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2024 年湖北云学名校联盟高二年级 10 月联考
数学试卷
命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐
考试时间：2024年 10月 15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
3+i2025
1. 已知i为虚数单位， 1+i 的虚部为（ ）
A. −i B. i C. −1 D. 1
2. 已知一组数据：2，5，7，x，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
3. 直线l ：ax− y+2025=0，l ： ( 3a−2 ) x+ay−2a=0，若l ⊥l ，则实数a的值为（ ）
1 2 1 2
1
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
3
4. 为了测量河对岸一古树高度AB的问题（如图），某同学选取与树底B在同一水平面内的两个观测点C
与D，测得∠BCD=15°，∠BDC =30°，CD = 48m，并在点C处测得树顶A的仰角为60°，则树高
AB约为（ ）（取 2 ≈1.4， 3≈1.7）
A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A. P在圆外
B. P在圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
2
6. 在棱长为6的正四面体ABCD中，点P与Q满足AP= AB，且CD=2CQ，则 PQ 的值为（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. 4z2 +z2 =0，则z = z =0；
1 2 1 2
B. 若点P、Q、R、S共面，点P、Q、R、T 共面，则点P、Q、R、S、T 共面；
C. 若P
(
A
)+P (
B
)=1，则事件A与事件B是对立事件；
3
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 ；
10
8. 动点Q在棱长为3的正方体ABCD− ABC D 侧面BCC B 上，满足 QA =2 QB ，则点Q的轨迹长
1 1 1 1 1 1
度为（ ）
4π 3π
A. 2π B. C. 3π D.
3 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为−1；
2 1
B. 已知A(2,4)，B ( 1,1 ) ，若直线l：kx+ y+k−2=0与线段AB有公共点，则k∈ − , ；
3 2
C. 过点 ( 1,2 ) ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x− y+1=0；
D. 若圆( x−1 )2 + y2 =4上恰有3个点到直线y = x+b的距离等于1，则b=−1± 2．
10. 如图所示四面体OABC中，OB=OC =4，OA=3，OB⊥OC，且∠AOB=∠AOC =60°，
2
CD= CB，G为AD的中点，点H 是线段OA上动点，则下列说法正确的是（ ）
3
1( )
A. OG = OA+OB+OC ；
3
B. 当H 是靠近A的三等分点时，DH ，OC， AB 共面；
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学科网（北京）股份有限公司 5
C. 当OH = OA时，GH ⊥OA；
6
D. DH⋅OH 的最小值为−1．
11. 已知P ( 2,3 ) 是圆C：x2 + y2 −8x−10y−a+41=0内一点，其中a>0，经过点P的动直线l与C
交于A，B两点，若 的最小值为4，则（ ）
A. a=12； |𝐴𝐴𝐴𝐴|
B. 若 ，则直线l的倾斜角为120°；
C. 存|在𝐴𝐴𝐴𝐴直|线=l4使得CA⊥CB；
D. 记PAC与△PBC的面积分别为S ，S ，则S ⋅S 的最大值为8．
PAC PBC △PAC △PBC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 实数x、 y满足x2 + y2 =4，则( x−4 )2 +( y+3 )2的最大值是______．
13. 记ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=( 2c−b ) cosA，其中
π 2 21
B ≠ ，若ABC的面积S =2 3，BE =2EC，且 AE = ，则BC的长为______．
2 3
14. 如图，已知四面体ABCD的体积为9，E，F 分别为AB，BC的中点，G、H 分别在CD、AD
上，且G、H 是靠近D的三等分点，则多面体EFGHBD的体积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取
100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为
13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
16. 在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A的坐标为
(−4,2 )
，∠ACB的角平分线所在的直线方程
为x− y+1=0，AC边上中线BM 所在的直线方程为2x+ y−2=0．
第3页/共4页
学科网（北京）股份有限公司（1）求点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
17. 直三棱柱ABC−ABC 中，AB= AC = AA =2，其中E,F,D分别为棱BC,BB,AC 的中点，已
1 1 1 1 1 1 1
知AF ⊥ AC ，
1 1
（1）求证：AF ⊥DE；
（2）设平面EFD与平面ABC的交线为直线m，求直线AC与直线m所成角的余弦值．
1
18. 已知圆C：x2 + y2 −4y+3=0，过直线l： y = x上的动点M 作圆C的切线，切点分别为P，
2
Q．
π
（1）当∠PMQ= 时，求出点M 的坐标；
3
（2）经过M ，P，C三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段PQ的中点N 的轨迹方程．
19. 四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB =2BC =2CD =4，侧面PAD为正三角形；
（1）当BD⊥ PD时，线段PB上是否存在一点Q，使得直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值为
2 PQ
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
4 QB
（2）当PD与平面BCD所成角最大时，求三棱锥P−BCD的外接球的体积．
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学科网（北京）股份有限公司2024 年湖北云学名校联盟高二年级 10 月联考
