理科数学参考答案(1)_2023年11月_0211月合集_2024届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第三次教学质量检测（期中）

长安一中 2021 级高三第三次教学质量检测 数学（理科）答案 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A B C C A B D C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 4 1 13． 14． 15． 16． 5 2 1 三、解答题：本题共6小题，共70分 8 ． 解答应写出 [ 文2− 字 1 说 ,+ 明 ∞ 、 ) 证明过程或演算步骤． 1 2 2 17．【解析】（1）因为cosC  ，C0,，所以sinC  ． 3 3 因为ABC π ， 1 2 2 所以sinAsinBC sinBcosCcosBsinC  sinB cosB，…………2分 3 3 1 2 2 1 2 由题意 sinB cosB 2cosB，所以 sinB cosB， 3 3 3 3 所以tanB 2 ．……………………………………………………………………3分 6 3 （2）由（1）知tanB 2 ，所以sinB ，cosB ．…………………………4分 3 3 b c 6 5 15 由正弦定理得  ，所以b   …………………………6分 sinB sinC 3 2 2 2 3 6 又sinA 2cosB ， ……………………………………………………………8分 3 1 1 15 6 5 2 所以S  bcsinA   5  ．………………………………………10分 2 2 2 3 4 理科数学参考答案 第1页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}18.【解析】【详解】（1）连接AE,DE，因为E为BC中点，DBDC，所以DEBC①， 因为DADBDC，ADBADC 60，所以ACD与△ABD均为等边三角形， AC  AB，从而AEBC②，由①②，AEDE E，AE,DE平面ADE， 所以，BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA． （2）不妨设DADBDC2，BDCD，BC 2 2,DE  AE  2． AE2 DE2 4  AD2，AE DE，又AE BC,DEBC E，DE,BC平面 BCDAE 平面BCD． 以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设D( 2,0,0),A(0,0, 2),B(0, 2,0),E(0,0,0) ，   设平面DAB与平面ABF 的一个法向量分别为n x,y,z ,n x ,y ,z ， 1 1 1 1 2 2 2 2    二面角DABF 平面角为,而AB 0, 2, 2 ，          因为EF DA  2,0, 2 ，所以F  2,0, 2 ，即有AF   2,0,0 ，   2x  2z 0   1 1 ，取x 1，所以n (1,1,1)；  2y  2z 0 1 1 1 1   2y  2z 0   2 2 ，取y 1，所以n (0,1,1)，  2x 0 2 2 2   n n 所以， cos  1  2  2  6 ，从而sin 1 6  3 ． n n 3 2 3 9 3 1 2 理科数学参考答案 第2页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}3 所以二面角DABF 的正弦值为 ． 3 19．【解析】参考答案： 1 1 （1）解：X的取值可能为1，2，3，所以P(X 1)( )2 ; C1 4 2  1  1 1  1  1  2 P(X 2)1( )2 ( )2  ；P(X 3)1( )2 1( )2  ，  C1  C1 12  C1  C1  3 2 3 2 3 所以X的分布列为： X 1 2 3 1 1 2 P 4 12 3 1 1 2 3224 29 所以数学期望为：E(X)1 2 3   ； 4 12 3 12 12 1 5 （2）解：令x  ，则yˆ b ˆ xaˆ，由题知：x y 315,y 90，所以 i t i i i i1 5 x y 5xy i i 31550.4690 108 b ˆ i1   270， 5 1.4650.212 0.4 x25x2 i i1 所以aˆ902700.4634.2，yˆ 270x34.2， 270 故所求的回归方程为：yˆ  34.2， t 所以估计t6时，y11；估计t7时，y4，估计t8时，y0； 预测成功的人的总人数为450114465. a2＝b2＋c2， a＝2， 1 9 20．【解析】解：（1）由题意可知 ＋ ＝1，解得 b＝ 3， a2 4b2 c＝1， bc＝ 3， x2 y2 椭圆E的方程为 ＋ ＝1.(4分) 4 3 ∴（2）易知直线AB的斜率不为0.由(1)得F(1，0)，故可设直线AB的方程为x＝ty＋1， 2 理科数学参考答案 第3页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}x＝ty＋1， 联立 消去x并整理，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，(6分) 3x2＋4y2＝12， －6t －9 显然Δ>0恒成立， y＋y＝ ，yy＝ .(7分) 1 2 3t2＋4 1 2 3t2＋4 ∴ －6t 2 －9 12 t2＋1 |y－y|＝ （y＋y）2－4yy＝ 3t2＋4 －4× ＝ ，(8分) 1 2 1 2 1 2 3t2＋4 3t2＋4 ∴ 1 6 t2＋1 S ＝S ＋S ＝ ×|OF|×|y－y|＝ ， OAB OF2A OF2B 2 2 1 2 3t2＋4 △ △ △ ∴ 24 t2＋1 椭圆E的内接平行四边形ABCD的面积S＝4S ＝ .