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山西省晋城市部分学校2024-2025学年
高二下学期4月期中考试数学试题（A）
一、单选题
1．若直线 的倾斜角的大小为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．随机变量 服从两点分布，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线交 于 ， 两点，若弦 的中点的横坐标为4，则
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
4．已知随机变量 的分布列如下表：
0 1 2 3
0.12 0.24
则 （ ）
A．1.2 B．1.04 C．1.02 D．1
5．从 人中选择 人去 ， ， 三地调研，一个地方安排 人另外两个地方各安排 人的安排方法共有
（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．计算： （ ）
A． B． C． D．
7．某次数学测试的单项选择题，学生甲有把握答对其中4道题，余下4道题中，有3道有思路，1道完全
没有思路.若甲答对每道有思路的题的概率为 ，答对每道完全没有思路的题的概率为 ，他从这8道题中任抽一题作答，答对的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，过点 可向曲线 引3条切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 中有偶数60个
B． 中数字1，2相邻的数有36个
C． 中2，4不相邻的数有72个
D．将 中的元素从小到大排列，第55个数为31024
10．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A．事件 ， 相互独立 B．
C． D．
11．已知曲线 ，直线 ， 为 上一点，则（ ）
A．
B．当 时，
C．对任意 ， ，直线 与 的交点个数不超过 个
D．当 ， 时，直线 与 有3个交点
三、填空题
12．已知随机变量 的概率分布密度函数 ，若 .则
.
13．已知 （ ，且 ）的展开式中没有常数项，则 .14．已知实数 ， ， ， 满足 ， ，则 的最大值为
.
四、解答题
15．在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个
小球.
(1)求前两次摸出的球均为黑球的概率；
(2)记 表示摸出的小球中红球的数量，求 的分布列及其数学期望.
16．如图，在直三棱柱 中， 为 的中点， ， ， .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17．“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司
部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的
概率分别为 ， ， ，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
(1)估计 部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）；
(2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用
DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司
发展需要，计划先将 部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保
证培训后 部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 部门最多可以调多少人到其他部门？
18．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，若 存在零点，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
19．若数列 满足： ，且 （ ， 且 ），则称该数列 为“非
线性递增数列”.
(1)设数列 为“非线性递增数列”，且 .
（i）求 ， ；
（ii）记数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得对任意的 ， 恒成立？若存在，求
出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)若数列 为“非线性递增数列”，且满足 ， ， ，记数列 的前 项和为 ，若
不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A D C C B ABD AC
题号 11
答案 ABD
1．D
由倾斜角和斜率的关系即可得出结果.
【详解】直线 的斜率 ，解得 .
故选：D.
2．A
设 ，结合两点分布方差公式列方程求 即可.
【详解】设 ，
由两点分布方差公式可得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：A.
3．C
由抛物线焦点弦公式结合中点坐标公式即可求解.
【详解】设 ，
则 ，所以 ，
由抛物线的焦点弦公式可得 .
故选：C.
4．A
先由概率之和为1解出 ，再由期望公式求解即可.
【详解】由题意可得 ，
解得 或 ，由概率不能大于1，所以舍掉 ，
所以 ，.
故选：A
5．D
满足条件的安排方法可分两步完成，第一步，从 人中选择 人， 第二步，将所选 人按要求分去 ， ，
三地调研，利用组合知识求第一步的方法数，根据部分平均分组问题的处理方法求第二步的方法数，再
由分步乘法计数原理求结论.
【详解】满足条件的安排方法可分两步完成，
第一步，从 人中选择 人，完成该步有 种方法，
第二步，将所选 人按要求分去 ， ， 三地调研，完成该步的方法数为 ，
由分步乘法计数原理可得满足要求的方法共有 种.
故选：D.
6．C
由 有意义，列不等式求 ，再根据组合数的计算公式求结论.
【详解】因为 有意义，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
7．C
利用全概率公式进行求解即可.
【详解】设“学生甲从这8题中任选1题且作对”为事件 ，“选到能完整做对的4道题”为事件 ，
“选到有思路的3道题”为事件 ，“选到完全没有思路的题”为事件 ，
则 ， ， ，
，由全概率公式可得
.
故选：C.
8．B
设切点后由导数的意义得到切线方程，代入 转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数
求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为 ，
由 可得 ，所以切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
由点 在切线上代入可得 ，
即三次方程 有三个不同的实数根，
令 ，则 ，
所以极值点为 和 ，
又极值点处函数值为 ，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以 ，解得 .
