2003年上海高考数学试卷（文）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 第Ⅰ卷 （共110分） 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分   1．函数y sinxcos(x )cosxsin(x )的最小正周期T= . 4 4  2．若x  是方程2cos(x) 1的解,其中(0,2),则 3 3．在等差数列{a }中，a=3, a=－2,则a+a+…+a= n 5 6 4 5 10 4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标 是 5．在正四棱锥P— ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且xA  B}= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a，公比为q的等比数列{a }的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a， 1 n 1 公比q的一组取值可以是（a，q）= . 1 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出 两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 第1页 | 共12页.（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 2 2 2 11．已知点A(0, ),B(0, ),C(4 ,0),其中n为正整数.设S表示△ABC外接圆的面积， n n n n 则limS = . n n x2 y2 12．给出问题：F、F是双曲线  =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F的距离 1 2 1 16 20 等于9，求点P到焦点F的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 2 ||PF|－|PF||=8，即|9－|PF||=8，得|PF|=1或17. 1 2 2 2 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将 正确的结果填在下面空格内. . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论 ，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选 对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得 零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).  x C．y sin(x ). D．y |ctg |. 2 2 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β. 1 1 15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N( , )四点中，函数y  ax的图象与其反 2 4 函数的图象的公共点只可能是点 （ ） A．P． B．Q. C．M. D．N. 16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b， 第2页 | 共12页则下 列关于函数g（x）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称. B．若a=1， 00，即 f(x)在（0，1）内单调递减， 1 2 由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)在（－1，0）内单调递减. x2 y2 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为  1. a2 b2 44 7 88 7 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a  ,此时l  2a  33.3.因此隧 7 7 道的拱宽约为33.3米. x2 y2 112 4.52 （2）由椭圆方程  1，得  1. a2 b2 a2 b2 112 4.52 2114.5 因为   即ab 99,且l  2a,h b, a2 b2 ab  ab 99 所以S  lh   . 4 2 2 112 4.52 1 9 2 当S取最小值时,有   ,得a 11 2,b  a2 b2 2 2 此时l  2a  22 2 31.1,h b 6.4 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. x2 y2 112 4.52 81 a2 [解二]由椭圆方程  1，得  1. 于是b2   , a2 b2 a2 b2 4 a2 121 81 1212 81 a2b2  (a2 121 242) (2 1212 242) 81121, 4 a2 121 4 1212 即ab 99,当S取最小值时,有a2 121 , a2 121 9 2 得a 11 2,b  .以下同解一. 2 第10页 | 共12页  | AB | 2|OA| u2  v2 100 AB {u,v},则由  ,即  21．[解]（1）设 得 | AB ||OA| 0  4u 3v  0,  u 6 u  6  ,或  .因为OB OA AB {u4,v3}, v 8 v  8 所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}. 1 （2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y  x. 2 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 10 . 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 x3 y1 2 0   2 2 x 1  ,得  ,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10  y1 y 3  2  x3 （3）设P (x,y), Q (x,y) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 1 1 2 2 x  x y  y  2 1 2 2 1 2 0 x  x     2 2   1 2 a  ,得  , y  y 52a  1 2  2  x x    x x   1 2 2a2 1 2 2 52a 即x ,x 为方程x2  x 0的两个相异实根, 1 2 a 2a2 4 52a 3 于是由  4 0,得a  . a2 2a2 2 3 故当a  时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点. 2 22．[解]（1） a C0 a C1 a C2  a 2a qa q2  a (1q)2, 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1 a C0 a C1 a C2 a C3  a 3a q3a q2 a q3  a (1q)3. 1 3 2 3 3 3 4 3 1 1 1 1 1 （2）归纳概括的结论为： 若数列{a }是首项为a，公比为q的等比数列，则 n 1 第11页 | 共12页a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn  a (1q)n,n为正整数. 1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n 1 证明:a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn 1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n  a C0 a qC1 a q2C2 a q3C3  (1)na qnCn 1 n 1 n 1 n 1 n  1 n  a [C0 qC1 q2C2 q3C3  (1)nqnCn] a (1q)n 1 n n n n  n 1 a a qn （3）因为S  1 1 , n 1q 所以S C0 S C1 S C2 S C3  (1)nS Cn 1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n a a q a a q2 a a q3 a a qn1  1 1 C0  1 1 C1  1 1 C2  (1)n 1 1 Cn 1q n 1q n 1q n  1q n a  1 [C0 C1 C2 C3  (1)nCn] 1q n n n n  n a q a q 1 [C0 qC1 q2C2 q3C3  (1)nqnCn] 1 (1q)n. 1q n n n n  n q1 第12页 | 共12页