，
显然 是 的真子集，
所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
4. 在三棱柱 中， ， ， ， 为平行四边形 对角线的交点，则
（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算法则计算可得结果.
【详解】如下图所示：
易知
.
故选：C
5. 设等比数列 满足 ， ，则公比 （ ）
A. 8 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】借助等比数列性质计算即可得.
【详解】由题意可得 ，即 .
故选：D.
6. 在长方体 中， ， ，点 满足 ，则点 到直线
的距离为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
以 为坐标原点，以 、 、 分别为 、 、 轴的空间直角坐标系，
的
， ， ，设点 到直线 距离为 ，
所以 ， ，
根据点到直线距离公式有： ，
所以 .
故选：C
7. 已知函数 的定义域为R，且 的图象是一条连续不断的曲线， 的导函数为f′(x)，若函
数 的图象如图所示，则（ ）A. 的单调递减区间是
B. 的单调递增区间是(−1,1)，
C. 当 时， 有极值
D. 当 时，f′(x)<0
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图象解不等式可得 的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C
错误，根据不等式结果可得D错误.
【详解】根据图象可知当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ，且 ；
对于AB，易知 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
因此 的单调递减区间是 ， 的单调递增区间是 ，即A正确，B错误；
对于C，易知当 时， ，当 时， ，
即在 处左右函数 的单调性不改变，因此C错误；对于D，因为 时， ，可得 ，因此 ，即D错误.
故选：A
8. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 ， 分别在 的左、右两
支上，且满足 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得 ，可得其离
心率.
【详解】连接 ，延长 与双曲线交于点 ，连接 ，如下图所示：
由 ，根据对称性可知 ，又 ，所以四边形 为矩形；
由 可设 ，则 ;
由双曲线定义可知 ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ；
因为 ，
在 中， ，且 ，所以 ，解得 ；
即 ，所以 ；
在 中， ，即 ，
解得 ，即 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出 的
关系式，即可求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系 中，点 ， ， ，则（ ）
A.
B. 异面直线 与 所成的角为
C. 点 关于 轴的对称点为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间中点的对称性可判断C选项；利用空间
向量法可判断BD选项.
【详解】对于A选项， ， ，所以 ，A对；
对于B选项， ，所以异面直线 与 所成的角余弦值为 ，故异面直线 与 所成的角不是 ，B错；
对于C选项，点 关于 轴的对称点为 ，C对；
对于D选项，易知平面 为坐标平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，D对.
故选：ACD.
10. 若函数 在 上具有单调性，则函数 可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意可得 或 在 上恒成立，逐个选项计算并判断即可得.
【详解】 ，
若函数 在 上具有单调性，由 恒成立，
则 或 在 上恒成立，
对A： ，不满足题意，故A错误；
对B： 恒成立，故B正确；
对C： ，
由 ，，不符，故C错误；
对D： ，
由 ，故 恒成立，故D正确.
故选：BD.
11. 设 是数列 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列，且 ，则
B. 若 是等差数列，则 是 与 的等差中项
C. 若 是等比数列，则 是 与 的等比中项
D. 若 是等比数列，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 对 于 A 由 得 即 可 判 断 ， 对 于 B 等 差 数 列 的 前 项 和 为
，所以数列 为等差数列即可判断，对于C当公比 时即可判断，对于D
由 即可得公比，计算 建立方程即可求解.
【详解】对于A：设数列 的公差为 ，由 有：
，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 是等差数列， 是数列 的前 项和，所以 ，
，
所以数列 为等差数列， ，所以 是 与 的等差中项，故B正确；
对于C：若 是等比数列，当公比 时， ，所以 不是 与
的等比中项，故C错误；
对于D：因为 是等比数列，且 ，所以公比为 ，所以
，
解得 ，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，直线 的斜率为 ，因为 ，所以 ，
故答案为： .
13. 已知直线与抛物线 （ ）交于 、 两点，且 ， 于点 ，点 的
坐标为 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，直线 的斜率为 ，从而求得直线 方程，由 知 ，
联立直线 与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出 值.
【详解】
， ，
， ，则直线 的方程为： ，即 ，
设 ，
联立 ，消去 得： ，
，， ，
.
