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2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试
数 学 试 题
满分150分，时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．设 的平均数为 与 的平均数为 与 的平均数为 .若 ，则 与 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．已知某圆锥的侧面积为 ，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为 ， ， ，
且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为 ，则他三道题都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ，且 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为2的正方形 沿对角线 折叠，使 ，则三棱锥 的体积为
（ ）A． B． C． D．4
8． 是定义在R上的函数，若 ，且对任意 ，满足 ，
，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对
一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。
9．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．向量 与向量 的夹角为 B．
C．向量 在向量 上的投影向量为 D．向量 与向量 ， 共面
10．把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是
一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C．当 时， 的值域为
D．若方程 在区间 上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为11．如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则（ ）
A．当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若 是 的中点，当 在底面 上运动，且满足 平面
时， 长度的最小值是
D．使直线 与平面 所成的角为 的点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.
已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比
例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多 人
13．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与
塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P
的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B
点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，
保留整数.参考数据： ， ）.
14．已知函数 若关于x的方程 有4个解，分别为 ， ， ，
，其中 ，则 ， 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知空间中三点 ，设(1)已知 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的坐标.
16．已知 的内角 所对的边分别是 .
(1)求角 ；
(2)若 外接圆的面积为 ，且 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道
数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100
份作为样本，将样本的成绩分成六段： ， ，
……，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次
数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道
数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的
概率.
18．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立
方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵 中， ，
， ， ， 为棱 的中点， 为棱 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正切值；
(3)求 与平面 所成角的正弦值．
19．已知 是指数函数，且过点 是定义域为 的奇函数
(1)求 的值；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 恰有2个零点，求实数 的取值范围
