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作业 03 三角函数的伸缩平移变换
1. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（ ， 是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为 ；
若 ↗，纵坐标伸长；若 ↘，纵坐标缩短； 与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若 ↗， ↘，横坐标缩短；若 ↘， ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
2. 三角函数图象的变换
学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图象平移法则可求解析式.
【详解】由题意得 ．
故选：B.
2．要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度： D．问右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】 ，
故将 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，故D正确；
经检验，ABC错误.
故选：D
3．为了得到 的图象，只需将 （ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象变换和诱导公式，即可得出结果.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以将 的图象向左平移 个单位，可得 的图象.
故选：D
4．将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 ，若 在函数
的图象上，则（ ）
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【答案】A
【分析】由题意利用 的图象变换规律及诱导公式，可得 ，且
，即可得 的最小值.
【详解】由题意得 ，
由点 向左平移 个单位长度得到点 ，
可得 ，代入
可得 ，
则 或 ，
即 或 ， .
又 ,所以 的最小值为 .
故选：A.
5．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，将函数 图象
上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数 的图象，求得 ，得到 ，再由点 在图象上，求得 ，得到
，结合三角函数的图象变换，即可求解.
【详解】由函数 的图象，可得 ，
则 ，所以 ，则 ，
因为点 在图象上，所以 ，
则 ，即 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
将函数 图象上所有点向左平移 个单位长度，
得到 .
故选：D．
二、多选题
6．已知函数 与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为 ，若
将函数 的图象向左平移 个单位后恰好为奇函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】AC
【分析】根据周期性可得 ，根据图象变换可知 ，结合奇函数性质分析求解.
【详解】由题意知，函数 的最小正周期为 ，则 ，得 ，
所以 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得 的图象，
因为 为奇函数，则 ， ，即 ， ，
当 时， ，符合题意；当 时， 符合题意.
故选：AC.
7．已知函数 ，若把函数 的图像向右平移 个单位长度后得到的图像关于
原点对称，则（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 在 上有2个零点
【答案】BCD
【分析】根据题意，由条件可得 ，即可得到函数 的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐
一判断，即可得到结果.
【详解】因为 的图像关于原点对称，
则 ，解得 ，又 ，
则 时， ，所以 ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 的图像关于点 对称，故B正确；
当 时，则 ，且函数 在 单调递减，故C正确；
令 ，即 ，解得 ，又 ，
则 ， 共两个零点，故D正确；
故选：BCD
8．已知函数 ，将 的图像上所有点向右平移 个单位长度，
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，且 为偶函数且它最小正周期 为，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数 图像关于点 中心对称
B．函数 在区间 上单调递增
C．不等式 的解集为
D．方程 在 上有2个解
【答案】BCD
【分析】根据图像变换求出函数 的解析式，结合周期公式及正弦型函数的奇偶性的性质可求 ，利
用三角函数的对称，单调性判断AB，结合余弦函数性质解不等式判断C，结合三角恒等变换解方程判断
D.
【详解】根据题意可得， ，
又因为 最小正周期为 ，则 ，且 ，则 ，
即 ，
又因为 为偶函数，则 ，
解得 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，所以 ，
则 ，
对于A，当 时， ，
所以点 不是 的对称中心，故A错误；
对于B，令 ，
解得 ，
所以 是 的子集，
所以函数 在区间 上单调递增，故B正确；
对于C，因为 ，即 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，可化为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 或 ，
所以方程 在 上有2个解，D正确，
故选：BCD
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
9．将函数 图象上所有的点都向左平移 个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标
变为原来的2倍，得到函数 的图象，则 .
【答案】
【分析】根据三角函数图象变换法则求解即可.
【详解】将 图象上所有的点都向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得 .
故答案为： .
10．记函数 的最小正周期为 ，且 ，将 的图象向右
平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的值可以是 （写出符合条件的一个具体数值即可）．
【答案】1（满足 即可，答案不唯一）
【分析】根据周期公式结合 可得 ，再根据函数图象平移性质，结合余弦函数的对称性质求
解即可.
【详解】由题意 ，则 ，
因为 ，故 ，则 .
又 的图象向右平移 个单位得到 ，
所得图象关于 轴对称，故 ，则 ，
即 .
故 的值可以是1（满足 即可，答案不唯一）.
故答案为：1（满足 即可，答案不唯一）
四、解答题
11．已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 的图象，若
，求函数 在 上的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为 ； ；
(2) .
【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式计算可得 ，由 求
出最小正周期，利用整体代换法即可求出单调区间；
（2）根据三角函数图象的平移变换可得 ，结合正弦函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 的最小正周期为 ；
令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 .
（2） 的图象向左平移 个单位长度得到 ，
再向上平移1个单位长度得到 ，
所以 .令 ，
因为 ，
又因为 ，所以 .
所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即函数 在 上的取值范围是 .
12．已知函数 .
(1)已知 ，求 的值域及单调区间；
(2)若将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移 个单
位得到函数 的图象，求不等式 的解集.
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，值域为
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简函数，然后由正弦函数的值域及单调区间求解即可；
（2）利用函数图象变换的规则，求得函数 的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式
求解即可.
