衡水中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题(1)_2024年3月_013月合集_2024届新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2023—2024 学年高一第二学期开学检测考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教 A版必修第一册。
一、选择题：本大题共8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
 1 
{ }
1.已知集合M = x −3< x<4 ，N =x x+1>0，则M N =（ ）
 2 
A.
(−3,3 )
B.
(−3,6 )
C.
(−2,4 )
D.
(−3,2 )
2.“a≥4”是“ a ≥4”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
( )
3.已知角α的终边经过点 7,7 3 ，则角α的值可能为（ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 6 3 6
4.已知a =3−0.3，b=cos2，c=lg11，则（ ）
A.c<a<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c
π
5.将函数 f ( x )=cos2x图象上所有的点都向左平移 个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变
3
为原来的2倍，得到函数g ( x )的图象，则g ( x )=（ ）
 π  π
A.cosx+

B.cos4x+

 6   3
 2π  2π
C.cosx−

D.cosx+

 3   3 
学科网（北京）股份有限公司ex +x,x<0,
6.函数 f ( x )= 的零点个数为（ ）
x2 −3x+2,x≥0
A.1 B.2 C.3 D.4
 π  π
7.已知函数y =sin ωx+  (ω>0 )在0, 上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则ω
 6   3
的取值范围是（ ）
[ ] ( ] ( ) ( ]
A. 1,7 B. 1,7 C. 1,7 D. 4,7
( 5m−3 ) x−2m2 +1,x<1,
8.已知 f ( x )= 是R上的单调函数，则m的取值范围是（ ）
log x,x≥1
m
 1 1 3
A.0, 
(
1,2
]
B. , 
[ 2,+∞)
 2 2 5
1 3  1
C. , 
( 2,+∞)
D.0, 
[ 2,+∞)
2 5  2
二、选择题：本大题共4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.下列命题是真命题的是（ ）
A.若函数 f ( x3 ) = x+2，则 f ( 8 )=4
B.“∀x∈R，x2 + x >0”的否定是“∃x∈R，x2 + x ≤0”
2
C.函数y = x3为奇函数
D.函数 f ( x )=ax−100 +log ( 2x−199 )（a >0且a≠1）的图象过定点（100，1）
a
10.若关于x的不等式ax2 −4x+2<0有实数解，则a的值可能为（ ）
A.0 B.3 C.1 D.-2
 π 7
11. 已 知 函 数 f ( x )= Asin (ωx+ϕ) A>0,ω>0,ϕ<  的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 若 OC = ，
 2 8
tan∠NCM =2，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 π
A. f ( x )=sin πx+ 
 8 
 5 3 
B. f ( x )的单调递增区间为  − +k, +k  ( k∈Z )
 8 8 
5 
C. f ( x )的图象关于点 ,0对称
8 
5
D. f ( x )的图象关于直线x=− 对称
8
x2 +2x ,x≤1,

