广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末考试数学Word版含解析_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年07月试卷_0730广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末考试

湛江市 2023—2024 学年度第二学期期末调研考试 高二数学 说明：本卷满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 过 和 两点 的直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 用最小二乘法得到一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则 （ ） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 3. 若圆 被直线 平分，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 在 处的切线的斜率大于0 B. 是函数的极值 C. 在区间 上不单调 D. 是函数的最小值 5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下 列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ） 喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 . 3.841 6.635 10828 A. 不能根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 B. 根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 C. 根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 D. 根据小概率的 的 独立性检验认为两者无关 6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响， 则不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 25 C. 225 D. 450 7. 如图，在三棱锥 中， 为 的 中点， 为 的中点，则线段 的长度为（ ）A. B. C. D. 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设 是由正数组成的等方差数列， 且方公差为2， ，则数列 的前24项和为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从 甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球 分别为事件 、 ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的 11. 如图，在棱长为2 正方体 中，点P是线段 上的点，点E是线段 上的一点， 则下列说法正确的是（ ）A. 存在点E，使得 平面 B. 当点E为线段 的中点时，点 到平面 的距离为2 C. 点E到直线 的距离的最小值为 D. 当点E为棱 的中点，存在点 ，使得平面 与平面 所成角为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 展开式中 项的系数为________. 13. 已知 ，若 为奇函数，则 ______. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的左、右 两支分别交于A，B两点，若 ， ，则C的离心率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ． （1）求 和 ； （2）设 ，求数列 前 项和 ． 16. 四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ，点 是棱 上 一点．（1）求证: 平面 平面 ； （2）当 为 中点时， 求二面角 的正弦值． 17. 已知F，F 分别为椭圆W： 的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． 1 2 （1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求 FMF 的面积； 1 2 （2）若点M的坐标为（x 0 ，y 0 ），且∠F 1 MF 2△是钝角，求横坐标x 0 的范围． 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿 者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为 ，求 的分布列及期望 ； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项 活动，且选择参加1项或2项的可能性均为 ；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3 项的可能性也均为 .每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为 ，求 的 期望 . . 19 已知函数 . （1）若曲线 在 处的切线为x轴，求a的值； 的 （2）在（1） 条件下，判断函数 的单调性； （3） ，若 是 的极大值点，求a的取值范围.湛江市 2023—2024 学年度第二学期期末调研考试 高二数学 说明：本卷满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 过 和 两点的直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式 可得. 【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率 . 故选：A 2. 用最小二乘法得到一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则 （ ） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程为 一定过点 ，先求出 ，代入回归方程即可得出 ，进而可 得 的值.【详解】依题意， 因为 ，所以 ， 因 为线性回归方程为 一定过点 ， 所以 ， 所以 . 故选：D. 3. 若圆 被直线 平分，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由题意得圆心 在直线 上， 则 ，解得 . 故选：D. 4. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 在 处的切线的斜率大于0 B. 是函数的极值 C. 在区间 上不单调 D. 是函数的最小值 【答案】A【解析】 【分析】根据 的图像分析 的单调性和最值，即可判断BCD；对于A：根据导数的几 何意义分析判断. 【详解】由图象可知：当 时， ；当 时， （当且仅当 时，等号成 立）； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增， 则 为 的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误； 对于A：可知 ，即 在 处的切线的斜率大于0，故A正确； 故选：A. 5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下 列联 表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ） 喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 不能根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 B. 根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 C. 根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关 的 D. 根据小概率 的 独立性检验认为两者无关【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的数表，求出 的观测值，再与临界值比对即得. 【详解】由数表知， ，而 ， 所以根据小概率值 的 独立性检验认为两者有关． 故选：B 6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响， 则不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 25 C. 225 D. 450 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】甲和乙的选择方法分别有 种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有 种. 故选：C 7. 如图，在三棱锥 中， 为 的 中点， 为 的中点，则线段 的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先得到 ，再平方求解. 【详解】解：由题意得 ， 故 ， ， 则 . 故选：C. 8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设 是由正数组成的等方差数列， 且方公差为2， ，则数列 的前24项和为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先由等方差数列的定义得到 是公差为2的等差数列并求出 ，进而求出 ，再利用 裂项相消法求和即得. 【详解】依题意， ，即 是公差为2的等差数列，而 ， 于是 ，即 ， 则 ，所以数列 的前24项和为： . 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得 ，代入公式即可一一判断. 