江苏省扬州市六校联盟2024-2025学年高二上学期第一次联考试题数学PDF版含解析_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年11月试卷_1102江苏省扬州市六校联盟2024-2025学年高二上学期第一次联考

六校联盟 2024~2025 学年第一学期第一次联考 高 二 数 学 2024.10.09 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．直线 3x y10的倾斜角为（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 2．经过点A（5，0），且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程为（ ） A．x+2y-5=0 B．x-2y-5=0 C．x-2y-1=0 D．2x+y-10=0 3．“a3”是“直线l :ax3y10与直线l :2xa1y10互相平行”的（ ） 1 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线l倾斜角的余弦值为 5 ，且经过点 ，则直线l的方程为（ ） 5 A． B．(2,1) C．2 + −5=0 D．2 − −3=0 5．已知 圆 − ( 2 x  = 1)20 y2 4内一点P(2，1)，则过P 点 + 的 2 最 − 短 4 弦 = 所 0 在的直线方程是（ ） A．xy10 B．x y30 C．x y30 D．x2 6．若直线 l：ykx3k 与曲线 ：y 1x2 恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ） 4 4 3 C  4 4 k3 A．( ,+) B． ，  C．0，  D．  ，  3 3 2  3 3 2 7．直线 ，直线 ，给出下列命题： 1 ① 1: + ， 1 使 + 得 =1 ； − ∈ ② ， 2: 使 = 得 −2 ； ③∃ ∈R， 与 1都//相 2交； ④∃ ∈R，使得原 1 点⊥ 到2 的距离为 . 其中正确∀ 的∈是R（ 1 ） 2 ∃ ∈R 1 2 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 8．已知圆 ，直线l：3kx3y5k60上存在点 ，过点 作圆 的切线，切点分别 2 2 为 ，使 得: −3 + ，−则4实数=1的取值范围是（ ） ∘ , ∠ =60 第 1 页 共 3 页 {#{QQABIQQAggCoAIAAAQgCAwUKCEIQkAAACQgGBEAIMAAAyBNABCA=}#}A．3 ， 14 B．4 ， 14 C．4 ， 12 D．3 ， 12         4 5 3 5 3 5 4 5 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知直线l:(m2)xym20，下列说法正确的是（ ） A．若m3，则直线l的倾斜角为135° B．若直线l的在两坐标轴的截距相等，则m3 C．直线l与直线x y0垂直，则m1 D．若直线l不过第二象限，则m2，2 10．已知直线 和圆 ，则（ ） 2 2 A．直线l恒 :过 定−点 +2 =0 : + =16 B．存在k使得直线l与直线 垂直 C．直线l与圆O相交2,0 D．若 ，直线l被圆O 0截: 得−的2弦 +长2为=014 11．已知圆 ，则（ ） =−1 2 2 A．圆 与 直: 线+ =4 必有两个交点 B．圆 上存在 4 个+点 到−直 线−1=0 的距离都等于1 C．圆 与圆 : − + 2恰=有0三条公切线，则 2 2 D．动 点 在直 线+ −6 −8 +上 ，=过0点 向圆 引两条切线， =､ 1为6切点，则四边形 面积最小值为4 三、填空题 ：本题 +共 3−小4题=0，每小题 5分， 共 15分. 12．若直线3x4y1 0与直线mx8y70平行，则这两条直线间的距离为 ． 13．写出圆M ：x12y22 5与圆N：x12y22 5的一条公切线方程 ． 14．过直线l:xy40上任意点P作圆O:x2  y2 4的两条切线，切点分别为A,B，直线AB过定 点 ；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(本小题满分13分)已知 的顶点 ， ， ， ， ， ，线段 的中点为 ，且 . （1）求m的值； △ (0 4) (2 0) (−5 ) ⊥ （2）求 边上的中线所在直线的方程. 16．(本小题满分15分)在ABC中，已知顶点A2，4，AB边上的中线所在直线方程为x2y50，内角 ABC的平分线所在直线方程为2xy100． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 第 2 页 共 3 页 {#{QQABIQQAggCoAIAAAQgCAwUKCEIQkAAACQgGBEAIMAAAyBNABCA=}#}17．(本小题满分15分)已知定点A1,0，B0,0，动点P满足 PA  2 PB ．设动点P的轨迹是曲线T ， (1)求曲线T 的方程； (2)直线l:2xy10和曲线T 交于两点C、D，求线段CD的长；． y2 (3)若实数x,y满足曲线T 的方程，求 的最大值 x3 18．(本小题满分17分) 已知圆C经过坐标原点O，圆心在 轴正半轴上，且与直线 相 切． x 3x+4y−8= 0 （1）求圆C的标准方程； （2）直线 ： 与圆C交于 ， 两点． ①求 的取 值 范=围 ； ②+2证明：直线 与 直线 的斜率之和为定值． 19．(本小题满分17分) 已知圆C过点A2,6，且与直线l :x y100相切于点B6,4． 1 (1)求圆C的方程； (2)过点P6,24的直线l 与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l 的方程； 2 2 (3)在直线l :yx2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF 为正三角形，若存 3 在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 第 3 页 共 3 页 {#{QQABIQQAggCoAIAAAQgCAwUKCEIQkAAACQgGBEAIMAAAyBNABCA=}#}六校联盟2024-2025学年第一学期第一次 联考高二数学答题卡 15. （13分） 16. （15分） 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 1．答题前，请将姓名、班级、考 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 3．主观题使用黑色笔书写。 4．必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] 答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 5．保持答卷清洁、完整。 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 正确填涂 缺考标记 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题，单选每题5分，多选每题6分，漏选得 部分分，错选不得分。) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 13. 14. {#{QQABIQQAggCoAIAAAQgCAwUKCEIQkAAACQgGBEAIMAAAyBNABCA=}#}17.（15分） 18. （17分） 19. （17分） {#{QQABIQQAggCoAIAAAQgCAwUKCEIQkAAACQgGBEAIMAAAyBNABCA=}#}1．直线 3xy10的倾斜角为 A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】C 2．经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（ ） A．x + 2y - 5 = 0 B．x - 2y - 5 = 0 C．x - 2y - 1 = 0 D．2x + y - 10 = 0 【答案】B 【分析】根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线2xy10的斜率为2， 1 所以所求直线的斜率为 ， 2 1 所以所求直线的方程为y0 x5,x2y50. 2 故选：B 3．“a3”是“直线l :ax3y10与直线l :2xa1y10互相平行”的（ ） 1 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 故选：C 4．已知直线l倾斜角的余弦值为− 5 ，且经过点(2,1)，则直线l的方程为（ ） 5 A．2𝑥+𝑦−5=0 B．2𝑥−𝑦−3=0 C．𝑥−2𝑦=0 D．𝑥+2𝑦−4=0 【解题思路】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率𝑘=−2，结合直线的点斜式方程 运算求解. 