故答案为： .
14. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 _____.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合 的值可得 的值.
【详解】由题意可得： ， ，
两式作差可得： ①，进一步有： ②，
由①—②有： ，故数列的偶数项为等差数列，且公差为2，
据此可得： ，即： ，
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上，且直线 被圆 截得
的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，求切线的方程.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果；
（2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果.
【小问1详解】
圆 的圆心为 ，
由圆心在直线 上可得 ，即圆心 ；
易知圆心到直线 的距离为 ，
由弦长公式可得 ，解得 ；
所以圆 的方程为 ；
【小问2详解】
当切线斜率不存在时，过点 的直线方程为 ，
显然 到 的距离等于3，符合题意；
当切线斜率存在时，可设过点 的直线方程为 ，
则圆心 到 的距离为 ，解得 ；
此时切线方程为 ，即 ；
的
综上可知，切线 方程为 或 .
16. 如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 平面 ， ， 分别为棱 ， 的中
点，点 在棱 上，且满足 ， ， .（1）判断 ， ， ， 四点是否共面，若是，请用 和 表示 ，否则，请说明理由；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）
, , , 四点共面；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，只需要验证 ， ， 之间的关系即可判断四点是否共面；
（2）分别求出两个平面的法向量，平面的夹角即为两个法向量所在直线的夹角.
【小问1详解】
由已知，底面 是矩形，且 底面 ，可得 ， ， 两两垂直，可以 为坐标原点，
如图所示建立空间直角坐标系：
各点坐标如下： ， ， ，， ，
由坐标计算可知， .
故 ， ， ， 四点共面，且 .
【小问2详解】
由（1）中建立坐标系过程，易知 平面 ， ，
另设平面 的一个法向量为 ，可得 ，代入坐标得 ，
令 可得 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， .
17. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 ，求数列 前 项和 .
的
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助 与 的关系结合等比数列定义计算即可得；（2）借助错位相减法计算即可得.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，即 ，
当 时， ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即 ；
【小问2详解】
，则 ，
，则 ，
故
，
故 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，且函数y=f (x)有极值2，求 的值；
（2）若 ，且不等式 在(0,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）代入 求导，得出其单调性并求得极值表达式解方程可得 的值；（2）分离参数 ，构造函数并求得 的最大值，可求出实数 的取值范围.
【小问1详解】
若 ，则 ，
所以 ；
当 时， ，因此 在 单调递减，
当 或 时， ，因此 在 ， 单调递增；
即 在 处取得极大值，在 处取得极小值；
若函数 的极大值为2，即 ，此时 ；
若函数 的极小值为2，即 ，此时 ；
综上可得， 或 ；
【小问2详解】
若 ，则 ，
所以不等式为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
则 ；
当 时， ，因此 在 单调递增，
当 时， ，因此 在 单调递减；
因此 在 处取得极大值，也是最大值，即 ，
即 满足题意，所以实数 的取值范围为 .
19. 在直角坐标系 中， ， 两点的坐标分别为 ， ，直线 ， 相交于点 ，它们
的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）若斜率为 且不经过原点 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 的斜率
记为 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，点 为 上一点，且不与 的顶点重合，点 关于 轴的对称点为 ，若直线
与 关于直线 对称，求证： ， ， 三点共线.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用斜率的坐标公式列式化简即得.
（2）根据给定条件，利用点差法列式，结合斜率的坐标公式求得答案.
（3）设点 及直线 的斜率 ，直线 与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，
结合（2）证得 的斜率相等即可.
【小问1详解】
设点 ，依题意， ， ，整理得 ，所以 的方程是 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
由点 均在曲线 上，得 ，
两式相减得 ，则 ，
而 ，所以 .
【小问3详解】
设点 ，则 ，设直线 的斜率为 ，则 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
则 ①，
同理 ②，
直线 的斜率 ，则
，将①②代入并整理，
得 ③，而 ，即 ，因此 ，由（2）知， ，则 ，
又直线 有公共点 ，所以 ， ， 三点共线.
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两
个端点坐标，代入曲线方程作差求解.
