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合肥市普通高中六校联盟 2024-2025 学年第一学期期中联考
高三年级数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥三中 命题教师：蔡开根 审题教师：孟凡慧
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ： ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. [2,+∞) C. D. (−∞,1]
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式确定集合 ，然后由必要不充分条件得 是 的真子集可得结论．
【详解】∵ 且 或 ， ，又 是 的必要不
充分条件，∴ ，∴ ，
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：
命题 对应集合 ，命题 对应的集合 ，则
（1） 是 的充分条件 ；
（2） 是 的必要条件 ；
（3） 是 的充分必要条件 ；
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学科网（北京）股份有限公司（4） 是 的既不充分又不必要条件 集合 之间没有包含关系．
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合 ；根据三角函数的性质可得集合
，结合交集的运算可得答案.
【详解】由题意 且 ，故 ，解得 ，故 ；
由 得 ，故 ；
综上 .
故选：D.
3. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化对数式为指数式判断 ，判断 ，化指数式为对数式判断 ，则答案可求.
【详解】由 ，得 ；
由 ，得 ；
由 ，得 .
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学科网（北京）股份有限公司∴ .
故选：C.
【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值 和函数单调性进行大小比较，是
基础题.
4. 已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，则当 时有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，设 ，则 ， ，再变形可得函数解析式.
【详解】解：设 ，则 ，
因为当 时，
又函数 是 上的奇函数
故当 时有
故选：
【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得 ，进而得 ，从而结合二倍角
正弦公式即可计算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以由 得 ，
所以 .
故选：A.
6. 若函数 的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知， 在R上恒成立，分 、 两种情况讨论，在 时，直接
验证即可；在 时，可得出 ，综合可解得实数 的取值范围.
【详解】由题意，函数 的定义域为R，
等价于 在R上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 在R上恒成立，满足条件；
若 ，则 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 ，
故选：A．
7. 已知函数 与 的图象如图所示，则函数 （ ）
A. 在区间 上是减函数 B. 在区间 上是减函数
C. 在区间 上是减函数 D. 在区间 上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数 的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．
【详解】因为 ，
由图象知， 时， ，又 ，所以当 时， ，
即 在 上单调递减，
当 时， ，又 ，所以当 时， ，
即 在 上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
8. 定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ，
，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数
是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】 ，
∵函数 是区间 上的双中值函数，
∴区间 上存在 ，
满足
∴方程 在区间 有两个不相等的解，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
则 ，
解得
∴实数 的取值范围是 .
故选:A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂
在答题卡相应的位置上.
9. 已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A. B. 的图象关于直线 对称
C. D. 的一个周期为
【答案】AD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由奇函数可得 ，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数 为奇函数，则 ，A选项正确；
又 ，即 ，则函数 关于直线 对称，B选项错误；
由 可知 ，
即 ，函数 的一个周期为 ，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
10. 函数 满足 ，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数 ，利用导数探讨单调，再比较大小即得.
【详解】依题意，令函数 ，求导得 ，函数 在R上递减，
对于A， ， ，则 ，A正确；
对于B， ， ，则 ，B错误；
对于C， ， ，则 ，C正确；
对于D， ， ，则 ，D错误.
故选：AC
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学科网（北京）股份有限公司11. 已知 ，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断 A；结合对数运算，利用基本不等式可判断 B；将
化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令 ，
得到 ，根据“1”的巧用，将 变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于 ，故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，
即 的最小值为 ，A正确；
对于B，由于 ， ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即 的最大值为 ，B正确；
对于C，又 ，得 ，
故
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，而 对称轴为 ，
则 在 上单调递减，在 上无最值，C错误；
对于D，令 ，则 ，
故 ，
由于 ，故 ，
，
则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，
所以 ，
即 的最小值为 ，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要
通过变量代换，令 ，得到 ，根据“1”的巧用，将 变形后，利
用基本不等式，即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 对任意 满足 ，则 ______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】采用方程组法消去 ，得出 的解析式即可.
【详解】因为 ，以 代替 得：
，
得： .
故答案为： .
