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西北狼教育联盟2024 年秋季开学学业调研数学高二评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
B
D
C
B
C
题号
9
10
11
12
13
14
答案
AC
BC
ACD
10
4 6
8,24
−
7.【解析】 依题意得
45
MAB
=
，
180
75
105
MBA =
−
=
，
在 中，
600 15
9000
AB =
=
米，
180
45
105
30
AMB =
−
−
=
，
由正弦定理得sin 45
sin30
BM
AB
=
，得
2
9000
2
9000 2
1
2
BM
=
=
米，
又
sin 75
9000 2 sin(45
30 )
BM
=
+
9000 2(sin 45 cos30
cos45 sin30 )
=
+
2
3
2
1
9000 2(
)
2
2
2
2
=
+
3
1
9000(
)
2
2
=
+
4500( 3
1)
=
+
所以该山顶的海拔高度为16000
sin 75
BM
−
16000
4500( 3
1)
=
−
+
11500
4500 3
=
−
11500
4500 1.732
−
= 3706米.故选：B
8.【详解】因为𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为𝐶𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以𝐶𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +
3𝑦𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ，
因为𝐴, 𝐷, 𝐸三点共线，所以𝑥+ 3𝑦= 1，𝑥> 0, 𝑦> 0，
所以
2
𝑥+
6
𝑦= (
2
𝑥+
6
𝑦) ⋅(𝑥+ 3𝑦) = 20 +
6𝑦
𝑥+
6𝑥
𝑦≥20 + 2√
6𝑦
𝑥×
6𝑥
𝑦= 20 + 12 = 32，
当且仅当
6𝑦
𝑥=
6𝑥
𝑦，即𝑥= 𝑦=
1
4时取等号，所以
2
𝑥+
6
𝑦的最小值是32.
故选：C
11.【解析】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，
因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3 倍，底面扇环所对的圆心角为π
2 ，
所以π
π
3
2
2
R
r
=
，解得
3
R
r
=
，所以
2
2
CD
R
r
r
=
−
=
=
，可得
3,
1
R
r
=
= ，
所以弧的AD 的长度为3π
2 ，所以A 正确；
AMB
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该曲池的体积为
2
2
1
1
1
9
1
(
π
π
)
(
π
π) 5
10π
4
4
4
4
V
R
r
AA
=
−
=
−
=
，所以B 不正确；
曲池的表面积为
2
2
1
1
1
1
1
(
2π
2π )
2
2
π(
)
4
4
4
S
R
r
AA
CD
AA
R
r
=
+
+
+
−
2
2
1
1
π (3 1) 5
2 2 5
π(3
1 )
20 14π
2
2
=
+
+ +
−
=
+
，所以C 正确；
三棱锥
1
A
CC D
−
的体积为
1
1
1
1
1
2 5 3
5
2
3
2
A CC D
CD D
V
S
R
−
=
=
= ，所以D 正确.
故选：ACD.
13.【详解】其中，O 是球心，E 是圆锥的顶点，EC 是圆锥的母线，
由题意可知
3
4 π
36π
3 R =
，解得
3
R =
，
由于圆柱的高为2，
1
OD = ，
3 1
2
DE =
−=
，
2
2
3
1
2 2
DC =
−
=
，
母线
2
2
8
2 3
EC =
+
=
，
∴圆锥的侧面积为
π
2 2
2 3π
4 6π
S
DC EC
=
=
=
．
故答案为：4 6π
14.【解析】如图，以点A 为原点，分别以
,
AB AD 所在直线为,x y 轴建立坐标系.
因
|
| |
| cos
,
4 |
| cos
,
AP AB
AP
AB
AP AB
AP
AP AB
=
=
，
而|
| cos
,
AP
AP AB
表示AP 在AB 方向上的投影向量的数量，
由图不难发现，设过正方形的中心作与x 轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点
1
2
,
P P ，
则当点P 与点
1P 重合时，投影向量的数量最大，当点P 与点
2P 重合时，投影向量的数量最
小.
