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南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考
数学试卷
试卷总分：150分 考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.复数 ，则 等于（ ）
A.0 B. C.1 D.
2.已知集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图所示，矩形 的对角线相交于点O，E为 的中点，若 则
等于（ ）
A. B. C.1 D.-1
5.已知 是等比数列， ，前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司7.在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的
数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构
造无理数 、 、 ，……的图形，此图形中 的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，则函数 图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A.4 B. C.6 D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设向量 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知命题 ： ， ，则“命题 为真命题”的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 的部分图象如图，则下列判断正确的有（ ）
A.函数 的周期为
B.对任意的 ，都有
C.函数 在区间 上恰好有三个零点
学科网（北京）股份有限公司D.函数 是奇函数
12.已知数列 的通项公式是 ，在 和 之间插入1个数 ，使 ， ， 成等差数列；在
和 之间插入2个数 ， ，使 ， ， ， 成等差数列；……；在 和 之间插入 个数 ，
， ， ，使 ， ， ， ， 成等差数列.这样得到新数列 ： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， .记数列 的前 项和为 ，有下列选择支中，判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
14.设向量 ，向量 ，且 ，则 等于__________.
15.如图：直线 ， 是 ， 之间的一定点，并且 点到 ， 的距离分别为2，4，过点 且夹角为
的两条射线分别与 ， 相交于B，C两点，则 面积的最小值是__________.
16.若 存在单调递减区间，则正数 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图数表中，第 行中，第 个数为 ，共有 个数.
（1）求第 行所有数的和；
（2）求前10行所有数的和.
第1行 1
学科网（北京）股份有限公司第2行 1
第3行 ， ， ，1
… … … …
第 行 ， ， ，…，1
18.（本小题满分12分）
已知点 是 的外接圆的圆心， ， ， .
（1）求外接圆 的面积；
（2）求 .
19.（本小题满分12分）
已知向量 ， ，函数 的最小正周期为 .
（1）求实数 的值；
（2）已知 ， ， ， ，求 .
20.（本小题满分12分）
如图，已知菱形 中， ， ，点 为边 的中点，沿 将 折起，得到
且二面角 的大小为 ，点 在棱 上， 平面 .
（1）求 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，即某队先赢得3局比
赛，则比赛结束且该队获胜，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次目上场顺
学科网（北京）股份有限公司序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据
统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为 ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 .
（注：比赛结果没有平局）
（1）若求甲队明星队员M在前三局比赛中出场，记前三局比赛中，甲队获胜局数为X，求随机变量X的分
布列及数学期望；
（2）若已知甲乙两队比赛3局，甲队以 获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.
22.已知函数 ，（ ， 是自然对数的底数）.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考
数学试卷参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】 ，所以 .
2.【答案】B
解析：由 ，得到 ，即 ，由
即 ，则 .
3.【答案】C
【解析】 ，
故公差 .
答案：C.
4.【答案】A
【解析】 .
， ， .
5.【答案】B
【解析】因为 是等比数列， ，所以
或 ，
为递增数列 ，所以是必要不充分条件.
6.【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
所以 .
7.【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【解析】在 中， ，
在 中， .
8.【答案】A
【解析】
因此函数 的图象关于点 成中心对称， ， ，函数 在区间 上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是 .
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ACD
【解析】因为 ，所以A正确，B不正确；
，所以 ，C正确；
，所以 ，D正确.
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
【解析】由对称性知道， ，因此 ，A不正确；
，又 ，结合图象，可以取 ，即 ，因此
，因此B正确；
当 时， ，有三个零点，因此C正确；
是奇函数，因此D正确.
12.【答案】ABD
学科网（北京）股份有限公司【解析】A. ；
B. 在数列 中是第 项，所以 ；
C. ；
D.
.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】
，故答案为： .
14.【答案】
【解析】因为 ，则 ，即 ，
则 .
15.【答案】
【解析】设 与垂线的夹角为 ，则
， ，
学科网（北京）股份有限公司所以面积 ，
所以当 ，即当 时，面积最小，最小值是 .
16.【答案】
【解析】依题意 有解，即 ，
即 ，即 有解，
构造函数 ，单调递增，
因此不等式转化为 ，即 有解，
记 ， ，
从而求得 ，因此 .
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）第 行所有数的和为
；
（2）前10行所有数的和为
，
即 .
18.【解析】（1）由余弦定理得： .
学科网（北京）股份有限公司所以 ，因此 ，
所以外接圆的面积为 ；
（2）设 的中点为 ，则 ，
所以 .
19.【解析】（1）
，
所以 ；
（2）
又 ，所以 ，
，
又 ，所以 ，
所以 .
20.【解析】（1）连接 ，设 ，连接 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ，得到 ，
又菱形 中， ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
因此 是二面角 的平面角， ，
如图，以点 为原点， ， 所在直线为 轴， 轴，建立空间直角坐标系 .
依据题意 ， ， ， ，
从而 ， ，
设平面 的法向量 ，
由 得到 ，
由 得到 ，
令 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 得到 ，
由 得到 ，
令 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司因此 ，
所以，所求二面角的余弦值是 .
21.【解析】（1）Y可能取值有0，1，2，3.
，
，
，
，
因此，随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
数学期望 ；
（2）设 为甲3局获得最终胜利， 为前3局甲队明星队员 上场比赛， 为前3局甲队明星队员 没
有上场比赛，
因为每名队员上场顺序随机， ， ，
，
，
甲队明星队员 上场的概率 .
学科网（北京）股份有限公司22.【解析】（1） ，
当 时， ，函数 在 上递减；
当 时，由 ，解得 ，故函数 在 上单调递减，
由 ，解得 ，故函数 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增.
（2）当 时， ，
即 ，故 ，
令
，
则 ，
若 ，则当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，
，
当 时， 单调递增，
则 ，符合题意；
若 ，则 ，
，
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，
故 ，
存在 ，使得 ，
且当 时， ，
在 上单调递减，
当 时， ，不合题意，
综上，实数 的取值范围为 .
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