12. 已 知 函 数 f ( x )= 若 m,n,k,t,c ( m<n<k <t <c ) 满 足
4
 −1,x>1.
x
f ( m )= f ( n )= f ( k )= f ( t )= f ( c )=a，则下列结论正确的是（ ）
A.a∈(
0,1
)
B.m+n+k+t =−4
C.若b=mf ( m )+nf ( n )+kf ( k )+tf ( t )+cf ( c )，则b∈(−2,0 )
( )
D.若s =mf ( m )+tf ( t )+cf ( c )，则s∈ 0,6− 33
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.函数 f ( x )=ln ( x+4 )−ln ( x−4 )的定义域为_____________.
m2 n2
14.若正数m，n满足 + =1，则mn的最大值为____________.
25 16
15.一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形OMN截去同心扇形OPQ所得的部分，已知PM =6分
米，弧MN 长为4π分米，弧 PQ长为2π分米，则OP= ____________分米，此扇环形砖雕的面积为
____________平方分米.
2x+1−1
16.若函数 f ( x )=log 在( 1,+∞)上满足 f ( f ( x )) = x恒成立，则k =____________.
2 2x +k
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
计算：
（1）2lg 5+lg2−log 27×log 2；
2 3
1
− 2
（2）   81  2 −(−sin1 )0 − ( 27 )− 3.
 4 
18.（12分）
已知函数h ( x )=log x（a >0且a≠1），h ( 72 )−3h ( 2 )=2.
a
 2
h3x− 
（1）求方程3  x =5的解集；
（2）求关于m的不等式h ( 4−m )>h ( 3m+2 )的解集.
19.（12分）
 3π 3  3π
已知sin α+  = ，α∈  π, .
 2  5  2 
 π
（1）求sin2α+ 的值；
 4
α
（2）求tan 的值.
2
20.（12分）
已知函数 f ( x )=6sinaxcosax+2 3cos2ax− 3 ( a>0 )的最小正周期为π.
 π
（1）将 f ( x )化简成 f ( x )= Asin (ωx+ϕ)+BA>0,ω>0,ϕ< 的形式；
 3
 x  π 5π  π 5π
（2）设函数g ( x )= f  ，求函数h ( x )= gx−  +g −x在  ,  上的值域.
2  6   6  6 6 
21.（12分）
已知某批药品在 2023 年治愈效果的普姆克系数 y（单位：pmk）与月份x ( 1≤ x≤12,x∈N )的部分统计数据
如下表：
x/月 10 11 12
普姆克系数y/pm 10240 20480 40960
（1）根据上表数据，从下列两个函数模型①y =max( m>0,a>1 )，②y =n x +m ( n>0,m>0 )中选取一
个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数y与月份x之间的关系，并写出这个函数解
学科网（北京）股份有限公司析式；
（2）用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在（1000，10000）内?
22.（12分）
已知函数 f ( x )=23x +m⋅2−3x为偶函数.
（1）求m的值；
2x  x
（2）若关于x的不等式 f   ≥kf  − 恒成立，求k的取值范围；
 3   3
10 53
（3）若 f ( c )=8−c −c+4，证明： < f ( c )< .
3 14
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数学参考答案
1.C由题意得N = { x x>−2 } ，则M N =(−2,4 ) .
2.A由 a ≥4，解得a≤−4或a≥4，则“a≥4”是“ a ≥4”的充分不必要条件.
7 3 π
3.A由题意得tanα= = 3，又因为角α的终边在第一象限，所以角α的值可能为 .
7 3
4.D因为0<a =3−0.3 <1，b=cos2<0，c=lg11>lg10=1，所以b<a<c.
5.C f
(
x
)的定义域为R，排除选项D.因为
f
(
2
)=0，
f
(
4
)=0，所以排除A，B.
6.C 当x≥0时，令x2 −3x+2=0，解得x=1或x=2；当x<0时，令ex +x=0，则ex =−x，画出函数
y =ex与函数y =−x的图象（图略），可知在(−∞,0 ]上有一个公共点.故 f ( x )的零点个数为3.
S C S C
7.A 当 =49时， 1 =log ( 1+49 )=log 50，当 =2499时， 2 =log ( 1+2499 )=log 2500，则
N W a a N W a a
1 2
WC W C log 2500
1 2 = 1 ⋅ 2 = a =2.
W C C W log 50
2 1 1 2 a
5m−3>0,

8.B 若 f ( x )在R 上单调递增，则m>1, 解得m≥2 .若 f ( x )在R 上单调递减，则

5m−3−2m2 +1≤log 1,
m
5m−3<0,
 1 3 1 3
0<m<1, 解得 ≤m< .故m的取值范围是  ,  [ 2,+∞) .

