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2023－2024 学年度第一学期期中检测试题
高 三 数 学
2023.11.15
(全卷满分150分，考试时间120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合要求)
1．已知集合M＝{x|0≤log x≤1}，B＝{x||x－3|≤1}，则A∩B＝( )．
3
A．[1，2] B．[1，4] C．[2，3] D．[2，4]
2．“α＝0”是“sinα＝0”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417－公元前369年)详细地讨论了无理数的
理论，他通过右图来构造无理数 2，2，2，…，则sin∠BAD＝( )．
2 6＋3 3 2 6－3 3 2 3＋ 6 2 3－ 6
A． B． C． D．
6 6 6 6
x2＋px－12
4．若关于x的不等式x2＋px＋q＜0的解集为(－1，2)，则不等式 ＞9的解集为( )．
x＋q
A．(－4，2)∪(3，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－4)∪(2，3)
π
cos(π＋α)＋cos －α
5．已知tanα＝2，则 2 ＝( )．
sin(－α)＋cos(α－π)
1
A．－ B．－1 C．1 D．3
3
6．已知a＝log 3 4，b＝(
1
)
1
3 ，c＝3
－1
4 ，则a，b，c的大小关系为( )．
3
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
7．已知函数f(x)＝sin2x－4x，g(x)＝ex＋e－x，则下图所对应的函数可能是( )．
f(x)
A．f(x)＋g(x) B．f(x)－g(x) C．f(x)g(x) D．
g(x)
1
学科网（北京）股份有限公司π 1
8．有两个点在y轴上移动，t时刻的位置分别由函数y ＝(t－ )sint和y ＝ －cost确定，在(0，
1 2
3 2
2π)时段内两点重合的时刻t有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．下列函数中，最小值是4的有( )．
4 4 4 4
A．y＝2x＋ B．y＝lnx＋ C．y＝|sinx|＋ D．y＝x2＋
2x lnx |sinx| x2
10．下列选项中，能说明“ x∈(－∞，2)，都有x2＜4”为假命题的x取值有( )．
A．－4 B．∀－2 C．0 D．3
π
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C，则能推出A＝ 的有( )．
3
A．asinC－ 3ccosA＝0 B． 3bsinA－acosC＝(c－b)cosA
3c
C．tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝ D． 3bsinA－acosC＝(c＋b)cosA
acosB
12．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且满足f(x)＝－f(6－x)，f′(x)＝2－f′(4－
x)，f′(3)＝－1，记g(x)＝2f(3－x)－1，则下列说法中正确的有( )．
A．函数f′(x)的图象关于(5，1)对称 B．函数y＝f′(2x＋4)－1为奇函数
C．函数g′(x)的图象关于x＝1对称 D．数列{g′(n)}的前2023项之和为－4050
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，则f′(1)＝ ▲ ．
1
14．将函数y＝sinx图象上每一个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，然后再向右平移
2
π
个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为 ▲ ．
6
1 3
15．已知正数a，b满足a＋3b＝4，则 ＋ 的最小值为 ▲ ．
a＋1 b＋1
16．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d∈R)恰有两个零点x ，x ，且|x －x |＝1，则函数
1 2 2 1
f(x)所有可能的极大值为 ▲ ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2
学科网（北京）股份有限公司17．(本小题满分10分)
π
已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )的图象过点(0，2 3)、(x ，0)、(x ，0)，且|x
1 2 1
2
π
－x |的最小值为 ．
2
2
(1)求函数f(x)的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
12 π π
(2)若f(α)＝ ，α∈( ， )，求sin2α的值．
5 12 2
18．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC－A B C 中，BA＝BC＝BB ＝1，BA⊥BC．
1 1 1 1
(1)记平面AB C ∩平面A BC＝l，证明：l∥平面A B C ；
1 1 1 1 1 1
3
(2)点Q是直线BB 上的点，若直线QC 与CA 所成角的余弦值为 ，求线段BQ长．
1 1 1
3
19．(本小题满分12分)
3
学科网（北京）股份有限公司－2x＋a
定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数．
2x＋1＋2
(1)求实数a的值；
π
(2)若存在θ∈[－ ，0]，使得f( 3sinθcosθ)＋f(k－cos2θ)＞0成立，求实数k的取值范围．
4
20．(本小题满分12分)
某品牌方便面每袋中都随机装入一张卡片(卡片有A、B、C二种)，规定：如果集齐A、
B、C卡片各一张，便可获得一份奖品．
(1)已知该品牌方便面有两种口味，为了了解这两种口味方便面中C卡片所占比例情况，
小明收集了以下调查数据：
口味1 口味2 合计
C卡片 20 10 30
非C卡片 75 45 120
合计 95 55 150
根据以上数据，判断是否有99%的把握认为“该品牌方便面中C卡片所占比例与方便面口
味有关”?
(2)根据《中华人民共和国反不正当竞争法》，经营者举办有奖销售，应当向购买者明示
奖品种类、中奖概率、奖品金额或者奖品种类、兑奖时间和方式．经小明查询，该方便面中
2 2 1
A卡片、B卡片和C卡片的比例分别为 ，，，若小明一次购买3袋该方便面．
5 5 5
①求小明中奖的概率；
②若小明未中奖，求小明未获得C卡的概率．
n(ad－bc)2
附：χ2＝ ，
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
4
学科网（北京）股份有限公司P(χ2≥x ) 0.050 0.010 0.001
0
x 3.841 6.635 10.828
0
21．(本小题满分12分)
在△ABC中，AC＝ 3AB，且BC边上的中线AD长为1．
(1)若BC＝2AB，求△ABC的面积；
(2)若∠ABC＝2∠DAC，求BC的长．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2－px－qlnx(p，q∈R)
(1)若p＝a，q＝a2，f(x)的最小值为0，求非零实数a的值；
(2)若p＝a2，q＝a，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
5
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