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成都石室中学 2024-2025 学年度上期高 2025 届定时练习
数 学
本试卷共8页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净
后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题
1、已知集合 ={ | =ln(5 ), }， ={ | =e }，则 的子集个数为（ ）
A.4 B.14 C.15 D.16
− ∈ ∩
2、“ = 3”是“直线 :( +1) +2 +1= 0与直线 :3 + +1= 0平行”的（ ）
1 2
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
−
3、四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”
为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出
如下两个等高堆积条形图，则下列结论正确的是（ ）
A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多 D.样本中男生人数少于女生人数
4、已知{ }为等比数列， = ， = 27，则 =（ ）
2 3 7 4 6 9 10 7
A.3 B.2 C. 2 D. 3
−
5、已知函数 ( )= ln 的图像与直线 = +1相切，则 的值为（ ）
− −
A. 1 B. 1 C.e D.e2
e e2
6、已知M，N分别是正四面体 中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余
弦值为（ ）
3 3 6 6
A. B. C. D.
3 3 6 6
− −
7、若 = sin 1 + 2， =cos 1 + 1，则（ ）
3 3 3 18
A. >1 > B. > >1 C.1> > D. >1>
8、若直线 和直线 相交于一点，将直线 绕该点按逆时针旋方向转到与 第一次重合时所转的角为 ，则
1 2 1 2
2 2
角 就叫做 到 的角 ，tan = 2 1，其中 , 分别是 , 的斜率，若双曲 线 ： =1( >0, > 0)的右
1 2 1 + −1 2 1 2 1 2 2 2
2 −
焦点为 ， 是右顶点， 是直线 = 上的一点， 是双曲线的离心率， = ，则tan 的最大值为
（ ） ∠
学科网（北京）股份有限公司1 2
A. B. C. D.
2 1+ 1+ 2 1+ 2 1+2
二、多 选题
9、下列命题中，正确的是（ ）
A.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，若 ( 0)=0.3，则 ( <4)=0.3
B.用 表示 次伯努利试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的概率，若
≤
( ) = 150 , ( )=50，则 = 2
3
C.分 别抛掷两 枚 质地均匀的 硬币，设 =“第一枚正面朝上”， =“第二枚反面朝上”，
则有: ( )= ( )
D.已知 随 机∣ 变量 的分布列为 ( = )= ( =1,2,3, ,100)，则 = 101
(+1) 100
10、设函数 ( ) = 3 3 2+ 1， 则 （ ） ⋯
A.当 <0时， =0是 ( )的极小值点
−
B.当0< <2时， ( )有三个零点
C.当 =1时，若 ( )在( 1, )上有最大值，则 >0
D.若 ( )满足 ( )+ (2 )= 2，则 =1
−
11、已知{ }满足 =1， 2 ( 1) 2 =0，记{ }的前n项和为 ，{ }的前n项和为
1 − +−1 +1 +1
，则下列说法中不一定正确的是（ ）
− − −
A .{ +1}是等比数列 B.{ }的通项公式为 =( 1)!或 =( 1) 1
−
C.若 >0，则 =( +1)! 1 D.若 < 0，则 − 为定 值 −
+1 2
三、填空题
−
12、若( +2) 5 = 5+ 4+ 3+ 2+ + ，则 5+ 3+ 1 = .
5 4 3 2 1 0
4+ 2+ 0
13、学校 从高一、高 二 、高 三 中各选 派 10名 同 学参加 “建 党 100周 年 党 史宣讲”系列报告会，其中三个年
级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同
学，则该名女同学来自高三年级的概率为 .
14、已知不等式 e e + 对任意 R恒成立，则当 取最大值时， = .
四、解答题 − ≥ ∈
15、（本小题13分）
已知集合 ={ | 3<2 +1< 7}， ={ | +4＞0}， ={ |3 2 +1}.
2
(1)求 ( ) ；− − − ≤ ≤
(2)若“ : ( )”是“ : ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
∩
16、(本小题满分15分)
∈ ∪ ∈
如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形， = π， 为 的中点， = = = 2.
3
为 上的一点， 已−知 =4 . ∠
学科网（北京）股份有限公司(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
⊥
17、（本小题15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）
的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号 1 2 3 4 5
学习时间x 30 40 50 60 70
数学成绩y 65 78 85 99 108
（1）请利用散点图说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 关于 的回归直
线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；
（参考数据： 5 =22820, 5 =435, 5 2 =38999,107.42 11540， 的方差为200）
=1 =1 =1
(2)基于上述调 查， 某校 提 倡学生周 末 在校自 主学习 .经 过一学 期的实施后，抽≈样调查了2 2 0位学生.按照是
否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到2 2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值
=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
×
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：方差： 2 = 1 ( )2，回归方程 ^ = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ^ =
=1
−
=1 ( − )( − ) ， ^ = ^ ， − 2 = ( )2 .