2 5 2 5
5m−3−2m2 +1≥log 1,
m
2
9.ABD 令x=2，则 f ( 8 )=2+2=4，A 正确.全称量词命题的否定是特称量词命题，B 正确.y = x3是偶函
数，C错误.令x=100，则 f ( 100 )=a0 +log 1=1，D正确.
a
10.ACD 当 a =0 时，不等式 −4x+2<0 有解，符合题意.当 a<0 时，得△=16−8a >0 ，则不等式
ax2 −4x+2<0有解，当a >0时，由△=16−8a >0，解得0<a<2.综上，a的取值范围为(−∞,2 ) .
11.ACD 令 x= y =0 ， 得 f ( 2 )=2f ( 0 )− f ( 0 )⋅ f ( 0 )=0 ， A 正 确. 令 x=2 ， 得
f ( 2y+2 )=2f ( 2 )− f ( 2 )⋅ f ( y )−2y =−2y，则 f ( y+2 )=−y，即 f ( x+2 )=−x，则函数y = f ( x+2 )
学科网（北京）股份有限公司是减函数，B 错误. f ( 2−x )+ f ( 2+x )= x−x=0，C 正确.由 f ( x+2 )=−x，可得 f ( x )=−x+2，则
xf ( x )= x (−x+2 )=−( x−1 )2 +1≤1，D正确.
12.ABC作出 f ( x )的图象，如图所示.
由图可知，a∈(
0,1
)，A正确.
m+t n+k
由对称性可得 = =−1，所以m+n+k+t =−4，B正确.
2 2
4 4
令 −1=1，解得 x=2，令 −1=0，解得 x=4，则2<c<4，b=a ( m+n+k+t+c )=a ( c−4 )，
x x
4 4  16 16
a= −1，则b=  −1 ( c−4 )=8−c− ，c∈( 2,4 )，因为函数y =c+ 在（2，4）上单调递减，所以
c c  c c
16
c+ ∈( 8,10 )，则b∈(−2,0 )，C正确.
c
4  8 8 8 8
s =a ( m+t+c )=( c−2 )  −1 =6−c− ，c+ ≥2 c⋅ =4 2，当且仅当c= =2 2 时，等号成立，
c  c c c c
8 8 (
因为6−4− =0，6−2− =0，所以s∈ 0,6−4 2，D错误.

4 2
x+4>0,
13. ( 4,+∞) 由 得x>4.
x−4>0,
m2 n2 m2 n2 mn mn m2 n2
14.10 因为 + =1≥2 × =2× = ，当且仅当 = ，即4m=5n=10 2时，等号
25 16 25 16 5×4 10 25 16
成立，所以mn≤10，故mn的最大值为10.
2π 4π 4π
15.6；18π设圆心角∠POQ=α，则α= = = ，解得OP=6分米，所以OM =12分米，则
OP OM OP+6
学科网（北京）股份有限公司1 1
此扇环形砖雕的面积为 ×4π×12− ×2π×6=18π平方分米.
2 2
2x+1−1 2x+1−1 −k⋅2y −1
16.-2 设 y =log ，则 2y = ，即 2x = ①，由 f ( f ( x )) = x 得 f ( y )= x ，则
2 2x +k 2x +k 2y −2
2y+1−1 −k⋅2y −1 2y+1−1
2x = ② ， 由 ① ② 可 得 = ， 即 ( k+2 )22y +( k−2 ) 2y +1 =0 ， 因 为
 
2y +k 2y −2 2y +k
22y +( k−2 ) 2y +1不恒为0，所以k+2=0，所以k =−2，经验证，符合题意.
17.解：（1）原式=lg5+lg2−3log 3×log 2=lg10−3=1−3=−2
2 3
1 − 2
 4 2  1  3 2 − 1 2 1 10
（2）原式=   −1−272  = −1−27 3 = −1− =− .
81   9 9 3 9
18.解：（1）由h ( 72 )−3h ( 2 )=2，得log 72−3log 2=log 72−log 8=log 9=2，
a a a a a
则a2 =9，解得a=3.
 2  2
3
h

3x−
x

 =3
log 3

3x−
x

 =3x−
2
=5，
x
1
即3x2 −5x−2=0，解得x=2或− ，
3
 2
h3x−   1 
故方程3  x =5的解集为− ,2.
 3 
（2）因为h ( x )=log x是( 0,+∞)上的增函数，h ( 4−m )>h ( 3m+2 )，
3
4−m>0,

所以3m+2>0,

4−m>3m+2,
2 1  2 1
解得− <m< ，则不等式h ( 4−m )>h ( 3m+2 )的解集为 − , .
3 2  3 2
3π 
sin (α−π) cos
 2
−α 

−sinα⋅(−sinα)
19.解：（1） f (α)= = =−tan2α，
π  cosα⋅(−cosα)
sin −α cos (π+α)
 2 
35π 35π 5π 1
则 f   =−tan2 =−tan2 =− .
 6  6 6 3
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知tan2θ=4，
 3π
因为θ∈  π, ，所以tanθ=2.
 2 
方法一：
6sin2θ−5sinθcosθ
6sin2θ−5sinθcosθ=
sin2θ+cos2θ
6sin2θ−5sinθcosθ
cos2θ 6tan2θ−5tanθ 14
= = =
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5
cos2θ
方法二：
2 5
sinθ=− ，
5
5
cosθ=− ，
5
2
 2 5  2 5  5 14
6sin2θ−5sinθcosθ=6×−  −5×− ×− = .
     