数学试卷
命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐
考试时间：2024年 10月 15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
3+i2025
1. 已知i为虚数单位， 1+i 的虚部为（ ）
A. −i B. i C. −1 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.
( )506
【详解】根据复数的乘方可知i2025 = i4 ⋅i=i，
3+i2025 3+i ( 3+i )( 1−i ) 3−2i+1
则 = = = =2−i，其虚部为−1.
1+i 1+i ( 1+i )( 1−i ) 2
故选：C
2. 已知一组数据：2，5，7，x，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平均数求x的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值.
2+5+7+x+10
【详解】因为 =6 ⇒ x=6.
5
所以数据为：2，5，6，7，10.
6+7
又因为5×60%=3，所以这组数据的第60百分位数为： =6.5.
2
故选：B
3. 直线l ：ax− y+2025=0，l ： ( 3a−2 ) x+ay−2a=0，若l ⊥l ，则实数a的值为（ ）
1 2 1 2
1
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
3
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据两直线垂直的公式AA +BB =0求解即可.
1 2 1 2
【详解】因为l ：ax− y+2025=0，l ： ( 3a−2 ) x+ay−2a =0垂直，
1 2
所以a ( 3a−2 )+(−1 ) a=0，
解得a =0或a =1，
将a =0，a =1代入方程，均满足题意，
所以当a =0或a =1时，l ⊥l .
1 2
故选：C.
4. 为了测量河对岸一古树高度AB的问题（如图），某同学选取与树底B在同一水平面内的两个观测点C
与D，测得∠BCD=15°，∠BDC =30°，CD = 48m，并在点C处测得树顶A的仰角为60°，则树高
AB约为（ ）（取 2 ≈1.4， 3≈1.7）
A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m
【答案】D
【解析】
【分析】先在△BCD中，利用正弦定理求出BC，再在Rt△ABC中求AB即可.
【详解】在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC =30°，所以∠CBD=135°，又CD =48，
48 CB
CD CB =
由正弦定理得： = ⇒ 2 1 ⇒ CB=24 2.
sin∠CBD sin∠CDB
2 2
在Rt△ABC中，AB= BCtan60° =24 6 ≈24×1.4×1.7 =57.12.
故选：D
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A. P在圆外
B. P在圆上
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学科网（北京）股份有限公司C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
【答案】A
【解析】
−4
【详解】试题分析：由题意得 2∴a2 +b2 4，所以点 ( a,b ) 在圆外
a2 +b2
考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系
2
6. 在棱长为6的正四面体ABCD中，点P与Q满足AP= AB，且CD=2CQ，则 PQ 的值为（ ）
3
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
【答案】D
【解析】
{ }
【分析】以 AB,AC,AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.
【详解】如图：
{ }
以 AB,AC,AD 为基底，则 AB = AC = AD =6，∠BAC =∠BAD=∠CAD=60°，
所以AB⋅AC = AB⋅AD= AC⋅AD=6×6×cos60°=18.
1( ) 2 2 1 1
因为PQ= AQ−AP= AC+ AD − AB =− AB+ AC+ AD.
2 3 3 2 2
2
2 2 1 1
所以 PQ = − AB+ AC+ AD
3 2 2
4 2 1 2 1 2 2 2 1
= AB + AC + AD − AB⋅AC− AB⋅AD+ AC⋅AD
9 4 4 3 3 2
=16+9+9−12−12+9 =19.