(9分) OAB 3t2＋4 △ ∴ 24 24m 令m＝ 1＋t2≥1，则S＝ ＝ .(10分) 3m2＋1 1 3m＋ m 1 设f(m)＝3m＋ ，易知在[1，＋∞)上单调递增，∴f(m)∈[4，＋∞) m S∈(0，6]，故平行四边形的面积取值范围是(0，6].(12分) ∴ xex,x„0  21.【解析】【解答】（1）解：数g(x) 1 ， x3 2x2  x,x0  2 (x1)ex,x„0  g(x) 1 ， 3x2 4x ,x0  2 4 10 令g(x)0，可得x1或x ， ------------------------------------------2分 6 4 10 4 10 当x1或0 x 或x 时，g(x)0， 6 6 4 10 4 10 当1x„0或  x 时，g(x)0， 6 6 4 10 4 10 所以g(x)的单调减区间为(,1)和(0, )和( ,)，单调增区间为(1,0)和 6 6 理科数学参考答案 第4页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}4 10 4 10 ( , )．---------------------------------------------------------------------------------------5分 6 6 ex,x„0 （2）证明： f(x) ， 2x2,x0 假设存在直线以A(x ， f(x ))，B(x ， f(x ))为切点， 1 1 2 2 不妨设x x ，则x„0，x 0， 1 2 1 2 以A(x ， f(x ))为切点的切线方程为：yex1xex1(1x )， 1 1 1 1 以B(x ， f(x ))为切点的切线方程为： y(22x )xx2  ，--------------------------------8 2 2 2 2 2 分 ex1 22x  2 所以 1 ， ex1(1x )x 2  1 2 2 令tex1 ，则t(0，1]，t2 8t4tlnt20，----------------------------------------------------10 分 令(t)t2 8t4tlnt2，t(0，1]，(t)2t44lnt 在(0，1]上递增， (t)„（1）20，所以(t)在(0，1]上递减， （1）50，(e3)0， 故存在唯一的t满足t2 8t4tlnt20，即存在恰有2个切点的曲线 y f(x)的切线． ------------------------------------------------------------------------12分 请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．【解析】 【答案】（1）C的普通方程为 y2 6x2,y 0，l的直角坐标方程为 3x y2m0； 理科数学参考答案 第5页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#} 3 3 （2）m  m   6 12  【解析】 【分析】（1）利用消参即可得到曲线C的普通方程，利用 y sin,xcos将直线l的 极坐标方程化为直角坐标方程；  2 3 y 3  3 （2）将曲线C代入直线l可得 2m ,y0 ，通过二次函数的性质即 6 可求得2m的取值范围，即可求解 【小问1详解】  2t x 2 y2 由曲线C的参数方程为 6 （t为参数）可得曲线C的普通方程x ，即  6 y  t y2 6x2,y 0， 因为直线l的极坐标方程为   1 3  1 3 sin   m  sin cos  m sin cosm0 ，  3 2 2  2 2 且 y sin,xcos， 1 3 所以直线l的直角坐标方程为 y xm 0即 3x y2m0 2 2 【小问2详解】 2 y2 将曲线C代入直线l，消x可得 3  y2m0，整理得 6  2 3y2 6y2 3 3 y 3  3 ， 2m  ,y0 6 6 理科数学参考答案 第6页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#} 2 3 y 3  3 所以当0 y 3时，函数 t  单调递减，当 y  3时，函数 6  2 3 y 3  3 单调递增， t  6  2 3  3  3 3 且当y0时， t   3 ，当 y  3时，t min  6 ， 6 3 3 3 3 3 故要使l与C有两个不同的交点，只需 2m ，即  m ， 6 3 6 12  3 3 故实数m的取值范围m  m   6 12  【选修4-5：不等式选讲】 9 23.【答案】（1）4； （2） 4 【解析】 【分析】（1）先整理 f  x  ，再利用题意中的对称求出m4，然后用三角不等式求出最小 值即可； （2）由（1）可得ab4，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解 【小问1详解】 f  x 2 x  2xm  2x  2xm ， m 令 2x 0，解得x0；令 2xm 0，解得x  ， 2 因为函数 f  x  的图象关于直线x1对称， m 所以0 21，解得m4， 2 所以 f  x  2x  2x4  2x 2x4  4，当且仅当2x 2x4 0时，取等号， 理科数学参考答案 第7页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}  故 f x 的最小值为4； 【小问2详解】 1 由（1）可得ab4，即  ab 1， 4 1 4 11 4 1 b 4a  1 b 4a  9 所以       ab     5    2   5   ， a b 4a b  4a b  4  a b  4 b 4a 4 8 当且仅当  即a  ,b 时，取等号， a b 3 3 1 4 9 故  的最小值为 . a b 4 理科数学参考答案 第8页 {#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}