文档内容
高三一轮中期调研考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､函数与导数､不等式､三角函数与解三角形､平面
向量､复数､数列､立体几何､解析几何.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B.
C. D.
3.已知单位向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知等比数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A.18 B.54 C.128 D.192
5.已知 为坐标原点， 分别是椭圆 的左顶点､上顶点和右焦点点 在椭圆
上，且 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.1 C. D.
6.设 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，则 后该物体的温度
可由公式 求得.若将温度分别为 和 的两块物体放入温度是 的空气
中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过 ，至少要经过（ ）（取： ）
A. B. C. D.
8.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在三棱台 中，上底面是边长为 的等边三角形，下底面是边长为 的等边三角
形，侧棱长都为1，则（ ）
A.
B.
学科网（北京）股份有限公司C.直线 与平面 所成角的余弦值为
D.三棱台 的高为
10.若函数 在 上的零点从小到大排列后构成等差数列，则 的取值可以为（ ）
A.0 B.1 C. D.
11.已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数 D. 没有极值
12.如图，有一组圆 都内切于点 ，圆 ，设直线
与圆 在第二象限的交点为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A.圆 的圆心都在直线 上
B.圆 的方程为
C.若圆 与 轴有交点，则
D.设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移个单位长度得到__________.
14.已知函数 则满足 的 的取值范围是__________.
学科网（北京）股份有限公司15.已知抛物线 与直线 交于 两点，点 在抛物线 上，且 为直角三角形，则
面积的最小值为__________.
16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱
柱的底面边长为2，高为8，则该几何体的体积为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在 中， 为 上一点， ，且 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 .
18.（12分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，
.
（1）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请指出点 的位置并证明；若不存在，
请说明理由.
（2）求平面 与平面 的夹角的大小.
19.（12分）
在数列 中， .
（1）证明：数列 为常数列.
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求数列 的前 项和 .
20.（12分）
已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 .
（1）求 的值；
（2）当 时， 的值域为 ，求 的值.
21.（12分）
已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 .
（1）求双曲线 的方程.
（2）已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，直线 与双曲线 的左､右支分别交于点 （异
于点 ）.设直线 的斜率分别为 ，若点 ）在双曲线 上，证明 为定值，并求出
该定值.
22.（12分）
已知函数 .
（1）当 时，证明： 只有一个零点.
（2）若 ，求 的取值范围.
高三一轮中期调研考试
数学参考答案
1.A 【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.
因为 ，所以 .
2.D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
3.C 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
4.D 【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.
设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 .
.
5.D 【解析】本题考查椭圆，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
易知 .
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 .
6.B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为 ，所以 .因为
，所以 ，所以 ，则
.
7.C 【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.
的物块经过 后的温度 的物块经过 后的温度 .要使得这
两块物体的温度之差不超过 ，则 ，解得 .
8.A 【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
设函数 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.令 ，
学科网（北京）股份有限公司则 .设函数 ，所以 在 上单调递增，在 上单
调递减，则 ，所以 ，即 ，所以 .故
.
9.ABD 【解析】本题考查棱台，考查直观想象的核心素养.
延长 交于点 ，设 的中点分别为 ，连接 ， 并交于点 ，连接 .在
中， ，所以 ，可得 .同理可得 ，所以三棱锥
为正三棱锥.又 ，所以 ，即 正确.易得 平面 ，
所以 ，B正确.因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角.易知
错误.
因为 为 的中点，所以三棱台 的高为 ，D正确.
10.ABD 【解析】本题考查三角函数及等差数列，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.
因为函数 有零点，所以 .
画出函数 与 的图象，如图所示.
学科网（北京）股份有限公司当 或1时，经验证，符合题意.
当 时，由题意可得 .因为 ，所以
.
11.ACD 【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.
令 ，则 ，A正确.当 且 时，由 ，得
.令函数 ，则 ，所以 ，所以 为常
函数.令 ，则 ，所以 是奇函数，C正确. 没有极值，D正确.当 时，
，B错误.
12.ABD 【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象､逻辑推理及数学运算的核心素养.
圆 的圆心都在直线 上，A正确.由题意可得 的方程为
，故圆 的方程为 ，B正确.
若圆 与 轴有交点，则 ，解得 .因为 ，所以 9，C错误.
由 ，令 ，可得 的较大根为 ，故 ，D正确.
13. 【解析】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.
因为 ，所以函数 的图象可由函数
学科网（北京）股份有限公司的图象至少向右平移 个单位长度得到.
14. 【解析】本题考查分段函数，考查逻辑推理的核心素养.
画出 的图象（图略），数形结合可得 解得 .
15.1 【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.
设 ，则 .因为 为直
角三角形，所以 ，即 .因为 ，
所以 . .
16. 【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象及数学运算的核心素养.
过直线 和直线 分别作平面 ，平面 （图略），平面 和平面 都平行于坚直的正六棱柱的底面，
则该坚直的正六棱柱夹在平面 和平面 之间的部分的体积为 .如图将多面体
分成三部分， ，三棱柱 的体积为
，所以多面体 的体积为 .
两个正六棱柱重合部分的体积为 .
一个正六棱柱的体积为 .
故该几何体的体积为 .
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）在Rt 中， .
在 中， ，解得 .
（2）在 中， ，所以 .
在 中， ，所以 .
故 .
18.解：（1）当 为 的中点时， 平面 .理由如下：
设 为 的中点，连接 .
在 中， .
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系.
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 .
设 为 的中点，连接 （图略），易证得 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
又 ，所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
所以 ，即平面 与平面 的夹角的大小为 .
19.（1）证明：令 ，可得 .
因为 ①，所以 ②.
①-②得 ，即 .
因为 ，所以数列 为常数列.
（2）解：由（1）可得 ，所以 是公差为1的等差数列，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ③，
④.
③-④得
，
所以 .
20.解：（1） .
，解得 .
（2） .
令函数 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以当 时， ，即 ；当 时， ，
即 .
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 在 上的最小值为 ，解得 ，舍去.
当 时， 在 上的最小值为 ，解得 ，
此时 ，符合题意.
综上， 的值为2.
21.解：（1）因为渐近线方程为 ，所以 ，即 .
.
故 的方程为 .
（2）因为点 在双曲线 上，所以 ，即 .
联立 得 .
.
.
.
学科网（北京）股份有限公司.
因为 ，所以 ，所以 .
.
故 为定值，定值为 .
22.（1）证明：当 时， ，
所以 是减函数.
因为 ，所以 只有一个零点.
（2）解： ，
即 .
令函数 ，
.
，要使得 ，则存在 ，使得 在 上单调递增，即当 ， 时，
.
学科网（北京）股份有限公司令函数 ，
.
，要使得 ，则存在 ，使得 在 上单调递增，即当 ，时，
.
令函数 ，
.
.
当 ，即 时， .
令函数 .
令函数 .
因为 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增.
因为 ，所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
，符合题意.
当 ，即 时，存在 ，使得当 时， ，即 在 上单
调递减.
因为 ，所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以当 时， ，与题意不符.
学科网（北京）股份有限公司综上， 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司