【解答过程】设直线l的倾斜角为𝜃∈[0,π)，则cos𝜃=− 5 ，可得sin𝜃= 1−cos2𝜃=2 5 ， 5 5 sin𝜃 则直线l的斜率𝑘=tan𝜃= =−2， cos𝜃 且直线l经过点(2,1)， 所以直线l的方程为𝑦−1=−2(𝑥−2)，即2𝑥+𝑦−5=0. 故选：A. 5．已知圆(x1)2y2 4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）A．xy10 B．xy30 C．xy30 D．x2 【答案】B 【分析】设圆心C，由圆的对称性可知过点P与CP垂直的直线被圆所截的弦长最短 【详解】由题意可知，当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径， 当与这条直径垂直时所得弦长最短， 圆心为C(1,0)，P(2,1)， 10 则由两点间斜率公式可得k  1， CP 21 所以与PC垂直的直线斜率为k 1， 则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y11(x2)， 化简可得xy30， 故选：B 6．若直线 l：y = kx + 3−k 与曲线 C：y = 1−x2 恰有两个交点，则实数 k 的取值范 围是（ ） 4 4 3  4 4 3 A．( ,+) B． ，  C．0，  D．  ，  3 3 2  3 3 2 6. 【答案】B 1 7．直线𝑙 :𝑥+(1+𝑎)𝑦=1−𝑎(𝑎∈𝐑)，直线𝑙 :𝑦=− 𝑥，给出下列命题： 1 2 2 ①∃𝑎∈R，使得𝑙 //𝑙 ； ②∃𝑎∈R，使得𝑙 ⊥𝑙 ； 1 2 1 2 ③∀𝑎∈R，𝑙 与𝑙 都相交； ④∃𝑎∈R，使得原点到𝑙 的距离为2. 1 2 1 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【解题思路】利用两直线平行可得出关于𝑎的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂 直可求得实数𝑎的值，可判断②；取𝑎=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④. 1 1 − =− 【解答过程】对于①，若𝑙 1 //𝑙 2 ，则 𝑎+1 2，该方程组无解，①错； 1−𝑎≠0 对于②，若𝑙 ⊥𝑙 ，则 − 1 ⋅ − 1 =−1，解得𝑎=− 3 ，②对； 1 2 1+𝑎 2 2 1 对于③，当𝑎=1时，直线𝑙 的方程为𝑥+2𝑦=0，即𝑦=− 𝑥，此时，𝑙 、𝑙 重合，③错； 1 2 1 2 对于④，直线𝑙 的方程为𝑥+(𝑎+1)𝑦+𝑎−1=0， 1 |𝑎−1| 若∃𝑎∈𝑅，使得原点到𝑙 的距离为2，则 =2，整理可得3𝑎2−10𝑎+7=0， 1 1+(𝑎+1)2Δ=100−4×3×7>0，方程3𝑎2−10𝑎+7=0有解，④对. 故选：C. 8．已知圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=1，直线𝑙:3𝑘𝑥−3𝑦+5𝑘−6=0上存在点𝑃，过点𝑃作圆𝐶的切 线，切点分别为𝐴,𝐵，使得∠𝐴𝑃𝐵=60∘，则实数𝑘的取值范围是（ ） A．3 ， 14 B．4 ， 14     4 5 3 5 C．4 ， 12 D．3 ， 12     3 5 4 5 【解题思路】首先得到圆𝐶的圆心坐标与半径，依题意可得|𝑃𝐶|=2，即可得到动点𝑃的轨迹 方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【解答过程】圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=1，则圆心为𝐶(3,4)，半径𝑟=1， 因为∠𝐴𝑃𝐵=60∘，在Rt△𝑃𝐴𝐶中∠𝐴𝑃𝐶= 1 ∠𝐴𝑃𝐵=30∘，|𝐴𝐶|=𝑟=1， 2 所以|𝑃𝐶|=2，所以点𝑃的轨迹方程为(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=4，即圆心为𝐶(3,4)，半径𝑟 =2， 1 又直线𝑙:3𝑘𝑥−3𝑦+5𝑘−6=0上存在点𝑃， 所以直线𝑙与(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=4有交点，所以 |9𝑘−12+5𝑘−6| ≤2，解得 3 ≤𝑘≤ 12 ， 9𝑘2+9 4 5 即实数𝑘的取值范围是 3 , 12 ． 4 5 故选：D． 多选题： 9．已知直线l:(m2)xym20，下列说法正确的是（ ） A．若m3，则直线l的倾斜角为135°； B．若直线l的在两坐标轴的截距相等，则m3 C．直线l与直线xy0垂直，则m1； D．