数学-江苏镇江中学2024年高二上学期期初学情检测_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年09月试卷_0926江苏省镇江中学2024年高二上学期期初学情检测

江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）
命题人：林玲 审题人：魏洁
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知数列2， 6 ， 8 ， 10 ，， 2n+2 ，，则 42是这个数列的（ ）
A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项
2. 已知等差数列 的前n项和为S ，若S =1，则a +a =（ ）
n 9 3 7
{𝑎𝑎𝑛𝑛} 7 2
A. −2 B. C. 1 D.
3 9
a +a +a
3. 设公差d ≠0的等差数列 { a } 中，a ,a ,a 成等比数列，则 1 3 5 =（ ）
n 2 5 9 a +a +a
1 4 7
10 11 3 4
A. B. C. D.
11 10 4 3
2
4. 数列{a }的前n项和为S ，且S =n2 +2n，b = (n∈N∗,n≥1)，则数列{b }的前n项
n n n n a + a n
n n+1
和为T =（ ）
n
A. 2n+1− 2n−1 B. 2n+3−1
C. 2n−2 D. 2n+3− 3
{ } { } S
5. 记S 为数列 a 的前n项和，设甲： a 为等差数列；乙：{ n}为等差数列，则（ ）
n n n n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6. 已知数列 { a } 的前n项和为S ．若a +a =2n+5，则S =（ ）
n n n n+1 8
A. 48 B. 50 C. 52 D. 54
( 3−a ) x−3,x≤7
7. 已知函数 f ( x )= ，若数列{a }满足a = f(n)(n∈N*)且{a }是递增数列，则实数a
ax−6,x>7 n n n
的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司9 9
A. ( ,3) B. [ ,3)
4 4
C. (2,3) D. [2,3)
1
8. 在正项等比数列 { a } 中，a = ,a +a =3．则满足a +a ++a >aa a 的最大正整数n的值
n 4 2 5 6 1 2 n 1 2 n
为（ ）
A. 12 B. 11 C. 9 D. 10
二、多选题；本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
{ }
9. 已知数列 a 的前n项和为S ，则下列结论正确的是（ ）
n n
A. 若 { a } 是等差数列，且S =n2 +2n+k ，则k =0
n n
B. 若 { a } 是等比数列，且S =32n+1+k ，则k =−3
n n
C. 若S =3n2 −2n+1，则 { a } 是等差数列
n n
D. 若 { a } 是公比大于1的等比数列，则S >2S
n 2n n
10. 数列 { a } 的前n项和为S ，若a =1,a =2S ( n∈N* ) ，则有（ ）
n n 1 n+1 n
A. S =3n−1 B. { a } 为等比数列 C. a =2⋅8n D. { S } 为等比数列
n n n n
11. 设等比数列 { a } 的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并满足条件：a >1，a a >1,
n n n 1 2024 2025
a −1
2024 <0，下列结论正确的是（ ）
a −1
2025
A. S <S
2024 2025
B. a a <1
2024 2026
{ }
C. T 是数列 T 中的最大值
2024 n
{ }
D. 数列 T 无最大值
n
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1
12. 已知 { a } 是公比为 的等比数列，若a +a +a ++a =100，则a +a +a ++a =
n 1 4 7 97 3 6 9 99
2
______.
第2页/共4页
学科网（北京）股份有限公司13. 数列 { a } 满足a =2,a =2a +2n+1，则数列 { a } 的通项公式为a =______．
n 1 n+1 n n n
14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
24dm×20dm的长方形纸，对折1次共可以得到12dm×20dm,24dm×10dm两种规格的图形，它们的面
积之和S =480dm2，对折2次共可以得到6dm×20dm，12dm×10dm,24dm×5dm三种规格的图形，它
1
们的面积之和S =360dm2，以此类推，则对折 5 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
2
n
n次，那么 ∑S =______dm2．
k
k=1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 }是各项均为正数的等比数列，a =2，a 2a 16．
1 3 2
（1）求
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
的通项公式；
（2）求
{ 数𝑎𝑎𝑛𝑛
列
}{
a
}
前n项和S ．
n n
16. 记S 为等差数列 { a } 的前n项和，已知a =11,S =40．
n n 2 10
{ }
（1）求 a 的通项公式；
n
{ }
（2）求数列 a 的前n项和T ．
n n
S  1
17. 记S 为数列 { a } 的前n项和，已知a =1, n是公差为 的等差数列．
n n 1 a  3
n
{ }
（1）求 a 的通项公式；
n
1 1 1
（2）证明： + ++ <2．
a a a
1 2 n
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知正项数列 { a } 的前n项和为S ，满足2S =a2 +a −2.