【详解】（1）
，
由 ，则 ，所以 ，
所以 ，即 的值域为 ，
令 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ，
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ，
所以 在 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
值域为 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）把 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到 ，再将其图象向上平移 个单位得到 ，
则 ，
故不等式 即 ，
化为 ，化为 ，
即 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
所以 ，
所以等式 的解集为 .
1．已知函数 ，若将 的图象向左平移 个单位长度后所得的图象关于y轴
对称，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据题意写出平移后解析式 且关于 轴对称，则
， ，从而可求解.
【详解】由题意得将 向左平移 个单位后
得 ，且关于 轴对称，
所以 ， ，得 ， ，
又因为 ，所以当 时， 有最小值 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到曲线 ．若曲线 关于原点对称，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，得出平移图像后的函数解析式，结合函数的奇偶性可得 ，又
根据 ，即可求解.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度后函数解析式为：
，即 ，
又因为曲线 关于原点对称，所以 ， ，
解得 ， ，因为 ，所以当 时， 取得最小值，
的最小值是 .
故选：C
3．已知函数 （ ），将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数
的图象，若 的图象关于原点对称，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】利用三角函数的图象的平移变换可得 ，结合正弦函数的对称性可知
，再根据三角函数的单调性即可求解.
【详解】由题知 ，
∵ 的图象关于原点对称，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，解得 ， ，
∵ ，当 时， ，
∴ ．
由 ， ，得 ， ，
∴函数 的单调递增区间为 ， .
故选:D．
4．已知函数 的图象向左平移 个单位后关于 轴对称，若 在
上的最小值为-1，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】利用三角函数图象的变化规律求得： ，利用对称性求得 ，由
时，可得 ，由正弦函数的性质列式求解即可.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
图象所对应解析式为： ，
因为 图象关于 轴对称，所以 ， ，
可得 ， ，又 ，所以 ，即 ，
要使 在 上的最小值为 ，则 在 上的最小值为 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，解得 ，即 的最大值是 .
故答案为：
5．（多选）函数 的图象向左平移 个单位长度后与原图象关于 轴对称，则下
学科网（北京）股份有限公司列结论一定正确的是（ ）
A． B． 的一个周期是
C． 是偶函数 D． 在 上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得 ，即可得
，由此将 代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求出 的
表达式结合偶函数定义判断C；结合x的范围，确定 ，结合余弦函数单调性，判断D.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
由题意可得 ，即 ，
故 ，故 ，由于 ，故 ,
故 ，
对于A， ，A正确；
对于B， ，
即 的一个周期是 ，B正确；
对于C， ，
不妨取 ，此时 ，此时函数不是偶函数，
即 不是偶函数，C错误；
对于D，当 时， ， ，
由于 在 上单调递减，故 在 上单调递减，D正确，
故选：ABD
学科网（北京）股份有限公司1．将函数 图象所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的
图象. 若对于任意 ，总存在唯一的 . 使得 ，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.
【详解】由题意得 ，
当 时，有 ，此时 ，
令 ，则 ，
因为 时，所以 ，
因为对于 的任意取值， 在 上有唯一解，
即 在 上有唯一解，如图所示：
由图可知， ，所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：关键是得到 在 上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺
利得解.
2．已知 是函数 的两个零点，且 ，若将函数
的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在 内恰有2个最值点，则实数
学科网（北京）股份有限公司的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数零点的最小距离可得 ，再利用平移规则和函数奇偶性可求得 ，根据函数
在 内恰有2个最值点可限定出 ，即可解得实数 的取值范围.
【详解】由 可得 或 ；
根据正弦函数图象性质可知 ，解得 ；
将函数 的图象向左平移 个单位后可得 为偶函数，
则 ，又 可得 ；
因此 ；
当 时，可知 ，
若函数 在 内恰有2个最值点，可知 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得 ，再由平移
后的函数为偶函数求得 ，得出函数 的解析式后问题便迎刃而解.
3．已知函数 ，把函数 的图像先向右平移 个单位长度，再向下平移
个单位，得到函数 的图像.
(1)求 的单调递增区间及对称轴方程；
(2)当 时，若方程 恰好有两个不同的根 ，求 的取值范围及 的值.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)单调递增区间为 ， ，对称轴方程为 ， .
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用两角和的余弦公式和辅助角公式化简 ，再利用正弦函数的图象和性质求解即可；
（2）根据平移得到 的解析式，由 的取值范围求出 的单调区间和值域，进而得到函数图象，根
据图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，对称轴方程为 ， .
（2）根据题意及（1）中结论可得 ，
当 时， ，
令 得 ，令 得 ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 时， 单调递
增，
且 ， ， ， ，
大致图像如图所示，
学科网（北京）股份有限公司方程 恰好有两个不同的根 ，
所以 的取值范围为 ，
又因为 的对称轴为 和 ，
所以当 时 ，当 时 .
1．（2020·江苏·高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y
轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】 /
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当 时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2022·全国·高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，
若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
学科网（北京）股份有限公司根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
5．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，
则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
学科网（北京）股份有限公司考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司