故选：B
9．ABD
分个位数是否为零两种情况讨论即可判断A；利用捆绑法即可判断B，利用排除法结合捆绑法即可判断
C；易得第55个数的首位为 ，再列举即可判断D.
【详解】对于A：
若个位数为 ，则有 个；若个位数不为 ，则个位数只能是 之一，
只能在中间3个位置任选一个位置，
剩余3个数字在剩余的三个位置上任意排列，
则有 个.
所以偶数有60个，故A正确；
对于B，将 看成一个整体，首位不为 ，
则有 个，
所以 中数字1，2相邻的数有36个，故B正确；
对于C， 种共有 个元素，
其中 相邻有 个，
所以 中2，4不相邻的数有 个，故C错误；
首位为 ，则有 个，
首位为 ，则有 个，
首位为 ，则有 个，
所以将 中的元素从小到大排列，第55个数的首位为 ，
则第 个数为 ，第 个数为 ，第 个数为 ，第 个数为 ，
第 个数为 ，第 个数为 ，第 个数为 ，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
已知 、 、 关系公式，把对应值代入就能算出 ．
对于A选项：依据事件独立定义，若 ，则 、 独立，算出 和 比较即
可．
对于B选项：用条件概率公式 ，把 、 值代入计算，和 比较．对于C选项：先求 和 ，再用条件概率公式 计算，看是否等于 ．
对于D选项：根据 算出 ，和 比较大小．
【详解】对于A，已知 ，将 ， ， 代入可得：
因为 ，所以事件 ， 相互独立，A选项正确．
对于B，根据条件概率公式 ，将 ， 代入可得：
，B选项错误．
对于C，先求 ， ．
再根据条件概率公式 ，将 ， 代入可得：
，C选项正确．
对于D， ，而 ，所以 ，D选项错误．
故选：AC．
11．ABD
化简曲线方程，确定曲线轨迹，对于A，结合轨迹方程消 ，求 的范围即可判断，对于B，结合根据方程可得 ，由此可求 的范围，根据结论判断B，对于C，取 ，
即可判断，联立方程组，解方程即可判断.
【详解】当 时，方程 可化为 ，
所以 ， ，
当 或 时，方程 可化为 ，
所以 ， ，
所以曲线 是中心为原点，焦点为 ， ，
长半轴为 的椭圆在 轴上方的部分
和中心为原点，焦点为 ， ，
实半轴为 的双曲线在 轴上方的部分和点 ， 组成,
所以曲线 的图象为：
对于A，因为 为 上一点，
若 ，则 ， ，
所以 ，
若 或 ，则 ， ，
故 ，A正确；对于B，由 可得， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 ，B正确，
对于C，当 ， 时，直线 与 的交点个数为 个，C错误；
对于D，当 ， 时，
联立 ，化简可得 ，
所以 ，
所以方程的根为 ， ，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 ，
假设 ，则 ，
则 ，矛盾，故 ，
所以曲线 ， 与直线 ， 有两个交点，，化简可得 ，
所以 ，解得 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，满足条件，
所以曲线 ， 与直线 ， 有一个交点，
故当 ， 时，直线 与 有3个交点，D正确；
故选：ABD.
12． /
根据题意可得 ，再根据正态分布的对称性即可得解.
【详解】因为随机变量 的概率分布密度函数 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．
根据两项乘积的通项公式结合没有常数项列不等式结合 计算求解.
【详解】由于 的展开式中没有常数项，
所以 和 都不是常数，
则 ， ，又因为 ，所以 ，故取 ．故答案为：8.
14．18
通过设向量，利用向量的数量积和模的性质求出 与 的关系，再根据绝对值的性质求出
的最大值．
【详解】设 ， ．
根据向量模的计算公式，可得 ，已知 ，所以 ；
同理 ，因为 ，所以 ．
根据向量数量积的坐标运算公式， ，所以 ．
由向量的数量积公式，可得 ，即 ，因为 ，所以 ，这表明 与 同向．
所以存在实数 ，使得 ，即 ， ．
又因为 ，所以 ，即 ，结合 ，可得 ，那么 ，
．
化简
将 ， 代入 ，可得 ．
设 ， ，则原式可化为 ．
由 ，根据 ，可得 ．
令 ， ．
当 且 时， ，与 矛盾，此情况不存在．
当 且 时， ，其最大值为 ．
当 且 时， ，其最大值为 ．当 且 时， ，当
时，取得最大值 ．
综上， 的最大值为18．
故答案为：18．
15．(1)
(2)分布列见解析，
（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可；
（2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率 ；
（2）由题意， 可取 ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
.