若直线l不过第二象限，则m2，2 【答案】AC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角、两直线垂直的充要条件以及点到直线的距离公式逐一进 行检验即可.【详解】对于选项A，当m3时，直线l:可化为xy50，因为直线的斜率为1，所 以倾斜角为135，故选项A正确； 2m 2m 对于选项 B，分别令x0,y0得到 ym2,x ，若截距相等，则有m2 ， m2 m2 解得：m2或m3，故选项B错误； 对于选项C，由直线垂直的充要条件得：m210，解得：m1，故选项C正确； 对于选项D， 故选：AC. 10．已知直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦+2𝑘=0和圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16，则（ ） A．直线l恒过定点(2,0) B．存在k使得直线l与直线𝑙 :𝑥−2𝑦+2=0垂直 0 C．直线l与圆O相交 D．若𝑘=−1，直线l被圆O截得的弦长为 14 【答案】BC 【分析】利用直线系方程求出直线𝑙所过定点坐标判断A、C；求出使得直线𝑙与直线𝑙 0 :𝑥−2𝑦+2=0垂直的𝑘值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 𝑥+2=0 【详解】解：对于A、C，由𝑙:𝑘𝑥−𝑦+2𝑘=0，得𝑘(𝑥+2)−𝑦=0，令 ，解得 −𝑦=0 𝑥=−2 ， 𝑦=0 所以直线𝑙恒过定点(−2,0)，故A错误； 因为直线𝑙恒过定点(−2,0)，而(−2)2+02=4<16，即(−2,0)在圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 1 对于B，直线𝑙 :𝑥−2𝑦+2=0的斜率为 ，则当𝑘=−2时，满足直线𝑙与直线𝑙 :𝑥−2𝑦+2=0 0 2 0 垂直，故B正确； |0+0+2| 对于D，𝑘=−1时，直线𝑙:𝑥+𝑦+2=0，圆心到直线的距离为𝑑= = 2， 12+12 所以直线l被圆O截得的弦长为2 𝑟2−𝑑2=2 42−( 2)2=2 14，故D错误. 故选：BC. 11．已知圆𝑂:𝑥2+𝑦2=4，则（ ） A．圆𝑂与直线𝑚𝑥+𝑦−𝑚−1=0必有两个交点B．圆𝑂上存在4个点到直线𝑙:𝑥−𝑦+ 2=0的距离都等于1 C．圆𝑂与圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+𝑚=0恰有三条公切线，则𝑚=16 D．动点𝑃在直线𝑥+𝑦−4=0上，过点𝑃向圆𝑂引两条切线，𝐴 𝐵为切点，则四边形𝑃𝐴𝑂𝐵 ､ 面积最小值为2 【解题思路】根据直线切过定点(1,1)切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线𝑙的距 离可判断B；将圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+𝑚=0化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由 𝑆 =2𝑆 =2𝑆 ，且当𝑃𝑂最小时𝑆 最小时可判断D. 𝑃𝐴𝑂𝐵 △𝑃𝑂𝐴 △𝑃𝑂𝐵 △𝑃𝑂𝐴 𝑥−1=0 【解答过程】对于A，将直线𝑚𝑥+𝑦−𝑚−1=0整理得(𝑥−1)𝑚+𝑦−1=0，由 ， 𝑦−1=0 知𝑥=1,𝑦=1，所以直线𝑚𝑥+𝑦−𝑚−1=0过定点(1,1)，因为12+12<4， 所以该定点在圆内，故A正确； 2 对于B，圆𝑥2+𝑦2=4的圆心到直线𝑙:𝑥−𝑦+ 2=0的距离为 =1， 2 所以过圆心且与直线𝑙平行的直线与圆相交有两个点到直线𝑙的距离为1， 与直线𝑙平行且与圆相切，并且与直线𝑙在圆心同侧的直线到𝑙的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+𝑚=0化成标准形式为(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=25−𝑚， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以 (0−3)2+(0−4)2= 25−𝑚+2， 解得𝑚=16，故C正确； 对于D，连接𝑂𝑃,𝑂𝐴,𝑂𝐵，因为𝐴,𝐵为切点，所以𝑂𝐴⊥𝑃𝐴,𝑂𝐵⊥𝑃𝐵， 所以𝑆 =2𝑆 =2𝑆 ，且当𝑃𝑂最小时，𝑆 最小， 𝑃𝐴𝑂𝐵 △𝑃𝑂𝐴 △𝑃𝑂𝐵 △𝑃𝑂𝐴 |0+0−4| 所以当𝑃𝑂与直线垂直时，𝑃𝑂 = =2 2，又因为半径为2， min 12+12 所以𝑃𝐴= 𝑃𝑂2−𝑂𝐴2=2， 1 所以𝑆 = 𝑃𝐴×𝐴𝑂=2,𝑆 =2𝑆 =4，故D错误. △𝑃𝑂𝐴min 2 𝑃𝐴𝑂𝐵min △𝑃𝑂𝐴min故选：AC.D 填空题： 12．