2003年上海高考数学试卷（文）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
第Ⅰ卷 （共110分）
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4分，否则一律得零分
 
1．函数y sinxcos(x )cosxsin(x )的最小正周期T= .
4 4

2．若x  是方程2cos(x) 1的解,其中(0,2),则
3
3．在等差数列{a }中，a=3, a=－2,则a+a+…+a=
n 5 6 4 5 10
4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标
是
5．在正四棱锥P—
ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于
.（结果用反三角函数值表示）
6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且xA

B}= .
7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=
.（结果用反三角函数值表示）
8．若首项为a，公比为q的等比数列{a }的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a，
1 n 1
公比q的一组取值可以是（a，q）= .
1
9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出
两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
第1页 | 共12页.（结果用分数表示）
10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1）
2 2 2
11．已知点A(0, ),B(0, ),C(4 ,0),其中n为正整数.设S表示△ABC外接圆的面积，
n
n n n
则limS = .
n
n
x2 y2
12．给出问题：F、F是双曲线  =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F的距离
1 2 1
16 20
等于9，求点P到焦点F的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
2
||PF|－|PF||=8，即|9－|PF||=8，得|PF|=1或17.
1 2 2 2
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将
正确的结果填在下面空格内.
.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论
，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选
对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得
零分.
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （
）
A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).
 x
C．y sin(x ). D．y |ctg |.
2 2
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （
）
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
1 1
15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N( , )四点中，函数y  ax的图象与其反
2 4
函数的图象的公共点只可能是点 （
）
A．P． B．Q. C．M. D．N.
16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，
第2页 | 共12页则下
列关于函数g（x）的叙述正确的是 （
）
A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称.
B．若a=1， 0<b<2,则方程g（x）=0有大于2的实根.
C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称
D．若 a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12分）
已知复数z=cosθ－i，z=sinθ+i，求| z·z|的最大值和最小值.
1 2 1 2
第3页 | 共12页18．（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD—
ABCD中，AA⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若BD⊥BC，直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，
1 1 1 1 1 1 1
求平行六面体ABCD—ABCD的体积.
1 1 1 1
第4页 | 共12页19．（本题满分14分）
1 1 x
已知函数 f(x)  log ，求函数 f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
x 21x
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
第5页 | 共12页如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5
千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽
l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计
拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公

式为S  lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
4
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满
分7分.
在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，
且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量AB的坐标；
第6页 | 共12页（2）求圆x2 6x y2 2y 0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y  ax2 1上总有关于直线OB对称的两个点？若
不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满
分6分.
已知数列{a }（n为正整数）是首项是a，公比为q的等比数列.
n 1
（1）求和：a C0 a C1 a C2,a C0 a C1 a C2 a C3;
1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 4 3
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
（3）设q≠1，S是等比数列{a }的前n项和，求：
n n
第7页 | 共12页S C0 S C1 S C2 S C3  (1)nS Cn
1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n
第8页 | 共12页2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文史类）答案
一、（第1题至第12题）
4 1 1
1．π. 2． . 3．－49 . 4．( , ). 5．arctg2. 6．[1,3].
3 2 2
11 1 119
7．arccos . 8．(1, )(a 0,0 q 1的一组数）. 9．
6 2 1 190
10．2.6 . 11．4π 12．|PF|=17.
2
二、（第13题至第16题）
题 号 13 14 15 16
代 号 C D D B
三、（第17题至第22题）
17．[解]
| z z ||1sincos(cossin)i|
1 2
 (1sincos)2 (cossin)2
1
 2sin2cos2 2 sin2 2.
4
3
故| z z |的最大值为 ,最小值为 2 .
1 2 2
18．[解]连结BD，因为BB⊥平面ABCD，BD⊥BC，所以BC⊥BD.
1 1
在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.
又因为直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，所以
1
1
∠BDB=30°，于是BB= BD=2.
1 1 3 [
故平行六面体ABCD—A BCD的体积为S ·BB=
1 1 1 1 ABCD 1
8 3.
x  0
 1 x
19．[解]x须满足1 x ,由 0得1 x 1,
0 1x