n n n n n
{ }
（1）求数列 a 的通项公式；
n
a 3 k ( n+3 )
（2）设b = n ,T 为数列 { b }的前n项和.若 −T ≤ 对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范
n 2a n n n 2 n S
n
围.
n2 +n
19. 设等差数列 { a } 的公差为d ，且d >1．令b = ，记S ,T 分别为数列 { a } , { b } 的前n项和．
n n a n n n n
n
（1）若3a =3a +a ,S +T =21，
2 1 3 3 3
{ }
（ⅰ）求 a 的通项公式；
n
a ,n为奇数
（ⅱ）若c = n 数列 { c } 的前n项和为T ，求T ．
n b ,n为偶数 n n 20
n
（2）若 { b } 为等差数列，且S −T =19，求d ．
n 19 19
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学科网（北京）股份有限公司江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）
命题人：林玲 审题人：魏洁
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知数列2， 6 ， 8 ， 10 ，， 2n+2 ，，则 42是这个数列的（ ）
A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项
【答案】A
【解析】
【分析】令 2n+2 = 42，解出即可得.
【详解】令 2n+2 = 42，解得n=20，
即 42是这个数列的第20项.
故选：A.
2. 已知等差数列 的前n项和为S ，若S =1，则a +a =（ ）
n 9 3 7
{𝑎𝑎𝑛𝑛} 7 2
A. −2 B. C. 1 D.
3 9
【答案】D
【解析】
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行
1
处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
9×8
由S =1，根据等差数列的求和公式，S =9a + d =1⇔9a +36d =1，
9 9 1 2 1
2 2
又a +a =a +2d +a +6d =2a +8d = (9a +36d)= .
3 7 1 1 1 9 1 9
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，a + a = a + a，由S =1，根据等差数列的求和公式，
1 9 3 7 9
9(a +a ) 9(a +a ) 2
S = 1 9 = 3 7 =1，故a +a = .
9 2 2 3 7 9
故选：D
方法三：特殊值法
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学科网（北京）股份有限公司1 2
不妨取等差数列公差d =0，则S =1=9a ⇒a = ，则a +a =2a = .
9 1 1 9 3 7 1 9
故选：D
a +a +a
3. 设公差d ≠0的等差数列 { a } 中，a ,a ,a 成等比数列，则 1 3 5 =（ ）
n 2 5 9 a +a +a
1 4 7
10 11 3 4
A. B. C. D.
11 10 4 3
【答案】A
【解析】
a +a +a 3a a
【分析】由题意可得8d =a ，根据 1 3 5 = 3 = 3 求解即可.
1 a +a +a 3a a
1 4 7 4 4
【详解】因为公差d ≠0的等差数列 中，a ,a ,a 成等比数列，
2 5 9
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
所以a 2 =a ⋅a ，即( a +4d )2 =( a +d )⋅( a +8d )，解得8d =a ，
5 2 9 1 1 1 1
a +a +a 3a a a +2d 8d +2d 10
所以 1 3 5 = 3 = 3 = 1 = = .
a +a +a 3a a a +3d 8d +3d 11
1 4 7 4 4 1
故选：A.
