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合肥市普通高中六校联盟 2024-2025 学年第一学期期中联考
高三年级数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥三中 命题教师：蔡开根 审题教师：孟凡慧
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ： ， ： ，若 是 必的要不充分条件，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. [2,+∞) C. D. (−∞,1]
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，则当 时有（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 若函数 的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 与 的图象如图所示，则函数 （ ）
A. 在区间 上是减函数 B. 在区间 上是减函数
C. 在区间 上是减函数 D. 在区间 上是减函数
8. 定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ，
，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数
是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂
在答题卡相应的位置上.
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A. B. 的图象关于直线 对称
C. D. 的一个周期为
10. 函数 满足 ，则正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
11. 已知 ，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 对任意 满足 ，则 ______.
13. 若函数 ，则使得 成立的 的取值范围是______.
14. 已知点A是函数 图象上的动点，点B是函数 图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂
足为M，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
的
（1）求 最小正周期和单调增区间；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若函数 在 存在零点，求实数a的取值范围．
16. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明：当 时， .
17. 在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角B的值；
（2）若 ，求 的周长的取值范围．
18. 已知函数 ， .
（1）若 ，求 的极值；
（2）设函数 在 处的切线方程为 ，若函数 是 上的单调增函
数，求 的值；
（3）函数 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出
的取值范围，若不存在则说明理由.
19. 在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点P(x,y)
变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 ， ，
， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ，
，…表示．
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学科网（北京）股份有限公司（1）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），
求点 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，将点P(x,y)绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐
标公式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一
个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
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