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理科数学参考答案
1．C 2．A 3．D 4．B 5．B
6．B 7．C 8．D 9．D
10．B
【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
因为圆O是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，
所以 ，即内切圆的圆心为 ，半径为1，
可设 ，又 ，
∴ ， ，
∴ ，
故得到 ，
∴ ，
1
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
当 时等号成立，即 的最大值为2.
故选：B.
11．A
【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的
投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长
为 ，半焦距为 ，
由 ，得 ， ，
在 中， ，则 ，
，
由正弦定理得， ，解得 ，则 ，
所以该椭圆的离心率 .
故选：A
12．A
2
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 知函数 的图象关于直线 对称，
∵ ， 是R上的奇函数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周期为4，
考虑 的一个周期，例如 ，
由 在 上是减函数知 在 上是增函数，
在 上是减函数， 在 上是增函数，
对于奇函数 有 ， ，
故当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
方程 在 上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为 在 上是单调函数，
则由于 ，故方程 在 上有唯一实数，
在 和 上 ，
则方程 在 和 上没有实数根，
3
学科网（北京）股份有限公司从而方程 在一个周期内有且仅有两个实数根，
当 ，方程 的两实数根之和为 ，
当 ，方程 的所有6个实数根之和为
.
故选：A.
13．15
14．
15．
16．①③④
【详解】对于②，设 ，若 平面PAC， 平面PAC，所以
.
因为菱形ABCD的边长为2， ，所以 是等边三角形，
所以 ,即 .
因为 , 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又 ，所以 ,故②错误.
对于④，由②可得当 时， 平面 ,
4
学科网（北京）股份有限公司设 为三棱锥 的外接球球心， 为等边 的重心，过 作 ,垂足为
，
因为 ，所以 , ,
所以三棱锥 的外接球半径为 ,
所以三棱锥 的外接球体积为 ，故④正确.
对于①，设 在 的投影为 ，因为 ，所以 在 所在的直线上.
又 ，所以 ，解得 .
因为二面角 可能为锐角或钝角，
（i）当二面角 为钝角时，
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学科网（北京）股份有限公司所以 , ，
所以 .
（ii）当二面角 为锐角时，
因为 , ，
所以在 中，由余弦定理可得 ,
即 ，即 ,解得 .
所以 是 的中点，所以 ,
所以 .
综上， 或3，故①正确.
对于③，若M，N分别为AC，PD的中点，由中位线定理可得 ,
6
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ，故③正确.
故答案为:①③④.
17【详解】（1）如下表所示：
甲设备 乙设备 合计
合格品 70 90 160
不合格
30 10 40
品
合计 100 100 200
（2）因为 ，
所以有 的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择
有关．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，故
7
学科网（北京）股份有限公司因为 ， .
（2）设 ，则 ，
在 中，有 .
在 中，有 .
又 ，所以 ，
所以有 .又 ，所以 .
在 中，由余弦定理可得 .
又 ， ， ，
所以有 .
联立 ，解得 ，所以 ，
所以 .
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设BD与OC相交于点 ，
因为 为正三角形，所以 ，
又 为AB的中点，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为平面 平面ABS， 平面ABS，平面 平面 ， ，
所以 平面ABCD，
又 平面 ，则 ．
因为四边形ABCD为矩形， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，所以 ，
又 ，则 ，即 ，所以
，
又 ， ， 平面 ，所以 平面SOC，
又 平面BDS，所以平面 平面BDS．
（2）解：因为四边形ABCD为矩形，所以 ，
又平面 平面SAB，平面 平面 ， 平面ABCD，所以
平面SAB．
以 为坐标原点，过点 作平行于AD的直线为 轴，以OB和OS所在直线分别为 轴
和 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
设平面SCD的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ．
由（1）可知， 平面SOC，所以 是平面SOC的一个法向量．
因为 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
20．(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【详解】（1）设 ，其中 ，
由 ，得 ，化简得 ，
，即 ，
线段 中点纵坐标的值为 ；
（2）证明：设 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
直线 的方程为 ，化简可得 ，
在直线 上，解得 ，
同理，可得 ，
，
，
又直线 的方程为 ，即 ，
直线 恒过定点 ．
21．(1) ；
(2) .
【详解】（1）当 时， ,则 ，
所以 ，即在点 处的切线斜率为 .
而 ，所以切点坐标为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
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学科网（北京）股份有限公司.
（2）因为 ，
所以 ，即 ，即 .
令 ，则 .
，所以 在 上单调递增，
所以 恒成立，即 ，即 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
因为 恒成立，所以 ，解得 .
所以实数a的取值范围是 .
22．(1) 和
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 的参数方程为 （ 为参数），消去 可得，
，所以曲线 的直角坐标方程为 .
将 ， 代入得，曲线 的极坐标方程为
的极坐标方程为 ，联立可得 ，
又因为两个曲线都经过极点，
所以曲线 和曲线 的交点极坐标为 和 .
（2）当 时， ， ， .
显然当点P到直线MN的距离最大时， PMN的面积最大，
△
直线MN的方程为 ，圆心 到直线MN的距离为 ，
所以点P到直线MN的最大距离 ，
所以 .
23．（1） ；（2） ．
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，所以不等式 等价于
或 或 ，解得： ．
故不等式 的解集为 ．
［方法二］：【最优解】数形结合法
如图，当 时，不等式 即为 ．
由绝对值的几何意义可知， 表示x轴上的点到 对应的点的距离减去到1
对应点的距离．结合数轴可知，当 时， ，当 时，
．故不等式 的解集为 ．
（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论
当 时， 成立等价于当 时， 成立．
若 ，则当 时， ；
若 ，由 得， ，解得： ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
［方法二］：平方法
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式 成立，等价于 时， 成立，即
成立，整理得 ．
当 时，不等式不成立；
当 时， ，不等式解集为空集；
当 时，原不等式等价于 ，解得 ．
由 ，解得 ．故a的取值范围为 ．
［方法三］：【最优解】分离参数法
当 时，不等式 成立，等价于 时， 成立，
即 ，解得： ，而 ，所以 ．故a的取值范围为 ．
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