1x
所以函数 f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数 f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
1 1x 1 1 x
f(x)   log  ( log )  f(x)，所以 f(x)是奇函数.
x 21 x x 21x
研究 f(x)在（0，1）内的单调性，任取x、x∈（0，1），且设x<x ，则
1 2 1 2
第9页 | 共12页1 1 x 1 1 x
f(x ) f(x )  log 1  log 2
1 2 x 21x x 21x
1 1 2 2
1 1 2 2
(  )[log ( 1)log ( 1)],
x x 2 1x 2 1x
1 2 2 1
1 1 2 2
由  0,log ( 1)log ( 1) 0,
x x 2 1x 2 1x
1 2 2 1
得 f(x ) f(x )>0，即 f(x)在（0，1）内单调递减，
1 2
由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)在（－1，0）内单调递减.
x2 y2
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为  1.
a2 b2
44 7 88 7
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a  ,此时l  2a  33.3.因此隧
7 7
道的拱宽约为33.3米.
x2 y2 112 4.52
（2）由椭圆方程  1，得  1.
a2 b2 a2 b2
112 4.52 2114.5
因为   即ab 99,且l  2a,h b,
a2 b2 ab
 ab 99
所以S  lh   .
4 2 2
112 4.52 1 9 2
当S取最小值时,有   ,得a 11 2,b 
a2 b2 2 2
此时l  2a  22 2 31.1,h b 6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
x2 y2 112 4.52 81 a2
[解二]由椭圆方程  1，得  1. 于是b2   ,
a2 b2 a2 b2 4 a2 121
81 1212 81
a2b2  (a2 121 242) (2 1212 242) 81121,
4 a2 121 4
1212
即ab 99,当S取最小值时,有a2 121 ,
a2 121
9 2
得a 11 2,b  .以下同解一.
2
第10页 | 共12页  | AB | 2|OA| u2  v2 100
AB {u,v},则由  ,即 
21．[解]（1）设 得
| AB ||OA| 0  4u 3v  0,

u 6 u  6
 ,或  .因为OB OA AB {u4,v3},
v 8 v  8
所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.
1
（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y  x.
2
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,
得圆心（3，－1），半径为 10 .
设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
x3 y1
2 0
  2 2 x 1
 ,得  ,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10

y1 y 3
 2

x3
（3）设P (x,y), Q (x,y) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
1 1 2 2
x  x y  y  2
1 2 2 1 2 0 x  x  
  2 2   1 2 a
 ,得  ,
y  y 52a
 1 2  2  x x 
  x x   1 2 2a2
1 2
2 52a
即x ,x 为方程x2  x 0的两个相异实根,
1 2 a 2a2
4 52a 3
于是由  4 0,得a  .
a2 2a2 2
3
故当a  时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
2
22．[解]（1）
a C0 a C1 a C2  a 2a qa q2  a (1q)2,
1 2 2 2 3 2 1 1 1 1
a C0 a C1 a C2 a C3  a 3a q3a q2 a q3  a (1q)3.
1 3 2 3 3 3 4 3 1 1 1 1 1
（2）归纳概括的结论为：
若数列{a }是首项为a，公比为q的等比数列，则
n 1
第11页 | 共12页a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn  a (1q)n,n为正整数.
1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n 1
证明:a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn
1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n
 a C0 a qC1 a q2C2 a q3C3  (1)na qnCn
1 n 1 n 1 n 1 n  1 n
 a [C0 qC1 q2C2 q3C3  (1)nqnCn] a (1q)n
1 n n n n  n 1
a a qn
（3）因为S  1 1 ,
n 1q
所以S C0 S C1 S C2 S C3  (1)nS Cn
1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n
a a q a a q2 a a q3 a a qn1
 1 1 C0  1 1 C1  1 1 C2  (1)n 1 1 Cn
1q n 1q n 1q n  1q n
a
 1 [C0 C1 C2 C3  (1)nCn]
1q n n n n  n
a q a q
1 [C0 qC1 q2C2 q3C3  (1)nqnCn] 1 (1q)n.
1q n n n n  n q1
第12页 | 共12页