文档内容
2024-2025 学年度第一学期高二期中测试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条
形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面上的两个非零向量 ， 满足 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 函数 在区间 单调递减，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. （ ）A. B. C. D.
5. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为 .若圆柱的一个底面的圆周经
过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为 ，则四棱锥
的底面的边长为（ ）
A. B. 6 C. D. 9
6. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 8
7. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 36 D. 48
8. 已知圆D： 与x轴相交于A、B两点，且圆C： ，点
．若圆C与圆D相外切，则 最的大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 在正方体 中， 为 中点， 是正方形 内部及边界上一点，
则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 平面
B. 当 时，点 的轨迹长度为C. 平面 内存在一条直线与直线 成 角
D. 将 以边 所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中， 到平面 的距离的取值范围是
10. 如图，四边形 为正方形，平面 平面 ，且 为正三角形， 为
的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线 与 所成角 的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为
11. 点A，B为圆 上的两点，点 为直线 上的一个动点，则下列说法
正确的是（ ）
A. 当 ，且AB为圆的直径时， 面积的最大值为3
B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B， 的最小值为
C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得D. 当 时， 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在 中，角 ， ， 所对 的边分别为 ， ， ，满足 则角
_____.
13. 已知正四面体 的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的
动点，且满足 ，则线段EF长度的最小值为__________.
14. 已知曲线 与直线 有且仅有一个公共点，那么实数 的取值范围是
______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ．
16. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧棱 底面 ， ，E是 的
中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成
六段：[40,50)， ，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是边长为 的正三角形， ，
平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. 已知直线 的方程为： .
（1）求证：不论 为何值，直线 必过定点 ；
（2）过（1）中的点 引直线 交坐标轴正半轴于 ， 两点，求 面积的最小值.