2
4. 数列{a }的前n项和为S ，且S =n2 +2n，b = (n∈N∗,n≥1)，则数列{b }的前n项
n n n n a + a n
n n+1
和为T =（ ）
n
A. 2n+1− 2n−1 B. 2n+3−1
C. 2n−2 D. 2n+3− 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用a ,S 的关系求出a ，再利用裂项相消法求和即得.
n n n
【详解】数列{a }的前n项和S =n2 +2n，
n n
当n≥2时，a =S −S =n2 +2n−[(n−1)2 +2(n−1)]=2n+1，而a =S =3满足上式，
n n n−1 1 1
2
因此a =2n+1，b = = 2n+3− 2n+1，
n n 2n+1+ 2n+3
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学科网（北京）股份有限公司所以T =( 5− 3)+( 7− 5)+( 9− 7)++( 2n+3− 2n+1)= 2n+3− 3.
n
故选：D
{ } { } S
5. 记S 为数列 a 的前n项和，设甲： a 为等差数列；乙：{ n}为等差数列，则（ ）
n n n n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断
作答.，
{ }
【详解】方法1，甲： a 为等差数列，设其首项为a ，公差为d ，
n 1
则 ，
𝑛𝑛(𝑛𝑛−1) 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑆𝑆𝑛𝑛+1 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑑𝑑
𝑆𝑆𝑛𝑛 =S𝑛𝑛𝑎𝑎1+ 2 𝑑𝑑, 𝑛𝑛 =𝑎𝑎1+ 2 𝑑𝑑 = 2𝑛𝑛+𝑎𝑎1−2,𝑛𝑛+1 − 𝑛𝑛 = 2
因此{ n}为等差数列，则甲是乙的充分条件；
n
S
反之，乙：{ n}为等差数列，即 为常数，设为t，
n
𝑆𝑆𝑛𝑛+1 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑆𝑆𝑛𝑛+1−(𝑛𝑛+1)𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑆𝑆𝑛𝑛
𝑛𝑛+1 − 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1) = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
即 ，则 ，有 ，
𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑆𝑆𝑛𝑛
两式 𝑛𝑛( 相 𝑛𝑛+ 减 1) 得 = ： 𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑡𝑡⋅𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)，即𝑆𝑆𝑛𝑛−1 =(𝑛𝑛−1)𝑎𝑎， 𝑛𝑛 对−𝑡𝑡 n ⋅=𝑛𝑛 1 (𝑛𝑛也−成1立),𝑛𝑛，≥ 2
因此 { a } 为等𝑎𝑎差 𝑛𝑛 数=列𝑛𝑛𝑎𝑎， 𝑛𝑛+ 则 1−甲(是𝑛𝑛乙−的1)必𝑎𝑎𝑛𝑛 要−条2𝑡𝑡件𝑛𝑛， 𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛 =2𝑡𝑡
n
所以甲是乙的充要条件，C正确.
{ } { }
n(n−1)
方法2，甲： a 为等差数列，设数列 a 的首项a ，公差为d ，即S =na + d ，
n n 1 n 1 2
S
则 ，因此{ n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；
n
𝑆𝑆𝑛𝑛 (𝑛𝑛−1) 𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑛𝑛 =𝑎𝑎1+ S2 𝑑𝑑 = 2𝑛𝑛+𝑎𝑎1−2
反之，乙：{ n}为等差数列，即 ，
n
𝑆𝑆𝑛𝑛+1 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛
即 ， 𝑛𝑛+1 − 𝑛𝑛 =𝐷𝐷, 𝑛𝑛 =𝑆𝑆1+(𝑛𝑛−1 ， )𝐷𝐷
当𝑆𝑆n𝑛𝑛≥=2𝑛𝑛时𝑆𝑆1，+上𝑛𝑛(两𝑛𝑛式−相1)减𝐷𝐷得𝑆𝑆：𝑛𝑛−1 =(𝑛𝑛−1)𝑆𝑆1+(𝑛𝑛−1)(𝑛𝑛−，2当)𝐷𝐷n=1时，上式成立，
于是 ，又𝑆𝑆𝑛𝑛−𝑆𝑆𝑛𝑛−1 =𝑆𝑆1+2(𝑛𝑛−1)𝐷𝐷 为常数，
因此𝑎𝑎{𝑛𝑛 a=} 为𝑎𝑎1 等+差2(数𝑛𝑛列−，1)𝐷𝐷则甲是𝑎𝑎乙 𝑛𝑛+ 的 1−必𝑎𝑎要 𝑛𝑛 条=件𝑎𝑎1 ，+ 2𝑛𝑛𝐷𝐷−[𝑎𝑎1+2(𝑛𝑛−1)𝐷𝐷]=2𝐷𝐷
n
所以甲是乙的充要条件.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
6. 已知数列 { a } 的前n项和为S ．若a +a =2n+5，则S =（ ）
n n n n+1 8
A. 48 B. 50 C. 52 D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】根据a +a =2n+5得到a +a =7，a +a =11，a +a =15，a +a =19，相加得到
n n+1 1 2 3 4 5 6 7 8
答案.
