文档内容
2024-2025 学年度第一学期高二期中测试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条
形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，利用复数的运算得到 ，再结合条件，求得 ，即
可求解.
【详解】设 ，则 ，
又 ，得到 ，所以 ， ，所以 ， 或 ， ，得到 ，
所以 ，
故选：B．
2. 已知平面上的两个非零向量 ， 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助向量数量积公式计算可得 ，再利用向量夹角公式计算即可得.
【详解】由 ，故 ，
则 ，又 ，故 .
故选：B.
3. 函数 在区间 单调递减，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】 时，代入可知满足题意； 时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得
出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】当 时， 在 上单调递减，满足题意；
当 时， 的对称轴为直线 ，由 在 上单调递减，知 ，解得 ．
综上，a的取值范围为 ．
故选：D
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解.
【详解】
.
故选:D
的
5. 已知四棱锥 底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为 .若圆柱的一个底面的圆周经
过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为 ，则四棱锥
的底面的边长为（ ）
A. B. 6 C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】作出组合体的截面 ，确定圆柱的高，利用圆柱的体积求得圆柱底面的半径，进而得到底面
正方形的边长.【详解】
如图四棱锥 的底面四边形 为正方形，高 ，
作截面 （如下图）点 ，点 分别为 ， 的中点，点 为是正方形的中心也是圆柱底面圆的
圆心.
依题意可知 ，
所以
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
6. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 8【答案】A
【解析】
【分析】先求出 的坐标，利用模长公式求出参数 ，再求 .
【详解】 ， ， ，
∵ ，∴ ， ，
所以 ，
故选：A．
7. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 36 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】设A(x ,y )与B(x ,y )， 为 的中点，可证明点 在以 为圆心，2为半径的圆上，由
1 1 2 2
，结合两点距离的几何意义即可求解.
【详解】设A(x ,y )与B(x ,y )为圆 上一点，
1 1 2 2
则 ，得 ， ，
即 为等腰直角三角形，设 为 的中点，
则 ，得 ，
即点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
故 ，
因为点 到定点D(1,0)的距离的最大值为 ，
因此 的最大值为36.故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为 ，
根据两点距离的几何意义求解即可.
8. 已知圆D： 与x轴相交于A、B两点，且圆C： ，点
．若圆C与圆D相外切，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆 与圆 相外切，可得 ，再根据圆的对称性不妨令 ，再分
， 和 三种情况讨论即可.
【详解】圆D： 的圆心 ，半径为 ，
圆C： 的圆心 ，半径为 ，
因为圆 与圆 相外切，所以 ，所以 ，
且圆 与 轴交于 ，不妨记 ，
因为圆 关于 轴对称，点 与点 关于 轴对称，点 在 轴上，
由对称性不妨令 ，当 时，则 ，解得 ，
故
，
当 时，则 ，解得 ，
此时 ，
故 ，
当 时，则 ，解得 ，
故
，综上所述， 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：将 表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关
键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正方体 中， 为 的中点， 是正方形 内部及边界上一点，
则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 平面
B. 当 时，点 的轨迹长度为
C. 平面 内存在一条直线与直线 成 角
D. 将 以边 所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中， 到平面 的距离的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，先证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于 B，确定点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C，求出EF与平面 所成角的最
小值，即可判断；对于D，判断出点 的运动轨迹，进而结合圆的几何性质进行求解.
【详解】对于A，连接 ，则 ,
又 平面 平面 ，故 ,
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，同理 ，
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ，A正确；
对于B，取 的中点为H，连接 ，
则 平面 ， 平面 ，故 ，
由于 ，故 ，即点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，
结合题意知F轨迹为该圆在平面 内的圆弧，如图圆弧，
则 ，则 ，
故F轨迹长度为 ，B正确；
对于C，从正方体中分离出四棱锥 ， 的中点为H，
平面 ，则 ，
，
则EF与平面 所成角的最小值为 ， ,
即 ，故平面 内不存在一条直线与直线 成 角，C错误；
对于D，连接 交 于N，取 的中点为M，连接 ，则点 的轨迹为平面 内以N为圆心， 为半径的圆，
又正方体性质知 ，由 知 ，
而 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ;
又 平面 平面 ，故 ，
结合 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，
故 ，则 ，
设 与圆的交点分别为 ，
当点 位于 处时， 到平面 的距离分别取到最大值和最小值，
最大值为 ，
最大值为 ，
故 到平面 的距离的取值范围是 ，D正确
故选：ABD.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断出点 的运动轨迹，进而结合
圆的几何性质进行求解.
10. 如图，四边形 为正方形，平面 平面 ，且 为正三角形， 为
的中点，则下列命题中正确的是（ ）.
A 平面
B.
