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作业 04 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
0
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
学科网（北京）股份有限公司（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量 ， 同向，且 ，则 D．单位向量的模都相等
【答案】D
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为 的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为 ，都相等，故D正确.
故选：D
2．如图，在平行四边形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得.
学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意， ，
所以 .
故选：A
3．在四边形 中， 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A． B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
【答案】D
【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.
【详解】由 ，
知四边形 的对角线相互平分且相等，
所以四边形 为矩形.
故选：D
4．设 ， ， ， 为平面四个不同点，它们满足 ，则（ ）
A． ， ， 三点共线
B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线
D． ， ， 三点共线
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算法则得到 ，即可判断.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ， ， 三点共线.
故选：A
5．设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可.
【详解】对于非零向量 ，
由 可知向量 共线，但不一定是 ，所以充分性不成立；
学科网（北京）股份有限公司由 ，可知向量 共线同向，则 ，所以必要性成立，
所以设 是非零向量，则 是 成立的必要不充分条件，
故选：C.
二、多选题
6．已知点 ， ， ，则以 ， ， 为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点 的坐标为 ，
由于平行四边形的四个顶点为 ，
所以可能有以下三种情形：
当 时，即 ，解得 ，即 的坐标为 ；
当 时，即 ，解得 ，即 的坐标为 ；
当 ，即 ，解得 ，即 的坐标为 ；
故选：ABC.
7．向量 ， ， ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
【答案】BC
【分析】
由已知求出 的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得 ，
．
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，整理得 ，
解得k＝－2或11．
故选：BC．
学科网（北京）股份有限公司8．已知点 ， ，向量 ， ∥ ，则（ ）
A． 时 与 方向相同
B． 时， 与 方向相同
C． 时 与 方向相反
D． 时， 与 方向相反
【答案】BD
【分析】根据向量平行的坐标表示求出 ，再回代验证方向相同或相反.
【详解】 ， ，可得 ，
又 ， ，
可得 ，解得 ，
当 时， 与 方向相反，当 时， 与 方
向相同.
故选：BD
三、填空题
9．已知向量 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 .
故答案为：2.
10．已知 ， 是不共线的向量，且 ， ， ，若 、 、 三点共线，
则 .
【答案】
【分析】根据向量共线即可求解.
【详解】由 ， 可得 ,
由于 , , 三点共线，则 ,
故 ，解得 ，
故答案为：
四、解答题
11．如图所示，O是正六边形 的中心.
学科网（北京）股份有限公司(1)与 的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
【答案】(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知， ，
所以与 的长度相等、方向相反的向量有 ， ， ， ，共4个.
（3）由（2）知， ，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个.
12．已知 ， ， ，设 .
(1)求满足 的实数 ， 的值；
(2)若线段 靠近点 的三等分点为 ，求 点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算与表示，求得 ，结合 ，列出方
程组，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，设 ，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，可得 ，解得 .
（2）因为线段 的三等分点为 （点 靠近点 ）
所以 ，
设 即
所以， ，解得: ，
即 点的坐标为 ，
1．已知向量 不共线， ， ， ，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】A
【分析】先求出 ，再根据 可判断A；利用向量共线定理，设 ，利用向量相等列方程
组求解 即可判断B；同样，设 ，求 判断C；求出 ，令 ，求解 来判断D．
【详解】对于A， ，
又 ，所以 ，则 与 共线，
又 与 有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确；
对于B，令 ，即 ，所以 ， 不存在，
所以 与 不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；
对于C，令 ，即 ，所以 ， 不存在，
所以 与 不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；
对于D， ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，即 ，所以 ， 不存在，
所以 与 不共线，即A，C，D三点不共线，D错误.
故选：A．
2．已知 为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 与 方向相同
B．若 ，则 与 方向相反
C．若 ，则 与 有相等的模
D．若 ，则 与 方向相同
【答案】C
【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.
【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量 同向时，有 ， ，故
A，D正确；只有当非零向量 反向时，有 ， ，故B正确，C错误．
故选：C．
3．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得 ，配凑变形并借助“1”的妙用计算作答.
【详解】因向量 ， ，由 ，得 ， ，即
， ， ，
因此
，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值 .
故答案为：
4．已知点 ，向量 ， ，点 是线段 的三等分点，则点 的坐标是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为 ， ，可得 ，
又因为点 是线段 的三等分点，则 或 ，
所以 或 ，
即 点的坐标为 或 .
故选：C.
5．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则点P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 ，判断 与
的角平分线所在向量的关系推出选项．
【详解】
, 分别表示向量 、 方向上的单位向量，
的方向与 的角平分线对应的 方向相同，
又 ， ，
在向量 上移动，
学科网（北京）股份有限公司点P的轨迹一定通过 的内心
故选：B.
1．如图所示， 为线段 外一点，若 中任意相邻两点间的距离相等，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得.
【详解】令线段 中点为 ，则有 ，
， ，
则
，
则 .
故选：D.
2．若 为 的垂心， ，则 ＝ ， ．
【答案】 /
【分析】依题意可得 ，设 为 的中点， 为 的中点，则 ，
即可得到三角形面积之比，从而得到 ， ，设 ， ，表示出 、 ，根
据 求出 ，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
设 为 的中点， 为 的中点，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 为 的中位线，且 ，所以 为 的中点，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ， ，
又 为 的垂心， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，则
所以 ，所以 ，
故答案为： ；
3．设向量 ,其中 .若 ,则 的最小值为 .
【答案】
【解析】根据向量关系建立等式，求出 ，即可求得 的最小值.
【详解】由题：向量 ,其中 ，
若 ,即
学科网（北京）股份有限公司，
所以
即 ，解得： ，
，
当 时， 取得最小值 .
故答案为：
【点睛】此题考查根据向量的线性关系求解参数的范围，熟练掌握基本运算，涉及转化与化归思想.
1．（上海·高考真题）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可.
【详解】如图，在平行四边形 中， 且 ，
A： ，故A正确；
B： ，故B正确；
C：由 ，得 ，故C错误；
D： ，故D正确.
故选：C
2．（安徽·高考真题）已知向量 ,且 ,则 的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算列出关于 的方程组求解即可.
【详解】因为 ,所以 .
所以 解得 .
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司3．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
【分析】由 ，求得 ，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以m=-4， ，
所以 =（-4，-8），
故选：D
4．（全国·高考真题）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
【答案】
【详解】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
考点：向量共线．
5．（山东·高考真题）已知向量 与 且 则一定共线的三点是
（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 ,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以 ，
所以 ，又 是 与 的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为 ，
所以 ,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
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