【详解】依题， ，解得 故A错误，B正确； 则 ， ，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从 甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球 分别为事件 、 ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出 ， ， ， ， 即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以 ，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋 中取出的球是红球的概率为 ，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋 中取出的球是红球的概率为 ，所以 ，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以 ，结合以上分析， 所以 ，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体 中，点P是线段 上的点，点E是线段 上的一点， 则下列说法正确的是（ ） A. 存在点E，使得 平面 B. 当点E为线段 的中点时，点 到平面 的距离为2C. 点E到直线 的距离的最小值为 D. 当点E为棱 的中点，存在点 ，使得平面 与平面 所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点 线距离，求解BC，利用两平面的法向量的夹角即可求解D. 【详解】对A选项，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建系如图： 则根据题意可得 ,0, , ,0, , ,0, , ,2, , ， 设 ,2, ， 所以 ， ， ， 假设存在点 ，使得 平面 ， 则 ， ， 解得 ， 所以存在点 ，使得 平面 ，此时点 与点 重合，故A正确； 对于B，点E为线段 的中点时， , , , 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，,故点 到平面 的距离为 ，故B正确， 对C选项, ,2, ， , 点 到直线 的距离为 ， 故当 时，即点 为 中点时，此时点 到直线 的距离的最小值为 ，故C错误； 对D选项，点E为线段 的中点时， , , , 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ， 设 , , , 设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 ， 取 ， 则 ， 若存在点 ，使得平面 与平面 所成角为 ， 则 ，化简得 ，解得 或 ， 由于 ，所以 ，故D正确， 故选：ABD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 展开式中 项的系数为________.【答案】30 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数. 【详解】 展开式的通项表达式为 ， 当 时， ， . 故答案为:30. 13. 已知 ，若 为奇函数，则 ______. 【答案】0 【解析】 【分析】求导后利用奇函数的性质得到 ，代入计算再结合指数函数的性质可得结果. 【详解】 ， 因为 为奇函数， 所以 ，即 ， 化简可得 ， 因为 ， 所以 . 故答案为：0. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的左、右 两支分别交于A，B两点，若 ， ，则C的离心率为______．【答案】 【解析】 【分析】引入参数 ，结合双曲线定义、正弦定理表示出 ， ， ， ， ，在 中由余弦定理可得 ，在 中，运用余弦定理 可得出 ，结合离心率公式即可得解. 【详解】 在 中，设 ，由正弦定理得 ，则 ， 所以由双曲线的定义可知 ， ， 故 ， 在 中， ，解得 ， 所以在 中， ， ， ，又 ，解得 ， 所以离心率 ． 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与 的关系，进而结合离心率公式 即可得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ． （1）求 和 ； （2）设 ，求数列 前 项和 ． 【答案】（1） ； ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前 项和； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设 的公差为 ，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 ， 所以 ， ．【小问2详解】 ， 所以 ． 16. 四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ，点 是棱 上 一点． （1）求证: 平面 平面 ； （2）当 为 中点时， 求二面角 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到 ，又由线面垂直的性质得到 ，即可得到 平 面 ，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 底面 是正方形， ， 平面 ， 平面 ，，又 ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ． 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ， 设二面角 为 ，由图可知二面角 为锐二面角， 所以 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 17. 已知F，F 分别为椭圆W： 的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． 1 2 （1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求 FMF 的面积； 1 2 （2）若点M的坐标为（x 0 ，y 0 ），且∠F 1 MF 2△是钝角，求横坐标x 0 的范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）代入法求得 值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积； （2）由余弦定理可得． 【小问1详解】 因为点M（1，m）在椭圆上， 所以 ， 因为m>0，所以 ， 因为a＝2，b＝1，所以 ，所以 ， ， 所以 【小问2详解】 因为点M在椭圆上，所以－2≤x≤2， 0 由余弦定理得 cos∠FMF ＝ ＝ ， 1 2 因为∠FMF 是钝角，所以 ， 1 2 又因为 ，所以 ，解得 ， 故横坐标x 的范围为 . 0 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿 者参加活动. 的 （1）求在有女生参加活动 条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为 ，求 的分布列及期望 ； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项 活动，且选择参加1项或2项的可能性均为 ；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3 项的可能性也均为 .每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为 ，求 的 期望 . 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）13个工时 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【小问1详解】 设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件 . 则 ， 所以 . 【小问2详解】 依题意知 服从超几何分布，且 ， ， 所以 的分布列为：0 1 2 ； 【小问3详解】 设一名女生参加活动可获得工时数为 ，一名男生参加活动可获得工时数为 ， 则 的所有可能取值为 ， 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， 有 名女生参加活动，则男生有 名参加活动. ， 所以 . 即两人工时之和的期望为13个工时. 19. 已知函数 . （1）若曲线 在 处的切线为x轴，求a的值； （2）在（1）的条件下，判断函数 的单调性； （3） ，若 是 的极大值点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 上单调递减， 上单调递增 （3） 【解析】【分析】（1）求导，然后根据 列式计算即可； （2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性； （3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点. 【小问1详解】 由已知 ，则 ， 由于曲线 在 处的切线为x轴， 所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 当 时， ，令 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 又当 时， 恒成立， ， ， 所以当 时 ， 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 【小问3详解】 由已知 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 又当 时， 恒成立，且 ， 当 时， ，即 在 上有且只有一个零点，设为 ， 当 ，即 ，解得 ，此时若 ，解得 ， 在 上单调递减， 若 ，解得 或 ， 在 上单调递增， 此时 在 处取极小值，不符合题意，舍去； 当 ，即 ，解得 ， 此时若 ，解得 ， 在 上单调递减， 若 ，解得 或 ， 在 上单调递增， 此时 在 处取极大值，符合 是 的极大值点， 当 时，即 ，解得 ， 此时 恒成立， 无极值点， 综上所述：a的取值范围为 . 【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及 零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.