=1 −( −)2 − − ( + ) ( + ) − ( + )( + )
−
0 . 1−0 0. 05 −0. 0 10 0.00 5 0.0 0 1
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1 8 、(本小题满分17分)
2
经过圆 : 2+ 2 =5上一动点 作椭圆 : + 2 =1的两条切线，切点分别记为 , ，直线 , 分别与圆
4
相交于 异于 点 的 , 两点.
(1)求证： + = 0；
→ → →
(2)求 的 面积 的取值范围.
2 2
（参考Δ 结 论 ：点 ( , )是椭圆 + =1( > >0)外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则直
0 0 2 2
线AB的方程为 0 + 0 =1.)
2 2
学科网（北京）股份有限公司19、（本小题17分）
已知函数 ( )= ln + 1 2 + 3 ( >0)
4 4
(1)判断 ( )的 单 调性 ； −
(2)若 ( )有且仅有一个零点，求 的取值范围；
5 1
( )+
(3)若 取 第(2)问所求范围的最小值 ，且数列{ }满足， =2， = 4 4，
1 +1
−
求证： ， | 1|< 4 .
=1 3
∗
∀ ∈ −
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数学参考答案
1-8DACDBDDC9BCD10BD11AB
12、【答案】
13、【答案】
14、【答案】e
15、【答案】（1）因为 ，又 ，..2分
所以 ………………………………………….………………5分
（2） ，所以 ………………7分
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，………9分
又 ，所以
或 ，…………..…………………12分
综上所述， 的取值范围为 .…………………………13分
16、【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 为 中点，∴ ，…………….……1分
∵ ， ，∴ ，
∵四边形 为菱形， ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
又 , 分别为 , 中点，∴ ，
∴ ，即 ，………………………………………………………..3分
∵ ， 平面 , 平面 ，∴ 平面 ，…5分
∵ 平面 ，∴平面 平面 .……………………………………………6分
（2）连接 ，由（1）知： 为等边三角形，∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ， ，∴ ， ，………………7分
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得： ，∴ ，……………………………………10分
∵ 轴 平面 ，∴平面 的一个法向量 ，……………..………11分
设平面 与平面 的夹角为 ，则
………………………………………….…14分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 …...……………………………………15分
17、【答案】（1）画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中 与
之间的关系可用线性回归模型进行拟合.………………………2分
， ，又 的方差为 ，
，………………………7分
学科网（北京）股份有限公司，故 当 时， ，故预测每天课后自主学习数
学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分………………………9分
（2）零假设 ：周末在校自主学习与成绩进步无关………………………10分
根据数据，计算得到：
………………13分
因为 ，所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断H 不成立，可以认为“周末自
0
主学习与成绩进步”有关.，此推断犯错误的概率不大于0.001………15分
18、【答案】（1）证明：设点 ．
①当直线 的斜率都存在时，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ．
联立 ，消去 得： ，
，…………………………………………….…2分
令 ，整理得： ．………….…3分
设直线 的斜率分别为 ．
∴ ．又 ,∴ ．
∴ ，即 为圆 的直径，
∴ ．………………………………….…5分
②当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，则直线 的方程为
∴点 ，点 ，也满足 ．……………………………………….………….…6分
综上所述，证得 ．……………………………………………………………………………………..…7分
（2）设点 ，则直线 的方程为 ．………………………………………..…8分
若 时，令 ，则直线 的方程为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ .………………………………………………………………………………….…9分
若 时，联立 ，消去 得 ．
∴ ， ，………………………………………………………………………..…11分
∴
．……………………………………………..………………..…13分
又点 到直线 的距离： ．…………………………………….…..…14分
，……………………………………………………..…15分
令 ， ．则 ，又 ，…………..….…16分
∴ 的面积的取值范围为 .……………………………………………………………………………..…17分
19、【答案】（1） 1分
，令 ，对称轴 ， ，
1当 时， ，则 ， 在 单调递增2分
2当 时， ，令 ，得 ，
时，则 ， ； 时，则 ， ； 时，则
， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单调递增4分
综上， 时， 在 单调递增; 时， 在 上单调递
增, 上单调递减， 上单调递增.5分
（2）易知 ，由（1）可得
1当 时， 在 单调递增，又
有且仅有一个零点 6分
学科网（北京）股份有限公司2 时， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单
调递增； ，又 ，
，
在 上有一个零点 ；
又 时， ； 时， 在 上各有有一
个零点； 有三个零点8分
综上 9分
（3） ，
令 ，
，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，即 ，
所以由 可得当 ，则
因此，若存在正整数 ，使得 ，则 ，从而 ，重复这一过程有限次后可得 ，与
矛盾，从而，对 ，11分
下面我们先证明，当 时， ，
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递
减，所以 ，即当 时， 12分
因为 ，所以 ，
，
即 ，由于 ， ，所以 ， ，故 15分
故当 时， 16分
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ， ．17分
学科网（北京）股份有限公司