所以 PQ = 19.
故选：D
7. 下列命题中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 4z2 +z2 =0，则z = z =0；
1 2 1 2
B. 若点P、Q、R、S共面，点P、Q、R、T 共面，则点P、Q、R、S、T 共面；
C. 若P
(
A
)+P (
B
)=1，则事件A与事件B是对立事件；
3
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 ；
10
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明ABC不成立，根据古典概型的算法判断D是正确的.
【详解】对A：若z =i，z =2，则4z2 +z2 =0，但z = z =0不成立，故A错误；
1 2 1 2 1 2
对B：如图：
四面体S−PRT 中，Q是棱PR上一点，
则点P、Q、R、S共面，点P、Q、R、T 共面，但点P、Q、R、S、T 不共面，故B错误；
对C：掷1枚骰子，即事件A：点数为奇数，事件B：点数不大于3，
1 1
则P ( A )= ，P ( B )= ，P ( A )+P ( B )=1，但事件A、B不互斥，也不对立，故C错误；
2 2
对D：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有C3 =10种选法，
5
{ } { } { }
这三条线段能构成一个三角形的的选法有： 3,5,7 ， 3,7,9 ， 5,7,9 共3种，
3
所以条线段能构成一个三角形的的概率为：P= ，故D正确.
10
故选：D
8. 动点Q在棱长为3的正方体ABCD− ABC D 侧面BCC B 上，满足 QA =2 QB ，则点Q的轨迹长
1 1 1 1 1 1
度为（ ）
4π 3π
A. 2π B. C. 3π D.
3 2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，计算出|BQ|= 3，由点Q∈平面BCC B ，得出点Q的轨迹为圆弧E QF ，利用弧长
1 1
公式计算即得.
【详解】
如图，易得AB⊥平面BCC B ,因BQ⊂平面BCC B ，则AB⊥ BQ，
1 1 1 1
不妨设|BQ|= r，则|AQ|=2r, |AB|= (2r)2 −r2 = 3r =3，解得r = 3，
又点Q∈平面BCC B ，故点Q的轨迹为以点B为圆心，半径为 3的圆弧E QF ,
1 1
π 3π
故其长度为 × 3 = .
2 2
故选：D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为−1；
2 1
B. 已知A(2,4)，B ( 1,1 ) ，若直线l：kx+ y+k−2=0与线段AB有公共点，则k∈ − , ；
3 2
C. 过点 ( 1,2 ) ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x− y+1=0；
D. 若圆( x−1 )2 + y2 =4上恰有3个点到直线y = x+b的距离等于1，则b=−1± 2．
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线是否存在斜率判断 A的真假；数形结合求k的取值范围判断B的真假；根据截距的概念
判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b判断D的真假.
【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为−1”成立的前提是两条直线的斜率都存
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学科网（北京）股份有限公司在且不为0，
若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的.
对B：如图：
对直线l：kx+ y+k−2=0 ⇒ y−2=−k ( x+1 ) ，表示过点P (−1,2 ) ，且斜率为−k的直线，
4−2 2 1−2 1
且k = = ，k = =− ，
AP 2−(−1 ) 3 BP 1−(−1 ) 2
2 1 2 1
由直线l与线段AB有公共点，所以：0≤−k ≤ 或− ≤−k <0，即− ≤k ≤0或00，经过点P的动直线l与C
交于A，B两点，若 的最小值为4，则（ ）
A. a=12； |𝐴𝐴𝐴𝐴|
B. 若 ，则直线l的倾斜角为120°；
C. 存|在𝐴𝐴𝐴𝐴直|线=l4使得CA⊥CB；
D. 记PAC与△PBC的面积分别为S ，S ，则S ⋅S 的最大值为8．
PAC PBC △PAC △PBC
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点P ( 2,3 ) 在圆内，列不等式，可求a的取值范围，在根据弦 的最小值为4求a的值，判
|𝐴𝐴𝐴𝐴|
断 A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据k ⋅k =−1，可求直线AB的斜率，进而求直线AB的倾斜角，
l CP
判断B的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C的真假；由三角形面积公式和相
交弦定理，可求S ⋅S 的最大值，判断D的真假.