13. 若函数 ，则使得 成立的 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题知函数为偶函数且在 单调递增，由此抽象出不等式，解出即可
【详解】由函数的定义域为 ,
所以函数 为偶函数
当 时， 与 为单调递增函数
所以 在 单调递增
所以
所以
解得：
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知点A是函数 图象上的动点，点B是函数 图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂
足为M，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为 到 上一点 的最小距离即可，根据点点距
离公式，得 ，利用导数求解最小值即可.
【详解】由于 是焦点在 轴上的抛物线，故设其焦点为 ，
则 ,所以 ,
故求 到 上一点 的最小距离即可，
设 ，则 ，
记 ，则
由于函数 在(0,+∞)单调递增，且 ，
故当x∈(0,1)时 ，因此 在(0,1)单调递减，
当x∈(1,+∞)时 ，因此 在(1,+∞)单调递增，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，故 ，
故答案 ：为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数 在 存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意转化为方程 在 上有解，以 为整体，结合正弦函数图
象运算求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司对于函数
，
所以函数 的最小正周期为 ，
令 ，则 ，
∴函数 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
令 ，即 ，则 ，
∵ 在 存在零点，则方程 在 上有解，
若 时，则 ，可得 ，
∴ ，得
故实数 的取值范围是 ．
16. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明：当 时， .
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）构造函数 ，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得 ，从而
得证.
【小问1详解】
因为 的定义域为 ，
所以 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
当 时， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】结论点睛：恒成立问题：
（1） 恒成立 ； 恒成立 ．
（2） 恒成立 ； 恒成立 ．
（3） 恒成立 ； 恒成立 ；
（4） ， ， ．
17. 在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角B的值；
（2）若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理求出 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司求出 ，得到 ， ，从而求出周长的取值范围.
【小问1详解】
，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ；
【小问2详解】
锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ，
则
，
因为锐角 中， ，
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
故 ， ，
则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
18. 已知函数 ， .
（1）若 ，求 的极值；
（2）设函数 在 处的切线方程为 ，若函数 是 上的单调增函
数，求 的值；
（3）函数 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出
的取值范围，若不存在则说明理由.
【答案】（1） 的极大值为 ，极小值为
（2）
在
（3）不存 ，理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
的
【分析】（1）令 ，列极值表，即可求得 极值；
（2）求出切线方程，设 ，转化为 在 恒成立，再由基本不等式成立
可得答案；
（3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为 ， ，分别代入切线方程和
整理得 ，设 ，转化为 ，设 ，由导数
判断出单调性可得答案.
【小问1详解】
当 时， ，
则 ，
令 ，解得：x=1或x=2，列表如下：
极大 极小
单调递增 单调递减 单调递增
值 值
由表可知，当x=1时， 的极大值为 ，
当x=2时， 的极小值为 ；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 处切线方程为 ，
整理得： ，
设 ，则：
，
由题意可知，
恒成立.
在
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以应有 ，
而 ， ，所以只有 即 时， ，
即 成立，
所以 .
【小问3详解】
由（2）可知，曲线y=f(x)在 处切线方程为：
，
假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则： ，
由①式可得： ，代入②式，则： ，
整理得： ，
设 ，则 ，设 ，
则 ，
所以 单调递减，
因为 ，所以 的解为 .
即 ，解得 ，
此时 ，
所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.
【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转
化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.
19. 在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点P(x,y)
变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 ， ，
， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ，
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学科网（北京）股份有限公司，…表示．
（1）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），
求点 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，将点P(x,y)绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应 的二阶矩阵；
（3）向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐
标公式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一
个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
【答案】（1）
（2） ，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点
的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点 的坐标，
再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据定义分别计算 、 、 ，证明 即可.
【小问1详解】
可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
故
所以 .
【小问2详解】
设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为
【小问3详解】
设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，
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学科网（北京）股份有限公司对应变换公式为： ，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以 得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角 的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与 轴
正半轴重合；在角 的终边上任取一点 ，该点到原点的距离 ，则： ；
； .
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学科网（北京）股份有限公司