【详解】因为a +a =2n+5，所以a +a =7，a +a =11，a +a =15，a +a =19，
n n+1 1 2 3 4 5 6 7 8
所以S =7+11+15+19=52
8
故选：C
( 3−a ) x−3,x≤7
7. 已知函数 f ( x )= ，若数列{a }满足a = f(n)(n∈N*)且{a }是递增数列，则实数a
ax−6,x>7 n n n
的取值范围是（ ）
9 9
A. ( ,3) B. [ ,3)
4 4
C. (2,3) D. [2,3)
【答案】C
【解析】
【分析】 f ( x ) 在x∈[ 1,+∞) ,x∈N∗上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出2<a<3.
【详解】由题意可知， f ( x ) 在x∈[ 1,+∞) ,x∈N∗上单调递增，
由于y =( 3−a ) x−3和 y =ax−6均为单调函数，
3−a >0

故a >1 ，解得2<a <3.
 7 ( 3−a )−3<a8−6

故选：C
1
8. 在正项等比数列 { a } 中，a = ,a +a =3．则满足a +a ++a >aa a 的最大正整数n的值
n 4 2 5 6 1 2 n 1 2 n
为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 12 B. 11 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和a +a ++a 及aa a 的表达式，化简
1 2 n 1 2 n
可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案.
 1
aq3 =
【详解】设正项等比数列 { a } 公比为q，则q >0，由题意可得 1 2 ，
n
aq4( 1+q )=3

1
1 1
解之可得a = ，q2，故其通项公式为a = ×2n−1 =2n−5．
1 16 n 16
1 ( )
1−2n
记 16 2n −1，
T =a +a ++a = =
n 1 2 n 1−2 24
n(n−9)
S =aa a =2−4×2−3××2n−5 =2−4−3−+n−5 =2 2 ．
n 1 2 n
由题意可得T >S ，即
2n −1
>2
n(n
2
−9)
，化简得
n(n−9)
+4 ，
n n 24 2n −2 2 >1
n ( n−9 )
由n∈N*且n>1，因此只须n> +4，即n2 −11n+8<0，
2
11− 89 11+ 89
解得 <n< ，
2 2
11+ 89
由于n为正整数，因此n最大为 的整数部分，也就是10．
2
故选：D.
二、多选题；本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
{ }
9. 已知数列 a 的前n项和为S ，则下列结论正确的是（ ）
n n
A. 若 { a } 是等差数列，且S =n2 +2n+k ，则k =0
n n
B. 若 { a } 是等比数列，且S =32n+1+k ，则k =−3
n n
C. 若S =3n2 −2n+1，则 { a } 是等差数列
n n
D. 若 { a } 是公比大于1的等比数列，则S >2S
n 2n n
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AB
【解析】
【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项 AB;利用a −a ≠a −a 判断选项 C；通过举例
3 2 2 1
a =−2n，判断选项D.
n
n ( n−1 ) d d  d 
【详解】对于A，若 { a } 是等差数列，则S =na + = n2 + a − n，
n n 1 2 2  1 2
且S =n2 +2n+k ，故 k =0，故A正确；
n
( )
对于B，若 { a } 是等比数列，则当q ≠1时，S = a 1 1−qn =− a 1 qn + a 1 ，
n n 1−q 1−q 1−q
且S =32n+1+k =3×9n +k，则k =−3；
n
当q =1时，S =na ≠32n+1+k，舍去，故B正确；
n 1
对于C，若S =3n2 −2n+1，则a =S =2，a =S −S =9−2=7，
n 1 1 2 2 1
a =S −S =22−7=15，故a −a ≠a −a ，所以 { a } 不是等差数列，故C错误；
3 3 2 3 2 2 1 n
对于D，若a =−2n，则S =−2−4=−6,2S =2×(−2 )=−4,
n 2 1
此时S <2S ，不满足S >2S ，故D错误.