△PAC △PBC
【详解】对A：由22 +32 −8×2−10×3−a+41<0 ⇒ a>8.
此时圆C：( x−4 )2 +( y−5 )2 =a.
因为过P点的弦 的最小值为4，所以 CP = a−4，
|𝐴𝐴𝐴𝐴|
又 CP = ( 4−2 )2 +( 5−3 )2 =2 2，由 a−4 =2 2 ⇒ a=12.故A正确；
5−3
对B：因为k = =1，k ⋅k =−1，所以直线l的斜率为−1，其倾斜角为135°，故B错误；
CP 4−2 l CP
对C：当 时，如图：
|𝐴𝐴𝐴𝐴|=4
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学科网（北京）股份有限公司2 3 2 2 6 4 1
sin∠ACP= = ，cos∠ACP= = ，所以cos∠ACB= −1= >0，
2 3 3 2 3 3 3 3
所以∠ACB为锐角，又随着直线AB斜率的变化，∠ACB最大可以为平角，
所以存在直线l使得CA⊥CB.故C正确；
对D：如图：
直线CP与圆C交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，
因为∠MAP=∠BNP，∠APM =∠NPB，所以APM NPB.
AP MP ( )( )
所以 = ⇒ AP ⋅ BP = MP ⋅ NP = 2 3−2 2 2 3+2 2 =4.
NP BP
1
又S = PA ⋅ PC ⋅sin∠APC = 2 PA ⋅sin∠APC，S = 2 PB ⋅sin∠BPC，
PAC
2
PBC
且sin∠APC =sin∠BPC.
所以S ⋅S =2 PA ⋅ PB ⋅sin2∠APC =8sin2∠APC ≤8，
PAC PBC
当且仅当sin∠APC =1，即AB⊥CP时取“=”.故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求S ⋅S 的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出
△PAC △PBC
AP ⋅ BP 为定值，再结合三角形的面积公式求S ⋅S 的最大值.
△PAC △PBC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
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学科网（北京）股份有限公司12. 实数x、 y满足x2 + y2 =4，则( x−4 )2 +( y+3 )2的最大值是______．
【答案】49
【解析】
【分析】根据( x−4 )2 +( y+3 )2几何意义为圆上的点 ( x,y ) 与 ( 4,−3 ) 距离的平方，找出圆上的与 ( 4,−3 ) 的
最大值，再平方即可求解.
【详解】解：由题意知：设 p ( x,y ) ，A ( 4,−3 ) ，
( )
则 p x,y 为圆x2 + y2 =4上的点，
圆x2 + y2 =4的圆心 ,半径r =2，
𝑂𝑂(0,0)
则( x−4 )2 +( y+3 )2表示圆上的点 p ( x,y ) 与A ( 4,−3 ) 距离的平方，
又因为 PA = AO +r = ( 4−0 )2 +(−3−0 )2 +2=7,
max
所以 PA 2 =72 =49；
max
故( x−4 )2 +( y+3 )2的最大值是49.
故答案为：49.
13. 记ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=( 2c−b ) cosA，其中
π 2 21
B ≠ ，若ABC的面积S =2 3，BE =2EC，且 AE = ，则BC的长为______．
2 3
【答案】 57
【解析】
π
【分析】利用正弦定理对acosB=( 2c−b ) cosA化简，可得A= ，再由三角形面积公式求出bc=8，
3
1 2
根据题意写出AE = AB+ AC，等式两边平方后，可求出b,c的值，由余弦定理
3 3
a2 =b2 +c2 −2bccosA，求出BC的长.
【详解】acosB=( 2c−b ) cosA,
由正弦定理可得:sinAcosB=2sinCcosA−sinBcosA，
sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，
sin ( A+B )=2sinCcosA，
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学科网（北京）股份有限公司sin ( π−C )=2sinCcosA,
1 π
sinC =2sinCcosA(sinC >0)，即cosA= ,A= ，
2 3
1
S = bcsinA=2 3,得bc=8，
ABC
2
1 2 2 1 2 2
∵BE =2EC，∴AE = AB+ AC， AE = AB+ AC ，
3 3 3 3
28 1 4 4 b=4 b=1
即 = c2 + b2 + bccosA，由bc=8，解得 或 ，
3 9 9 9 c=2 c=8
根据余弦定理a2 =b2 +c2 −2bccosA，
b=4 π
当 时，a=2 3，此时B= ，不满足题意，
c=2 2
b=1
当 时，a= 57.
c=8
故答案为： 57 .