若直线3x4y1 0与直线mx8y70平行，则这两条直线间的距离为 ． 1 【答案】 /0.5 2 13．写出圆M ：x12y22 5与圆N ：x12y22 5的一条公切线方 程 ． 【答案】x2y0（答案不唯一） 故答案为：x2y0（2xy50或2xy50之一也可以） 14．过直线l:xy40上任意点P作圆O:x2 y2 4的两条切线，切点分别为A,B，直 线AB过定点 ；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为 . 【答案】 1,1 2 【分析】设P(x ,y )，则可得以OP为直径的圆的方程为xxx yyy 0，结合点P 0 0 0 0 在直线上，也在圆上化简可得x xy y4，从而可得直线AB的方程，进而可求得直线过 0 0 的定点，设Qx,y，则由M  Q  O  Q  0可求出点Q的轨迹方程，从而可求出点Q到直线l的 距离的最小值. 【详解】设P(x ,y )，因为P是直线l:xy40上一点， 0 0 所以y x 4，以OP为直径的圆的方程为xxx yyy 0， 0 0 0 0 即x2y2x xy y0，所以x xy y4，即直线AB的方程为x xy y4， 0 0 0 0 0 0 又y x 4,直线AB的方程为x xy4y40，故直线AB过定点1,1. 0 0 0 设Qx,y，直线AB过定点为M ，则M1,1， 由M  Q  O  Q  0，得x1xy1y0， 1 2  1 2 1 整理得点Q的轨迹方程为 x  y   ，  2  2 2 1 1  1 1   4 因为点 , 到直线l:xy40的距离 2 2 3 2 2 ，  2 2 d    2 2 2  1 2  1 2 1 所以直线l:xy40与圆 x  y   相离，  2  2 2 1 1   4 所以点Q到直线l的距离的最小值为 2 2 2 .   2 2 2 故答案为：1,1， 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（2023高二上·重庆市月考）已知△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(0，4)，𝐵(2，0)，𝐶(−5，𝑚)，线 段𝐴𝐵的中点为𝐷，且𝐶𝐷⊥𝐴𝐵. （1）求m的值； （2）求𝐵𝐶边上的中线所在直线的方程. 15．【答案】（1）解：因为𝐴(0，4)，𝐵(2，0)，所以𝐷的坐标为(1，2)， 𝑚−2 4−0 因为𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，所以 × =−1， −5−1 0−2 解得𝑚=−1. 3 1 （2）解：设线段𝐵𝐶的中点为𝐸，由（1）知𝐶(−5，−1)，则𝐸(− ，− )， 2 2 4+0.5 所以𝑘 = =3， 𝐴𝐸 0+1.5 所以直线𝐴𝐸的方程为𝑦−4=3(𝑥−0)，化简得3𝑥−𝑦+4=0， 即𝐵𝐶边上的中线所在直线的方程为3𝑥−𝑦+4=0. 16．在 ABC中，已知顶点A2，4，AB边上的中线所在直线方程为x2y50，内角ABC  的平分线所在直线方程为2xy100． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 16．（1）4，2；（2）3xy100． 【分析】1由点B在直线2xy100上，设Bm，2m10，利用中点坐标公式可得：AB中点D的坐标，根据AB边上的中线所在直线方程为x2y50知，点D在直线 x2y50上，解得m．  a2 b4 2  100   2 2 2设点Ea，b与点A2，4关于直线2xy100对称，可得 ， b4  21  a2 解得a，b.由直线2xy100为内角ABC的平分线所在直线，知点E在直线BC上．即 可得出． 【详解】解：1由内角ABC的平分线所在直线方程为2xy100知， 点B在直线2xy100上， 设Bm，2m10， m2 2m14 则AB中点D的坐标为 ， ．  2 2  由AB边上的中线所在直线方程为x2y50知， 点D在直线x2y50上， m2 2m14  2 50，解得m4． 2 2 点B的坐标为4，2． 2设点Ea，b与点A2，4关于直线2xy100对称，  a2 b4 2  100   2 2 则 ， b4  21  a2 2ab20 a6  ，解得 ． a2b10 b8 点E的坐标为6，8． 由直线2xy100为内角ABC的平分线所在直线，知点E在直线BC上． 82 直线BC方程为y2 x4 ，即3xy100． 64 18．（23-24高二上·天津河西·期中）已知定点A1,0，B0,0，动点P满足 PA  2 PB ．