2 1 2n n
故选：AB
10. 数列 { a } 的前n项和为S ，若a =1,a =2S ( n∈N* ) ，则有（ ）
n n 1 n+1 n
A. S =3n−1 B. { a } 为等比数列 C. a =2⋅8n D. { S } 为等比数列
n n n n
【答案】AD
【解析】
S ,n=1 1,n=1
【分析】BC选项，根据a = 1 得到a = ，从而得到BC错误；A选项，结合
n S −S ,n≥2 n 2×3n−2,n≥2
n n−1
S
等比数列求和公式得到A正确；D选项，计算出 n+1 =3，得到D正确.
S
n
【详解】BC选项，a =2S ①，当n=1时，a =2S =2a =2，
n+1 n 2 1 1
当n≥2时，a =2S ②，①-②得
n n−1
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学科网（北京）股份有限公司a −a =2S −2S =2a ，故a =3a ，
n+1 n n n−1 n n+1 n
{ }
故 a 从第二项开始，为公比为3的等比数列，B错误；
n
1,n=1
故a = ，C错误；
n 2×3n−2,n≥2
2−2×3n−1
A选项，S =1+2+6++2×3n−2 =1+ =3n−1，A正确；
n 1−3
S 3n
D选项， n+1 = =3，故 { S } 为等比数列，D正确.
S 3n−1 n
n
故选：AD
11. 设等比数列 { a } 的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并满足条件：a >1，a a >1,
n n n 1 2024 2025
a −1
2024 <0，下列结论正确的是（ ）
a −1
2025
A. S <S
2024 2025
B. a a <1
2024 2026
{ }
C. T 是数列 T 中的最大值
2024 n
{ }
D. 数列 T 无最大值
n
【答案】ABC
【解析】
a −1
【分析】根据条件a a >1判断q >0，分q≥1和0<q<1两情况讨论 2024 <0得成立与否得出
2024 2025 a −1
2025
0<q<1，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的
a >1,0<a <1即可判断.
2024 2025
a −1
【详解】对于A，由 2024 <0可得，(a −1)(a −1)<0（*），
a −1 2024 2025
2025
由a a =a2 q>1,可得q >0.
2024 2025
2024
当q≥1时，因a >1，则a >1,a >1，即（*）不成立；
1 2024 2025
当0<q<1时，a >1,0<a <1，（*）成立，故S <S ，即A正确；
2024 2025 2024 2025
第7页/共15页
学科网（北京）股份有限公司对于B，因a a −1=a2 −1<0，故B正确；
2024 2026 2025
对于C,D，由上分析a >1,0<a <1，且0<q<1，则T 是数列 { T } 中的最大值，故C正确，D
2024 2025 2024 n
错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1
12. 已知 { a } 是公比为 的等比数列，若a +a +a ++a =100，则a +a +a ++a =
n 1 4 7 97 3 6 9 99
2
______.
【答案】25
【解析】
【分析】由等比数列的性质即可求解.
a +a +a ++a 1
【详解】因为 3 6 9 99 =q2 =
a +a +a ++a 4
1 4 7 97
所以a +a +a ++a =25
3 6 9 99
故答案为：25
13. 数列 { a } 满足a =2,a =2a +2n+1，则数列 { a } 的通项公式为a =______．
n 1 n+1 n n n
【答案】n⋅2n
【解析】
a 2a
【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将 n+1 = n +1，经化简可知新的数列是等差数列，在
2n+1 2n+1
变形可求得.
【详解】由题意知a =2a +2n+1将等式两边同时除以2n+1，
n+1 n
a a a
可得 n+1 = n +1，因为a =2，所以可知 1 =1，
2n+1 2n 1 2
a  a
则数列 n 是以 1 为首项，1为公差的等差数列，
2n 2
a
所以 n =1+( n−1 )=n，所以a =n⋅2n.