14. 如图，已知四面体ABCD的体积为9，E，F 分别为AB，BC的中点，G、H 分别在CD、AD
上，且G、H 是靠近D的三等分点，则多面体EFGHBD的体积为______．
7
【答案】 ##3.5
2
【解析】
【分析】多面体EFGHBD的体积为三棱锥G−DEH 与四棱锥E−BFGD的体积之和，根据体积之比与底
面积之比高之比的关系求解即可.
【详解】
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司连接ED，EG，
1
因为H 为 上的靠近D的三分点，所以DH = AD，
3
因为E为𝐴𝐴𝐴𝐴的中点，所以点E到 的距离为点B到 的距离的一半，
1
所以S 𝐴𝐴𝐴𝐴= S ， 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴
DEH
6
BAD
又G为 上靠近D的三分点，
所以点G 𝐶𝐶𝐴𝐴到平面ABD的距离为点C到平面ABD的距离的 ，
1
1 1 1 1 1 3
所以V = V = × V = ×9= ，
G−DEH
6
G−BAD
6 3
C−BAD
18 2
1 2
S =S −S =S − S = S ，
四边形BFGD BCD FCG BCD
3
BCD
3
BCD
2 2 1 1
所以V = V = × V = ×9=3，
E−BFGD
3
E−BCD
3 2
A−BCD
3
1 7
所以多面体EFGHBD的体积为V +V = +3= .
G−DEH E−BFGD
2 2
7
故答案为： .
2
【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求
解.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取
100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为
13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
【答案】（1）14 （2）16
【解析】
【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.
（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.
【小问1详解】
100
样本中男生的人数为：900× =60；女生的人数为：100−60=40.
1500
60×13.2+40×15.2
所以总样本的平均数为：x= =14.
100
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司记总样本的方差为s2，
1 { }
则s2 = 60× 13.36+( 13.2−14 )2+40× 17.56+( 15.2−14 )2 =16.
100
所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.
16. 在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A的坐标为
(−4,2 )
，∠ACB的角平分线所在的直线方程
为x− y+1=0，AC边上中线BM 所在的直线方程为2x+ y−2=0．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【答案】（1）C(3,4)；
（2）7x−2y−13=0.
【解析】
m−4 m+3
【分析】（1）设C(m,m+1)，则M( , )，代入2x+ y−2=0，求解即可；
2 2
（2）设直线BC的方程为：x+ny−3−4n=0，在直线x− y+1=0取点P(0,1)，利用点P到直线AC的
距离等于点P到直线BC的距离，求解即可.
【小问1详解】
解：由题意可知点C在直线x− y+1=0上，
所以设C(m,m+1)，
m−4 m+3
所以AC中点M( , )，
2 2
m−4 m+3
又因为点M( , )在直线2x+ y−2=0上，
2 2
m+3
所以m−4+ −2=0，解得m=3，
2
所以C(3,4)；
【小问2详解】
解：因为C(3,4)，
设直线BC的方程为：x+ny−3−4n=0，
又因为A(−4,2)，
所以直线AC的方程为：2x−7y+22=0，
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学科网（北京）股份有限公司又因为∠ACB的角平分线所在的直线方程为x− y+1=0，
在直线x− y+1=0取点P(0,1)，
则点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，
15 |3+3n|
即有 = ，整理得14n2 +53n+14=0，
53 1+n2
7 2
解得：n=− 或n=− ，
2 7
7
当n=− 时，所求方程即为直线AC的方程，
2
2
所以n=− ，
7
所以直线BC的方程为： 7x−2y−13=0.
