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作业 06 平面向量基本定理
及爪子定理、等和线（系数和）的应用
1.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
1 2
对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
（1）．基底e ，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2.形如 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
A
（1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得
。则 三点共线
B D C
当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间
当 ，则 与 位于 两侧
时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长线
A
上
（2）已知 在线段 上，且 ，则
B m D n C
3.等和线（系数和）
如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知：
存在 ，使得
下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值
学科网（北京）股份有限公司①若 时，则射线 与 无交点，由 知，存在实数 ，使得
而 ，所以 ，于是
②若 时，
（i）如图1，当 在 右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则
，不妨设 与 的相似比为
由 三点共线可知：存在 使得：
所以
（ii）当 在 左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1作 关于 的对称点 ，由
（i）的分析知：存在存在 使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 作 边的垂线 ，
设点 在 上的射影为 ，直线 交直线 于点 ，则 ( 的符号由点 的位置确定)，因
此只需求出 的范围便知 的范围
一、单选题
1．设D为 ABC所在平面内一点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 的三等分点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，若
，则 的值（ ）
A． B． C．2 D．
4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等
于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，
若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司5．如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设 ，
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
二、多选题
6．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在 中， ，AD与BC交于点M．过M点的直线 与两边OA、OB
分别交于点E，F，设 ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 可能的取值为 D． 的最小值为
8．如图，在四边形ABCD中， 为BC边上一点，且 为
AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．在 中， 为BC上一点， 是AD的中点，若 ， ，则 .
10．在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），
则 的取值范围是
1．在 中，过中线 的中点 作一条直线分别交 于 两点，若 ，
，则 的最小值为 .
2．在平行四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别与射线
， 交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中，点 在 边上，点 在 边上，且 与
相交于点 ，若 ，则实数 .
学科网（北京）股份有限公司4．已知 ，如图，在 中，点 满足 在线段BC上且 ，
点 是AD与MN的交点， .
(1)分别用 来表示 和
(2)求 的最小值
5．如图， 中， ，点E在线段AC上，AD与BE交于点F， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知 为 的内心， ，且满足 ，则 的最大值为 .
2．在 中， ，若点 为 的垂心，且满足 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，点 满足 是线段 的中点，过点 的直线与边 分别交于点
.
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求 和 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足 ，若 ，则x＝
，y＝ .
4．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
CD交于点F，若 ， ，则
A． B． C． D．
5．（江苏·高考真题）设 、 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若
（ 为实数），则 的值是
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