设 动点P的轨迹是曲线T，(1)求曲线T的方程； (2)直线l:2xy10和曲线T交于两点C、D求线段CD的长；． y2 (3)若实数x,y满足曲线T的方程，求 的最大值 x3 【详解】（1）设圆心 ，由 PA  2 PB 得 ， Px,y (x1)2y2  2 x2y2 化简得，(x1)2y2 2 所以曲线T的方程(x1)2y2 2； 201 1 （2）圆心C到直线l:2xy10的距离是d   ， 5 5 1 6 5 所以 AB 2 2  ； 5 5 y2 （3）设点Mx,y在圆上，Q3,2,k  ， x3 即y2kx3，所以kxy23k0， 易知当直线与圆相切时可取最大最小值， k023k 所以 2  ，整理得k24k10，解得k 2 3， 1k2 y2 所以 的最大值为2 3. x3 20．（2023高二上·广州期中）已知圆𝐶经过坐标原点𝑂，圆心在𝑥轴正半轴上，且与直线 3𝑥+4𝑦−8=0相切． （1）求圆𝐶的标准方程； （2）直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点． ①求𝑘的取值范围；②证明：直线𝑂𝐴与直线𝑂𝐵的斜率之和为定值． 20．【答案】（1）解：由题意，设圆心为𝐶(𝑎，0)(𝑎>0)，因为圆𝐶过原点，所以半径 𝑟=𝑎， |3𝑎−8| 又圆𝐶与直线3𝑥+4𝑦−8=0相切，所以圆心𝐶到直线的距离𝑑= =𝑎⇒𝑎=1（负 5 值舍去），所以圆𝐶的标准方程为：(𝑥−1)2+𝑦2=1 （2）解： ① 将直线𝑙代入圆的方程可得：(𝑘2+1)𝑥2+(4𝑘−2)𝑥+4=0，因为有两个 交点， 3 3 所以𝛥=(4𝑘−2)2−16(𝑘2+1)>0⇒𝑘<− ，即𝑘的取值范围是(−∞，− )． 4 44𝑘−2 𝑥 +𝑥 =− 1 2 ② 设𝐴(𝑥 ，𝑦 )，𝐵(𝑥 ，𝑦 )，由根与系数的关系： 𝑘2+1 1 1 2 2 4 𝑥 +𝑥 = 1 2 𝑘2+1 所以𝑘 +𝑘 = 𝑦 1 + 𝑦 2 = 𝑘𝑥 1 +2 + 𝑘𝑥 2 +2 = 2(𝑥 1 +𝑥 2 ) +2𝑘= −2⋅ 𝑘 4 2 𝑘− + 2 1 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2 4 𝑘2+1 +2𝑘=1． 即直线𝑂𝐴，𝑂𝐵斜率之和为定值． 19．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C过点A2,6，且与直线 l :xy100相切于点B6,4． 1 (1)求圆C的方程； (2)过点P6,24的直线l 与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l 的方程； 2 2 (3)在直线l :yx2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使△QEF 3 为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)x12y12 50(2)x6或12x5y480 (3)存在点Q9,11或11,9，使△QEF 为正三角形 【分析】（1）设圆心为a,b，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相 等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径r，由此可得圆的方程； 2 （2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线l 的距离d  r5；分别在直线l 斜率不存 2 2 2 在和存在的情况下，根据d 5构造方程求得结果； （3）由等边三角形性质可知QC 2r10 2，设Qt,t  2 ，利用两点间距离公式可构造 方程求得t，进而得到Q点坐标. b4 1  【详解】（1）设圆心坐标为a,b，则 a6 ，解得： a22 b62 a62 b42  a1  ， b1 圆的半径r a62b42 5 2，圆C的方程为：x12y12 50.（2） △CMN 为直角三角形，CM  CN ，CM CN，  2 则圆心C到直线l 的距离d  r5；当直线l 斜率不存在，即l :x6时，满足圆心C到 2 2 2 2 直线l 的距离d 5； 2 当直线l 斜率存在时，可设l :y24kx6，即kxy6k240， 2 2 k16k24 12 12 48 d  5，解得：k ，l : xy 0，即12x5y480； k21 5 2 5 5 综上所述：直线l 的方程为x6或12x5y480. 2  （3）假设在直线l 存在点Q，使△QEF 为正三角形，EQC  ，QC 2r10 2， 3 6 设Qt,t  2 ，QC2 t12t212 200，解得：t9或t 11， 存在点Q9,11或11,9，使△QEF 为正三角形.