2n n
故答案为：n⋅2n
14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
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学科网（北京）股份有限公司24dm×20dm的长方形纸，对折1次共可以得到12dm×20dm,24dm×10dm两种规格的图形，它们的面
积之和S =480dm2，对折2次共可以得到6dm×20dm，12dm×10dm,24dm×5dm三种规格的图形，它
1
们的面积之和S =360dm2，以此类推，则对折 5 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
2
n
n次，那么 ∑S =______dm2．
k
k=1
15(n+3)
【答案】 ①. 6 ②. 1440−
2n−5
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S ，再根据错位相减法得结果.
n
【详解】第一空：由对折2次共可以得到6dm×20dm，12dm×10dm,24dm×5dm三种规格的图形，所
5
以对折三次的结果有：3dm×20dm，6dm×10dm，12dm×5dm,24dm× dm共4种不同规格；
2
3
对折4次可得到如下规格： dm×20dm，3dm×10dm，
2
5 5
6dm×5dm，12dm× dm,24dm× dm，共5种不同规格；
2 4
3 3
对折5次可得到如下规格： dm×20dm， dm×10dm，3dm×5dm，
4 2
5 5 5
6dm× dm，12dm× dm,24dm× dm，共6种不同规格；
2 4 8
第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，
1
不论规格如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为240dm2,
2
240
第n次对折后的图形面积为S = ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数为n+1种，
n 2n−1
n 240×2 240×3 240×4 240×(n+1)
则S =∑S = + + ++ ，
k 20 21 22 2n−1
k=1
1 240×2 240×3 240×4 240×(n+1)
S = + + ++ ，
2 21 22 23 2n
1 240 240 240 240 240×(n+1)
两式作差得： S =480+ + + ++ −
2 21 22 23 2n−1 2n
1 1
(1− )
2 2n−1 240×(n+1) 240 240×(n+1) 240×(n+3)
480+240× − =720− − =720− ，
1 2n 2n−1 2n 2n
1−
2
15(n+3)
因此S =1440− .
2n−5
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学科网（北京）股份有限公司15(n+3)
故答案为：①6；②1440− .
2n−5
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{a b }结构，其中{a }是等差数列，{b }是等比数列，用错位相减法求和；
n n n n
（3）对于{a +b }结构，利用分组求和法；
n n
1 1 1 1 1
（4）对于{ }结构，其中{a }是等差数列，公差为d(d ≠0)，则 = ( − )，利用裂项相
a a n a a d a a
n n+1 n n+1 n n+1
消法求和.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 }是各项均为正数的等比数列，a =2，a 2a 16．
1 3 2
（1）求
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
的通项公式；
（2）求
{ 数𝑎𝑎𝑛𝑛
列
}{
a
}
前n项和S ．
n n
【答案】（1）a =22n−1
n
22n+1−2
（2）S =
n 3
【解析】
【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式；
（2）代入等比数列前n项和公式，即可求解.
【小问1详解】
因为数列 是各项均为正数的等比数列，a 2a 16，a =2，
3 2 1
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
所以令数列 的公比为q ( q>0 ) ，a =aq2 =2q2，a  aq  2q，
3 1 2 1
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
所以2q2 =4q+16，解得q =−2（舍去）或4，
所以数列 是首项为2、公比为4的等比数列，a =2×4n−1 =22n−1．
n
【小问2
{ 详𝑎𝑎𝑛𝑛
解
}
】
因为a =22n−1，
n
( )
2 1−4n 22n+1−2
求和可得： S = = ．
n 1−4 3
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学科网（北京）股份有限公司16. 记S 为等差数列 { a } 的前n项和，已知a =11,S =40．
n n 2 10
{ }
（1）求 a 的通项公式；
n
{ }
（2）求数列 a 的前n项和T ．
n n
【答案】（1）a =15−2n
n
14n−n2,n≤7
（2）T =
n n2 −14n+98,n≥8
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解a ,d ，进而可得结果；
1
（2）先求S ，讨论a 的符号去绝对值，结合S 运算求解.
