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作业 06 平面向量基本定理
及爪子定理、等和线（系数和）的应用
1.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
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对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
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其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
（1）．基底e ，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2.形如 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
A
（1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得
。则 三点共线
B D C
当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间
当 ，则 与 位于 两侧
时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长线
A
上
（2）已知 在线段 上，且 ，则
B m D n C
3.等和线（系数和）
如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知：
存在 ，使得
学科网（北京）股份有限公司下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值
①若 时，则射线 与 无交点，由 知，存在实数 ，使得
而 ，所以 ，于是
②若 时，
（i）如图1，当 在 右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则
，不妨设 与 的相似比为
由 三点共线可知：存在 使得：
所以
（ii）当 在 左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1作 关于 的对称点 ，由
（i）的分析知：存在存在 使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 作 边的垂线 ，
设点 在 上的射影为 ，直线 交直线 于点 ，则 ( 的符号由点 的位置确定)，因
此只需求出 的范围便知 的范围
一、单选题
1．设D为 ABC所在平面内一点 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量等式判断点 在线段 的延长线上，结合图形，将 用 和 线性表示即得.
【详解】
如图，由 可知，点 在线段 的延长线上,由图可得，
= .
故选:A．
2．在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 的三等分点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题可知， 点 在 上，
，
又 ，
，解得 .
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司3．如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，若
，则 的值（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，由 ，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
故选：B
4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等
于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，
若 ，则 =（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设 ，求得 的坐标，再由 列
式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设 ，则 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
则 ，化简得 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐
学科网（北京）股份有限公司标是解题的关键.
5．如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设 ，
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
【答案】C
【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.
【详解】由点 是 的重心， ， ，
故 ，
由 、 、 三点共线，故 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
故选：C.
二、多选题
6．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A， ，则 与 为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B， ，则 与 为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C， ，则 与 为共线向量，不能作为平面向量的基底；
学科网（北京）股份有限公司对于D，若存在实数 使得 ，则 ，无解，所以 与 不共线，可以作为
平面的基底，
故选：ABC
7．如图所示，在 中， ，AD与BC交于点M．过M点的直线 与两边OA、OB
分别交于点E，F，设 ，则（ ）
A． B．
C． 可能的取值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及推论计算判断ABC；利用数量积的定义计算判断D.
【详解】对于A，由AD与BC交于点M，得 ，而 ，令 ，
则 ，即有 ，而 ，
于是 ，由 共线，得 ，解得 ，
因此 ，A正确；
对于B，由 ， ，得 ，
而 共线，于是 ，即 ，B正确；
对于C，依题意， ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，而 ，因此 不能取 ，C错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D， ，显然 ，
当且仅当 时取等号，因此 的最小值为 ，D正确.
故选：ABD
8．如图，在四边形ABCD中， 为BC边上一点，且 为
AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题
【详解】由 ，
由向量加法的三角形法则得
，
又F为AE的中点，则 ，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误.
故选：ABD
三、填空题
9．在 中， 为BC上一点， 是AD的中点，若 ， ，则 .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用向量线性运算得 ，再由中点的向量表示列式求得 ，
从而得解.
【详解】因为 ，
所以
，
因为 是AD的中点，所以 ，所以 ， ，
解得 ，所以 .
故答案为： .
10．在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），
则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意，设 ，然后分 与 讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得到结
果.
【详解】
由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
1．在 中，过中线 的中点 作一条直线分别交 于 两点，若 ，
，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量的线性运算可得 ，则 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 是中线，所以 ，
又因为 是 的中点，所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，取到最小值，
故答案为： .
2．在平行四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别与射线
， 交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理，将 用 和 表示，再利用 ， ， 三点共线，求得 ，
再利用基本不等式求得最值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ， ， 共线，可设 ，
由 , , 三点共线，故可设 ，
则有 ，解得： ，
故 ，
由题意， ， ， 三点共线，
故可设 ，
则 ，整理得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值为 ；
故选：C
3．如图，在平行四边形 中，点 在 边上，点 在 边上，且 与
相交于点 ，若 ，则实数 .
【答案】 /
【分析】将 用 表示，然后利用 三点共线列方程求解即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 得 ，
因为 ，
则 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 .
故答案为： .
4．已知 ，如图，在 中，点 满足 在线段BC上且 ，
点 是AD与MN的交点， .
(1)分别用 来表示 和
(2)求 的最小值
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解.
（2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）由（1） ，
因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 三点共线，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
5．如图， 中， ，点E在线段AC上，AD与BE交于点F， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得 ，进而可得 ，判断A；设 ，利用 ， ，
共线可求 ，进而可判断B；根据 ，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断
C．
【详解】对于A：根据 ，
故 ，故A正确；
对于B：设 ，则
，又 ，
， ， 三点共线， ，
学科网（北京）股份有限公司且 ， ，故 ，故B错误；
对于D：由于 ，故 ，
，故D正确；
对于C ，
，
，
，故C正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
1．已知 为 的内心， ，且满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】延长 交 于D，将 取值问题转换为 的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心
的几何性质求解即可.
【详解】设 内切圆半径为r，延长 交 于D，则 ，即 ，
由 三点共线，得 ，
，
， .
当 ，即 ，亦即 时等号成立，故 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2．在 中， ，若点 为 的垂心，且满足 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可.
【详解】由题意可知 是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示： ， ，则 ，
设 ，
则 ，
，
所以 ，
在直角三角形 中， .
故选：B
【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关
系确定一腰上垂足的位置解三角形即可.
学科网（北京）股份有限公司3．如图，在 中，点 满足 是线段 的中点，过点 的直线与边 分别交于点
.
(1)若 ，求 和 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基底法，用 表示出 ，即可求解.
(2)先根据已知条件，得到 ， ，再根据 ，即可得
，再根据 三点共线，得 ，再由基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
又 是线段 的中点，所以 ，
又 ，且 不共线，
所以 .
（2）因为 ，
，
由（1）可知， ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ，即
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
2．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
3．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足 ，若 ，则x＝
学科网（北京）股份有限公司，y＝ .
【答案】
【详解】特殊化，不妨设 ，利用坐标法，以A为原点，AB为 轴， 为 轴，
建立直角坐标系， ， ，则
， .
考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
4．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
CD交于点F，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
= ，选B.
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
5．（江苏·高考真题）设 、 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若
（ 为实数），则 的值是
【答案】
【详解】依题意， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，∴ ， ，故 .
【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.
学科网（北京）股份有限公司
