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绝密★启用前
2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
第Ⅰ卷 （共110分）
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对
得
4分，否则一律得零分
王新奎新疆屯敞
1．函数 的最小正周期T= .
2．若 .
3．在等差数列 中，a=3, a=－2,则a+a+…+a=
5 6 4 5 10
王新奎新疆屯敞
4．在极坐标系中，定点A 点B在直线 上运动，当线段AB最短
时，点B的极坐标是
王新奎新疆屯敞
5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC
所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且 = .
7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）
8．若首项为a，公比为q的等比数列 的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项
1
a，公比q的一组取值可以是（a，q）= .
1 1
9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选
出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表
示）
10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1）
11．已知点 其中n的为正整数.设S 表示△ABC外接圆的
n
面积，则 = .
第1页 | 共11页12．给出问题：F 、F 是双曲线 =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F 的距
1 2 1
离等于9，求点P到焦点F 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
2
||PF|－|PF||=8，即|9－|PF||=8，得|PF|=1或17.
1 2 2 2
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正
确的结果填在下面空格内.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一
律得零分.
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）
A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).
C． D． .
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
15．a、b 、c 、a、b 、c 均为非零实数，不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c>0的解集分
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
别为集合M和N，那么“ ”是“M=N”的 （ ）
A．充分非必要条件. B．必要非充分条件.
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件.
16．f( )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（ ）=af（ ）+b，则
下
列关于函数g（ ）的叙述正确的是 （ ）
A．若a<0,则函数g（ ）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－20,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：
f(x)=ax∈M；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
第7页 | 共11页第8页 | 共11页2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理工农医类）答案
一、（第1题至第12题）
1．π. 2． . 3．－49 . 4． . 5．arctg2. 6．[1,3].
7． 8． 的一组数）. 9．
10．2.6 . 11．4π 12．|PF|=17.
2
二、（第13题至第16题）
题 号 13 14 15 16
代 号 C D D B
三、（第17题至第22题）
17．[解]
故 的最大值为 最小值为 .
18．[解]连结BD，因为BB⊥平面ABCD，BD⊥BC，所以BC⊥BD.
1 1
在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD= .
又因为直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，所以
1
∠BDB=30°，于是BB= BD=2.
1 1
故平行六面体ABCD—ABCD 的体积为S ·BB= .
1 1 1 1 ABCD 1
19．[解]（1）
（2）归纳概括的结论为：
若数列 是首项为a，公比为q的等比数列，则
1
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为 .
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得 .因此
第9页 | 共11页隧道的拱宽约为33.3米.
（2）[解一]
由椭圆方程 ，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程 ，得 于是
得 以下同解一.
21．[解]（1）设 得
所以v－3>0,得v=8,故 ={6，8}.
（2）由 ={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 .
设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
（3）设P (x,y), Q (x,y) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
1 1 2 2
故当 时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能
第10页 | 共11页恒成立，所以f(x)=
（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组： 有解，消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T= ，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
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