n n n
【小问1详解】
设等差数列的公差为d ，
a =a +d =11
 2 1 a +d =11 a =13
由题意可得 10×9 ，即 1 ，解得 1 ，
S =10a + d =40 2a +9d =8 d =−2
 10 1 2 1
所以a =13−2 ( n−1 )=15−2n，
n
【小问2详解】
n ( 13+15−2n )
因为S = =14n−n2，
n 2
15
令a =15−2n>0，解得n< ，且n∈N*，
n
2
当n≤7时，则a >0，可得T = a + a +⋅⋅⋅+ a =a +a +⋅⋅⋅+a =S =14n−n2；
n n 1 2 n 1 2 n n
当n≥8时，则a <0，可得T = a + a +⋅⋅⋅+ a =( a +a +⋅⋅⋅+a )−( a +⋅⋅⋅+a )
n n 1 2 n 1 2 7 8 n
=S −( S −S )=2S −S =2 ( 14×7−72 ) − ( 14n−n2 ) =n2 −14n+98；
7 n 7 7 n
14n−n2,n≤7
综上所述：T = .
n n2 −14n+98,n≥8
S  1
17. 记S 为数列 { a } 的前n项和，已知a =1, n是公差为 的等差数列．
n n 1 a  3
n
第11页/共15页
学科网（北京）股份有限公司{ }
（1）求 a 的通项公式；
n
1 1 1
（2）证明： + ++ <2．
a a a
1 2 n
n ( n+1 )
【答案】（1）a =
n 2
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得
S
n =1+
1
(n−1)=
n+2
，得到S =
(n+2)a
n ，利用和与项的关
a 3 3 n 3
n
(n+2)a (n+1)a a n+1
系得到当n≥2时，a =S −S = n − n−1 ,进而得： n = ，利用累乘法求得
n n n−1 3 3 a n−1
n−1
n ( n+1 ) n ( n+1 )
{ }
a = ，检验对于n=1也成立，得到 a 的通项公式a = ；
n 2 n n 2
1 1 1  1 
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 + ++ =21− ，进而证得.
a a a  n+1
1 2 n
【小问1详解】
S
∵a =1，∴S =a =1,∴ 1 =1,
1 1 1 a
1
S  1
又∵ n是公差为 的等差数列，
a  3
n
∴
S
n =1+
1
(n−1)=
n+2
,∴S =
(n+2)a
n ,
a 3 3 n 3
n
(n+1)a
∴当n≥2时，S = n−1 ，
n−1
3
(n+2)a (n+1)a
∴a =S −S = n − n−1 ,
n n n−1 3 3
整理得： ( n−1 ) a =( n+1 ) a ,
n n−1
a n+1
即 n = ,
a n−1
n−1
a a a a
∴a =a × 2 × 3 ×…× n−1 × n
n 1 a a a a
1 2 n−2 n−1
3 4 n n+1 n ( n+1 )
=1× × ×…× × = ，
1 2 n−2 n−1 2
第12页/共15页
学科网（北京）股份有限公司显然对于n=1也成立，
n ( n+1 )
{ }
∴ a 的通项公式a = ；
n n 2
【小问2详解】
1 2 1 1 
= =2 − ,
a n(n+1) n n+1
n
1 1 1  1 1 1 1 1   1 
∴ + ++ =21−  +  −  +  −  =21−  <2
a a a  2 2 3 n n+1  n+1
1 2 n
18. 已知正项数列 { a } 的前n项和为S ，满足2S =a2 +a −2.
n n n n n
{ }
（1）求数列 a 的通项公式；
n
a 3 k ( n+3 )
（2）设b = n ,T 为数列 { b } 的前n项和.若 −T ≤ 对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范
n 2a n n n 2 n S
n
围.