C. 直线 与 所成角的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，可判断A，根据面面垂直的性质
定理可得到选项B，根据向量法可得到两直线所成角的余弦值，即可得到C，再根据空间中点面距离公式
得到选项D.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 为正三角形， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为四边形 为正方形，以点 为原点， 的方向为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
， ，
对于A， ，由图易知平面 的一个法向量为 ，
因为 ，故 与平面 不平行，故A错误；
对于B，因为四边形 为正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故B正确；
对于C， ， ，
，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，故C错误；
对于D， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
点 到平面 的距离 ，故选项D正确；
故选：BD.
11. 点A，B为圆 上的两点，点 为直线 上的一个动点，则下列说法
正确的是（ ）A. 当 ，且AB为圆的直径时， 面积的最大值为3
B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B， 的最小值为
C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D. 当 时， 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，确定 ，当 AB 垂直于 x 轴时， 面积最大，即可判断，对于 B，设
，求出 ，结合余弦函数性质即可判断，对于C，结合正弦函数性质
判断出 ，即可判断；对于D，设D为AB的中点，则 ，判断点D在以M为
圆心， 为半径的圆上，结合 的最大值为 即可判断.
【详解】对于A，当 ，且AB为圆的直径时，
此时 ，当AB垂直于x轴时， 面积最大，不妨取 ，则 ，A正确；
对于B，设 ，设 交于N，
由圆的切线性质知 ∽ ，则 ，
故 ，当 最大时，|AB|最小，
当 位于 时， 最大，此时 ，
则 ，即|AB|的最小值为 ，B正确；
对于C，由B的分析可知当 位于 时， 最大，此时 ，
即 ，则 ，故 在直线l上不存在一点P，使得 ，C错误；
对于D，设D为AB的中点，则 ，
连接MD，则 ，则 ，故点D在以M为圆心， 为半径的圆上，结合 ，
可得 的最大值为 ,
故 的最大值为 ，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 则角
_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，即可求角 .
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，
整理得 ，
由余弦定理可得 ，因为 ，
所以 .
故答案为：
13. 已知正四面体 的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的
动点，且满足 ，则线段EF长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，取定空间的基底 ，利用空间向量的线性运算表示向量 ，再利
用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值.
【详解】在棱长为2的正四面体 中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得 ，
由点E，F分别在线段AM，CN上， ，令 ，则 ，
所以
，又 ，
， ，
故
，
当 时， ，所以线段EF长度的最小值为 .故答案为：
【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量 ，再利用向量运算求解.
14. 已知曲线 与直线 有且仅有一个公共点，那么实数 的取值范围是
______.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到 的取值范围．
【详解】直线 恒过点 .
由 得 ，表示以 为圆心， 为半径的半圆，该半圆在直线
的上方.
当直线与半圆相切于点 时，直线方程可化为： ，
根据圆心 到直线的距离等于半径 得： ，解得 ，当直线过点 时， ，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点 时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案；
（2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知 ，即 ，
由于 ，
故 ，即 ，结合 ，则 ；
【小问2详解】
， ， 的面积为 ，则 ，则 ，故 ，
故 .
16. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧棱 底面 ， ，E是 的
中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明.
（2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到 是二面角 的
平面角，从而计算得到结果.
【小问1详解】
连接 ，交 于点 ，
由底面 是正方形，可知 为 的中点，
又 是 的中点， 是 的中位线，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
设 ， ，
底面 ， 底面 ， ，
即 是直角三角形， ，
又E是 的中点， ，
同理可得 ，且 ， ， 平面 ，
平面 ， ，
在直角 中， ，
， ，
又 ， 二面角 的平面角为 ，
.
二面角 的平面角的余弦值为 .
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，
更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)， ，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
【答案】（1）0.030
（2）84．
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出即得.
（2）利用第75百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，
得 ，
所以 .
【小问2详解】
成绩落在 内的频率为 ，
落在 内的频率为 ，
则样本成绩的第75百分位数为 ，由 ，得 ，
所以样本成绩的第75百分位数为84.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是边长为 的正三角形， ，
平面 平面 .（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，根据条件得到 ， ，由线面垂直的判
定理得 平面 ，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果；
（2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和 ，利用线面角的向量法，即可求解.
【小问1详解】
如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 是边长为 的正三角形，所以 ，
在菱形 中， ，则 为等边三角形，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】由（1）得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以点 为原点，分别以 为 轴正方向建立空间直角坐标系.
因 ，则 .
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则有 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，记直线 与平面 所成角为 ，
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知直线 的方程为： .
（1）求证：不论 为何值，直线 必过定点 ；
（2）过（1）中的点 引直线 交坐标轴正半轴于 ， 两点，求 面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）4【解析】
【分析】（1）把直线方程写成 ，由 可得定点坐标.
（2）设过 点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最
小值.
【小问1详解】
由 ，可得 ，
令 ，所以直线 过定点 .
【小问2详解】
由（1）知，直线 恒过定点 ，由题意可设直线 的方程为 ，
设直线 与 轴， 轴正半轴交点为 ， ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 面积 ，
当且仅当 ，即 时， 面积最小值为4.