16．(1)(2)
（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，根据线面角公式计算即可；
（2）利用向量法求平面 与平面 的夹角余弦即可.
【详解】（1）以 为原点，以 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ， ，所以 ，
则 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ，
，，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17．(1)
(2)
（1）求出每个员工“优秀”的概率，再乘以总人数即可得解；
（2）设调出 人，分别求出调整期和调整后的利润，再根据题意建立不等式，解之即可.
【详解】（1）由题意每个员工“优秀”的概率
，
则估计 部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为 个，
按去尾法取整，有 人；
（2）设调出 人，
调整前的利润为 （万元），
调整后的利润为 ，
要保证培训后 部门的年利润不低于员工调整前的年利润，
则 ，解得 ，
因为 为整数，所以最大值为 ，
即 部门最多可以调 人到其他部门.
18．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
（1）求导后分 和 讨论可得；
（2）求导后分析单调性和最值，再结合零点可得；
（3）当 时，令 ，结合（2）的结论和对数的运算性质以及等差数列的求和公式得到，再两边同时取指数运算可得.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时，因 ，所以 恒成立，即 在 为单调递减函数；
当 时，令 ，所以当 时， ， 为单调递减函数；当
时， ， 为单调递增函数，
综上，当 时， 在 为单调递减函数；
当 时， 时， 为单调递减函数； 时， 为单调递增函数.
（2）当 时， ， ， ，
则 ，
令 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 存在零点，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（3）由（2）可得，当 时， ，
令 ，则 ，所以
，
即 ，
两边同时取指数可得 ，
又上式中 ，所以 .
19．(1)（i） ， ；（ii）
(2)
（1）根据“非线性递增数列”的定义求出 ，再通过分析数列 的规律求前 项和 ，进而判断是
否存在满足条件的 ；
（2）先根据条件求出数列 的通项公式，再求出数列 的前 项和 ，最后根据不等式恒成立求
出 的取值范围.
【详解】（1）（i）已知 ，则 ， ， .
根据“非线性递增数列”的定义 ， 可得：
；
；
.
（ii）当 为奇数时：已知 ，又因为 ，所以 .这表明数列 是以 为首项（假设 ）， 为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，则 .
令 ，则 ，将 代入 ，可得 （ 为
奇数）.
当 为偶数时：已知 ，又因为 ，所以 .
这表明数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，对于数列 ，则 .
令 ，则 ，将 代入 ，可得 （ 为偶数）.
所以 .
当 为偶数时： .
其中 是以 为首项， 为公差的等差数列，项数为 项；
是以 为首项， 为公差的等差数列，项数为 项.
根据等差数列求和公式得到：
.
.
所以 .
当 为奇数时： 为偶数，则 .因为 为偶数，所以 ， .
.
所以 .
当 为奇数时，已知 ，变形得到 ，设 .
对于二次函数 ，图象开口向下，对称轴为 .
因为 且 为奇数， ，则 ，当 （即 ）时， 取得最大值 ，所以 .
当 为偶数时，由 可得 ，设 .
因为 且 为偶数， ，函数 中，随着 的增大， 减小，所以 单调递减.
那么当 时， 取得最大值 ，所以 .
综合两种情况，要使得 成立， 需同时满足 为奇数和偶数时的条件，故 的取值范围是
.
（2）当 为偶数时，令 ，先分析数列 的性质，由 可知 是以
为首项， 为公差的等差数列，且 .
又 ，则 .根据裂项相消法， .
因为 ，函数 随着 的增大而增大，所以 .
不等式 恒成立，将其变形为 ，即 恒成立.
对于 ，在 上， ；对于 ，所以 .
当 为奇数时，令 ， .
因为 为递减数列，当 时， 取得最大值 ，且 ，所
以 .
同样由 ，即 恒成立.
对于 ，在 上， ；
对于 ，所以 .
综合两种情况，要使不等式在 为奇数和偶数时都恒成立，取两种情况的交集，故 的取值范围是 .
