2003年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 第Ⅰ卷 （共110分） 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分   1．函数y sinxcos(x )cosxsin(x )的最小正周期T= . 4 4  2．若x  是方程2cos(x) 1的解,其中(0,2),则 . 3 3．在等差数列{a }中，a=3, a=－2,则a+a+…+a= n 5 6 4 5 10  4．在极坐标系中，定点A(1, ),点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短 2 时，点B的极坐标是 5．在正四棱锥P— ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且xA  B}= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a，公比为q的等比数列{a }的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a， 1 n 1 公比q的一组取值可以是（a，q）= . 1 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出 两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 2 2 2 11．已知点A(0, ),B(0, ),C(4 ,0),其中n的为正整数.设S表示△ABC外接圆的面积 n n n n ，则limS = . n n 第1页 | 共12页x2 y2 12．给出问题：F、F是双曲线  =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F的距离 1 2 1 16 20 等于9，求点P到焦点F的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 2 ||PF|－|PF||=8，即|9－|PF||=8，得|PF|=1或17. 1 2 2 2 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将 正确的结果填在下面空格内. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对 得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零 分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).  x C．y sin(x ). D．y |ctg |. 2 2 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β. 15．a、b、c、a、b、c均为非零实数，不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c>0的解集分别 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a b c 为集合M和N，那么“ 1  1  1 ”是“M=N”的 （ a b c 2 2 2 ） A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b， 则下 列关于函数g（x）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称. B．若a=－1，－20,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围. 第7页 | 共12页第8页 | 共12页2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题） 4 2 3 1．π. 2． . 3．－49 . 4．( , ). 5．arctg2. 6．[1,3]. 3 2 4 11 1 119 7．arccos . 8．(1, )(a 0,0 q 1的一组数）. 9． 6 2 1 190 10．2.6 . 11．4π 12．|PF|=17. 2 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解] | z z ||1sincos(cossin)i| 1 2  (1sincos)2 (cossin)2 1  2sin2cos2 2 sin2 2. 4 3 故| z z |的最大值为 ,最小值为 2 . 1 2 2 18．[解]连结BD，因为BB⊥平面ABCD，BD⊥BC，所以BC⊥BD. 1 1 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3. 又因为直线BD与平面ABCD所成的角等于30°，所以 1 1 ∠BDB=30°，于是BB= BD=2. 1 1 3 故平行六面体ABCD—ABCD的体积为S ·BB=8 3. 1 1 1 1 ABCD 1 19．[解]（1） a C0 a C1 a C2  a 2a qa q2  a (1q)2, 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1 a C0 a C1 a C2 a C3  a 3a q3a q2 a q3  a (1q)3. 1 3 2 3 3 3 4 3 1 1 1 1 1 （2）归纳概括的结论为： 若数列{a }是首项为a，公比为q的等比数列，则 n 1 a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn  a (1q)n,n为正整数. 1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n 1 证明:a C0 a C1 a C2 a C3  (1)na Cn 1 n 2 n 3 n 4 n  n1 n  a C0 a qC1 a q2C2 a q3C3  (1)na qnCn 1 n 1 n 1 n 1 n  1 n  a [C0 qC1 q2C2 q3C3  (1)nqnCn] a (1q)n 1 n n n n  n 1 第9页 | 共12页x2 y2 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为  1. a2 b2 44 7 88 7 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a  ,此时l  2a  33.3.因此隧 7 7 道的拱宽约为33.3米. （2）[解一] x2 y2 112 4.52 由椭圆方程  1，得  1. a2 b2 a2 b2 112 4.52 2114.5 因为   即ab 99,且l  2a,h b, a2 b2 ab  ab 99 所以S  lh   . 4 2 2 112 4.52 1 9 2 当S取最小值时,有   ,得a 11 2,b  a2 b2 2 2 此时l  2a  22 2 31.1,h b 6.4 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. x2 y2 112 4.52 81 a2 [解二]由椭圆方程  1，得  1. 于是b2   , a2 b2 a2 b2 4 a2 121 81 1212 81 a2b2  (a2 121 242) (2 1212 242) 81121, 4 a2 121 4 1212 即ab 99,当S取最小值时,有a2 121 , a2 121 9 2 得a 11 2,b  .以下同解一. 2   | AB | 2|OA| u2  v2 100 AB {u,v},则由  ,即  21．[解]（1）设 得 | AB ||OA| 0  4u 3v  0,  u 6 u  6  ,或  .因为OB OA AB {u4,v3}, v 8 v  8 所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}. 第10页 | 共12页1 （2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y  x. 2 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 10 . 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 x3 y1 2 0   2 2 x 1  ,得  ,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.  y1 y 3  2  x3 （3）设P (x,y), Q (x,y) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 1 1 2 2 x  x y  y  2 1 2 2 1 2 0 x  x     2 2   1 2 a  ,得  , y  y 52a  1 2  2  x x    x x   1 2 2a2 1 2 2 52a 即x ,x 为方程x2  x 0的两个相异实根, 1 2 a 2a2 4 52a 3 于是由  4 0,得a  . a2 2a2 2 3 故当a  时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点. 2 22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=xM. （2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， y  ax 所以方程组： 有解，消去y得ax=x, y  x 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 f(xT)  axT  aT ax T ax Tf(x) 故f(x)=ax∈M. （3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 第11页 | 共12页只有T=1，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z . 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立， 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z} 第12页 | 共12页