【答案】（1）a =n+1
n
5 
（2）  ,+∞ 
8 
【解析】
【分析】（1）运用公式，已知S 求a 即可；
n n
（2）求出b ，后运用错位相减求出T ，后结合函数单调性可解．
n n
【小问1详解】
2S =a2 +a −2①，且a >0，
n n n n
当n=1时，代入①得a =2；
1
当n≥2时，2S =a2 +a −2.②
n−1 n−1 n−1
①-②得2a =a2 −a2 +a −a ，整理得a +a =a2 −a2 =( a −a )( a +a ) ，
n n n−1 n n−1 n n−1 n n−1 n n−1 n n−1
因为a >0，所以a −a =1 ( n≥2 ) ，所以数列 为等差数列，公差为1，所以a =n+1.
n n n−1 n
【小问2详解】
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
第13页/共15页
学科网（北京）股份有限公司n+1 1 1 1 1
b = ，T =2× +3× +4× ++( n+1 ) ，③
n 2n+1 n 22 23 24 2n+1
1 1 1 1 1 1
T =2× +3× +4× ++n× +( n+1 ) ，④
2 n 23 24 25 2n+1 2n+2
1 1 1 1 1 1
③-④得 T =2× + + ++ −( n+1 ) ，
2 n 22 23 24 2n+1 2n+2
3 n+3 3 k ( n+3 ) n ( n+3 ) n ( n+3 )
所以T = − ，所以 −T ≤ ，且S = ，化简得k ≥ ，
n 2 2n+1 2 n S n 2 2n+2
n
n ( n+3 ) 4−n−n2
令c = ,c −c = ，所以c <c >c >c >，
n 2n+2 n+1 n 2n+3 1 2 3 4
5 5
所以c 的最大值为c = ，所以k ≥ .
n 2 8 8
5 
所以k的取值范围为  ,+∞ .
8 
n2 +n
19. 设等差数列 { a } 的公差为d ，且d >1．令b = ，记S ,T 分别为数列 { a } , { b } 的前n项和．
n n a n n n n
n
（1）若3a =3a +a ,S +T =21，
2 1 3 3 3
{ }
（ⅰ）求 a 的通项公式；
n
a ,n为奇数
（ⅱ）若c = n 数列 { c } 的前n项和为T ，求T ．
n b ,n为偶数 n n 20
n
（2）若 { b } 为等差数列，且S −T =19，求d ．
n 19 19
【答案】（1）（ⅰ）a =3n；（ⅱ）T =340
n 20
11
（2）d =
10
【解析】
【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及S ,T 的定义即可求解；
n n
（2）由等差数列前n项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
（ⅰ）由3a =3a +a ，得3d =a +2d ，解得a =d ，
2 1 3 1 1
2 6 12 9
则S =3a =3 ( a +d )=6d ，又T =b +b +b = + + = ，
3 2 1 3 1 2 3 d 2d 3d d
9 1
有S +T =6d + =21，即2d2 −7d +3=0，解得d =3或d = （舍去），
3 3 d 2
第14页/共15页
学科网（北京）股份有限公司所以a =a +( n−1 )⋅d =3n.
n 1
n2 +n n2 +n n+1
（ⅱ）a =3n，则b = = = ，
n n a 3n 3
n
则T =a +b +a +b ++a +b =( a +a ++a )+( b +b ++b )
20 1 2 3 4 19 20 1 3 19 2 4 20
3+5+7++21
=3 ( 1+3+5++19 )+ =340.
3
【小问2详解】
12 2 12
若 为等差数列，则有2b =b +b ，即 = + ，
2 1 3 a a a
2 1 3
{𝑏𝑏𝑛𝑛}
 1 1  6d 1
得6 − = = ，即a2 −3ad +2d2 =0，解得a =d 或a =2d ，
a a  a a a 1 1 1 1
2 3 2 3 1
由d >1，则a >0，
n
又S −T =19，，由等差数列性质知，19a −19b =19，
19 19 10 10
110
即a −b =1，得a − =1，
10 10 10 a
10
即a2 −a −110=0，解得a =11或a =−10（舍去），
10 10 10 10
当a =2d 时，a =a +9d =11d =11，解得d =1，与d >1矛盾，无解；
1 10 1
11
当a =d 时，a =a +9d =10d =11，解得d = .
1 10 1
10
11 11n 10 ( n+1 )
a =d = 时，a = ，b = ，符合题意，
1 10 n 10 n 11
11
所以等差数列 的公差d = .
10
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
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