 5   5   5  5
20.解：（1）令ex +e=t，得x=ln ( t−e )，t >e，
因为 f ( ex +e ) = x+1，所以 f ( t )=ln ( t−e )+1，
所以 f ( x )=ln ( x−e )+1，x∈( e,+∞) .
（2）由题意得g ( x )=ln ( lnx )+lnx+2.
令lnx=a，由x∈

e,ee

，得a=lnx∈[ 1,e ]，
g
(
x
)=h (
a
)=lna+a+2，
易得h ( a )在[ 1,e ]上单调递增，所以h ( 1 )≤h ( a )≤h ( e )，
h
(
1
)=ln1+1+2=3，
h
(
e
)=lne+e+2=3+e，
故g ( x )在  e,ee  上的值域为[ 3,3+e ] .
21.解：（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，所以根据表中
学科网（北京）股份有限公司数据，应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得x=11时，y =20480；当x=12时，y =40960.
ma11 =20480, m=10,
由 解得
ma12 =40960, a=2.
故该函数模型的解析式为y =10×2x( 1≤ x≤12,x∈N ) .
（2）函数y =10×2x在其定义域内单调递增.
令1000<10×2x <10000，
得log 100< x<log 1000，又x∈N，所以7≤ x≤9，
2 2
故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在（1000，10000）内.
22.（1）解：因为 f ( x )为偶函数，所以 f (−x )= f ( x )，
即2−3x +m⋅23x =23x +m⋅2−3x，( m−1 )( 23x −2−3x ) =0，
得m−1=0，m=1.
（2）解：不等式 f   2x  ≥kf   − x 恒成立，即22x +2−2x −k ( 2x +2−x ) ≥0恒成立，因为2x +2−x >0，
 3   3
22x +2−2x ( 2x +2−x )2 −2 2
所以k ≤ = =2x +2−x − ，
2x +2−x 2x +2−x 2x +2−x
令t =2x +2−x ≥2 2x⋅2−x =2，当且仅当x=0时，等号成立，
2
因为函数g ( t )=t− 在[ 2,+∞)上单调递增，
t
所以g ( t )≥ g ( 2 )=2−1=1，
所以k ≤1，即k的取值范围为(−∞,1 ] .
（3）证明：由 f ( c )=8−c −c+4，得8c +8−c =8−c −c+4，即8c +c−4=0，
设函数ϕ(
x
)=8x +x−4，则ϕ(
x
)在R上单调递增，
因为ϕ( log 3 )=3+log 3−4<0，
8 8
ϕ( log 3.5 )=3.5+log 3.5−4=log 3.5−0.5>log 2 2−0.5=0，
8 8 8 8
所以0<log 3<c<log 3.5<1，
8 8
学科网（北京）股份有限公司设任意0< x < x ，
1 2
f ( x )− f ( x )=23x 1 +2−3x 1 −23x 2 −2−3x 2
1 2
=8x 1 −8x 2 − 8x 1 −8x 2 = ( 8x 1 −8x 2 ) ⋅ 8x 1 +x 2 −1 ，
8x
1
⋅8x
2
8x
1
+x
2
因为8x 1 −8x 2 <0，8x 1 +x 2 −1>0，所以 f ( x )− f ( x )<0，即 f ( x )< f ( x )，
1 2 1 2
所以 f ( x )在( 0,+∞)上单调递增，则 f ( log 3 )< f ( c )< f ( log 3.5 )，
8 8
1 10
因为 f ( log 3 )=23log 8 3+2−3log 8 3 =8log 8 3+8−log 8 3 =3+ = ，
8 3 3
7 2 53
f ( log 3.5 )=23log 8 3.5 +2−3log 8 3.5 =8log 3 3.5 +8−log 9 3.5 = + = ，
8 2 7 14
10 53
即 < f ( c )< .
3 14
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