17. 直三棱柱ABC−ABC 中，AB= AC = AA =2，其中E,F,D分别为棱BC,BB,AC 的中点，已
1 1 1 1 1 1 1
知AF ⊥ AC ，
1 1
（1）求证：AF ⊥DE；
（2）设平面EFD与平面ABC的交线为直线m，求直线AC与直线m所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
2 13
（2）
13
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）取AB的中点G，连接EG,AG证得四边形ADEG为平行四边形，得到DE//AG，利用
1 1
AAG≌ABF ，证得∠AHG =90，得到AF ⊥ AG，即可证得AF ⊥DE；
1 1
（2）根据题意，证得AC ⊥平面ABB A ，得到AC ⊥ AB ，以A为原点，建立空间直角坐标系，求得
1 1 1 1 1 1 1 1
AC =(0,2,0)，再取AC的中点M ，延长MB,DF交于点N ，得到直线AC与直线m所成角，即为直线
AC与直线EN 所成角，求得N(4,−1,0)，得到EN =(3,−2,0)，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：取AB的中点G，连接EG,AG，
1
1
因为E的中点，可得EG//AC，且EG = AC，
2
1
又因为AD//AC，且AD= AC，所以EG//AD，且EG = AD，
1 1 2 1 1
所以四边形ADEG 为平行四边形，所以DE//AG，
1
在正方形ABB A 中，可得AAG≌ABF ，所以∠AGA=∠AFB，
1 1 1 1
因为∠AFB+∠AFB=90，所以∠AFB+∠AGA=90，
1
在AGH 中，可得∠AHG =90，所以AF ⊥ AG，
1
又因为DE//AG，所以AF ⊥DE.
1
【小问2详解】
解：在直三棱柱ABC−ABC 中，可得AA ⊥平面ABC ，
1 1 1 1 1 1 1
因为AC ⊂平面ABC ，所以AA ⊥ AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又因为AF ⊥ AC ，且AA ∩ AF = A，AA,AF ⊂平面ABB A ，所以AC ⊥平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为AB ⊂平面ABB A ，所以AC ⊥ AB ，
1 1 1 1 1 1 1 1
即直三棱柱ABC−ABC 的底面为等腰直角三角形，
1 1 1
以A为原点，以AB,AC,AA所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
1
如图所示，因为AB= AC = AA =2，可得A(0,0,0),C(0,2,0)，则AC =(0,2,0)，
1
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学科网（北京）股份有限公司取AC的中点M ，连接MB,DM ，可得DM //CC 且DM =CC ，
1 1
1
因为BB //DD 且BB = DD ，所以BF //DM ，且BF = DM ，
1 1 1 1
2
延长MB,DF交于点N ，可得B为MN的中点，
连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC的交线，
所以直线AC与直线m所成角，即为直线AC与直线EN 所成角，
又由M(0,1,0),B(2,0,0),E(1,1,0)，
设N(x,y,z)，可得MB= BN ，即(2,−1,0)=(x−2,y,z)，
可得x=4,y =−1,z =0，所以N(4,−1,0)，可得EN =(3,−2,0)，
设直线EN 与直线AC所成角为θ，
AC⋅EN
4 2 13
可得cosθ= cosAC,EN = = = ，
AC EN 2× 13 13
2 13
即直线AC与直线m所成角的余弦值为 .
13
1
18. 已知圆C：x2 + y2 −4y+3=0，过直线l： y = x上的动点M 作圆C的切线，切点分别为P，
2
Q．
π
（1）当∠PMQ= 时，求出点M 的坐标；
3
（2）经过M ，P，C三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段PQ的中点N 的轨迹方程．
8 4
【答案】（1）(0,0)或( , )
5 5
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学科网（北京）股份有限公司4 2
（2）过定点(0,2)或( , )
5 5
1 7
（3）x2 + y2 − x− y+3=0
4 2
【解析】
【分析】（1）点M 在直线l上，设M(2m,m)，由对称性可知∠CMP=30，可得MC =2，从而可得点
M 坐标．
m
（2）MC 的中点Qm, +1，因为MP是圆P的切线，进而可知经过C，P，M三点的圆是以Q为圆
2
心，以MC为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到
结果；
1 3
（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ的方程，且得直线PQ过定点R , ，由几何性质得
4 2
MN ⊥ RN ，即点N在以MR为直径的圆上，进而可得结果.
【小问1详解】
（1）
直线l的方程为x−2y =0，点M 在直线l上，设M(2m,m)，
π
因为∠PMQ= ，由对称性可得：由对称性可知∠CMP=30，
3
由题CP =1所以MC =2，所以(2m)2 +(m−2)2 =4，
4 8 4
解之得：m =0,m = 故所求点M 的坐标为(0,0)或( , )．
5 5 5
【小问2详解】
m
设M(2m,m)，则MC 的中点E(m, +1)，因为MP是圆C的切线，
2
所以经过C,P,M 三点的圆是以Q为圆心，以ME为半径的圆，
m m
故圆E方程为：(x−m)2 +(y− −1)2 =m2 +( −1)2
2 2
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学科网（北京）股份有限公司化简得：x2 + y2 −2y−m(2x+ y−2)=0，此式是关于m的恒等式，
4
x=
x2 + y2 −2y =0, x=0 5
故{ 解得 或 ,
2x+ y−2=0, y =2
2
y =
5
4 2
所以经过C,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或( , )．
5 5
【小问3详解】
x2 + y2 −2mx−( m+2 ) y+2m=0,
由
x2 + y2 −4y+3=0
可得PQ：2mx+( m−2 ) y+3−2m=0，即m ( 2x+ y−2 )−2y+3=0，
2x+ y−2=0, 1 3
由 可得PQ过定点R , .
2y−3=0 4 2
因为N为圆E的弦PQ的中点，所以MN ⊥ PQ，即MN ⊥ RN ，
故点N在以MR为直径的圆上，
1 7
点N的轨迹方程为x2 + y2 − x− y+3=0.
4 2
19. 四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB =2BC =2CD =4，侧面PAD为正三角形；
（1）当BD⊥ PD时，线段PB上是否存在一点Q，使得直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值为
2 PQ
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
4 QB
（2）当PD与平面BCD所成角最大时，求三棱锥P−BCD的外接球的体积．
【答案】（1）存在；1.
52 39
（2） π
27
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先证平面PAD⊥平面ABCD，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向
量，结合线面角的求法确定点Q的位置.
（2）根据PD与平面BCD所成角最大，确定平面PAD⊥平面ABCD，利用（1）中的图形，设三棱锥
P−BCD的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.
【小问1详解】
因为底面ABCD为等腰梯形，AB =2BC =2CD =4，
所以∠BAD=60°，∠BCD=120°，∠CBD=∠ABD=30°，所以∠ADB=90°.
所以BD⊥ AD，
又BD⊥ PD，AD,PD⊂平面PAD，且ADPD= D，所以BD⊥平面PAD.
又BD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
取AD中点O，因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥ AD，
平面PAD∩平面ABCD= AD，
所以PO⊥平面ABCD.
再取AB中点E，连接OE，则OE//BD，所以OE ⊥ AD.
所以可以O为原点，建立如图空间直角坐标系.
( ) ( ) ( ) ( )
则O ( 0,0,0 ) ，A ( 1,0,0 ) ，D (−1,0,0 ) ，E 0, 3,0 ，B −1,2 3,0 ，P 0,0, 3 ，C −2, 3,0 .
( )
PB= −1,2 3，− 3 .
( )
设PQ=λPB，可得Q −λ，2 3λ，3 ( 1−λ)
( )
所以AQ= −λ−1,2 3λ，3 ( 1−λ) ，取平面ABCD的法向量n =( 0,0,1 ) .
2
因为AQ与平面ABCD所成角的正弦值为 ，
4
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AQ⋅n
3
( 1−λ)
2 1
所以 = = ，解得λ= 或λ=5（舍去）.
AQ ⋅ n (λ+1 )2 +12λ2 +3 ( 1−λ)2 4 2
2 PQ
所以：线段PB上存在一点Q，使得直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值为 ，此时 =1.
4 QB
【小问2详解】
当平面PAD⊥平面ABCD时, PD与平面BCD所成角为∠PDA.
当平面PAD与平面ABCD不垂直时，过P做PH ⊥平面ABCD，连接HD，
则∠PDH 为PD与平面BCD所成角，因为PH < PO，
PH PO
sin∠PDH = ，sin∠PDA= ，sin∠PDH