易得
1
2
(6,2),
( 2,2)
P
P −
，则|
| cos
,
AP
AP AB
的最大值为6，最小值为2
−，
故8
24
AP AB
−
.
四、解答题
15.（本小题满分13 分）
解 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)，
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则z2＝a2－b2＋2abi，…………………………………………………….…….2 分
由题意得a2＋b2＝2 …………………………………………………….…….4 分
且2ab＝2， ……………………………………………………..…….5 分
解得a＝b＝1 或a＝b＝－1，………………………………………………….6 分
所以z＝1＋i 或z＝－1－i. ………………………………………………….….7 分
(2)因为A 位于第一象限，所以z＝1＋i，…………………………..….…….8 分
z2＝2i， ……………………………………………………….9 分
z－z2＝1－i，………………………………………………..…………….…….10 分
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)， …………………………………..….12 分
所以S△ABC＝1. ……………………………………….13 分
16. （本小题满分15 分）
(1)在四棱锥P-ABCD 中，连接AC
BD
O
=
，连EO ，如图，…………..….1 分
因四边形ABCD 是菱形，则O 是AC 的中点，而E 是PA 的中点，
则
/ /
PC
EO ， …………..….4 分
又EO 平面EBD ，PC 平面EBD ，
所以
/ /
PC
平面EBD . …………..….7 分
(2)在正PAD 中，F 是线段AD 的中点，则PF
AD
⊥
，而平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD
AD
=
，
PF 平面PAD ，因此，PF ⊥平面ABCD ，…………..….9 分
且
3
3
3
2
2
PF
AD
AB
=
=
=
， …………..….11 分
在菱形ABCD 中，
120
ABC
=
，则
60
BAD
=
，
ABD
△
是正三角形，BF
AD
⊥
，
3
BF =
， …………..….13 分
显然四边形DFBC 是直角梯形，其面积为
1
1
3 3
(
)
(1
2)
3
2
2
2
DFBC
S
DF
BC BF
=
+
=
+
=
，
所以四棱锥P
DFBC
−
的体积
1
1
3 3
3
3
3
3
2
2
DFBC
V
S
PF
=
=
=
.…………..….15 分
17（本小题满分15 分）
解：（1）由频率分布直方图可得
0.04+0.08+𝑎+ 0.20 + 0.26 + 𝑎+ 𝑏+ 0.04 + 0.02 = 1，.…………..….1 分
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又0.4𝑎= 𝑏，则𝑎= 0.15，𝑏= 0.06， .…………..…...3 分
该市居民用水的平均数估计为：
𝑥= 0.5 × 0.04 + 1.5 × 0.08 + 2.5 × 0.15 + 3.5 × 0.20 + 4.5 × 0.26
+5.5 × 0.15 + 6.5 × 0.06 + 7.5 × 0.04 + 8.5 × 0.02 = 4.07；.…………..6 分
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2 吨的频率为：0.04 + 0.08 = 0.12，
则月均用水量不低于2 吨的频率为：1 −0.12 = 0.88，.…………..….8 分
所以全市40 万居民中月均用水量不低于2 吨的人数为：
40 × 0.88 = 35.2（万）； .…………..….10 分
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6 吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5 吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准𝑥（吨），5 < 𝑥< 6，.…………..….12 分
∴0.73 + 0.15(𝑥−5) = 0.85 ，解得𝑥= 5.8，
即标准为5.8 吨. .……………….….15 分
18（本小题满分17 分）
（1）因为sin𝐴−sin𝐶=
𝑏
𝑎+𝑐(sin𝐵−sin𝐶)，
所以𝑎−𝑐=
𝑏
𝑎+𝑐(𝑏−𝑐)， .……………….….2 分
得𝑏2 + 𝑐2 −𝑎2 = 𝑏𝑐， .……………….….3 分
所以cos𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=
1
2， .……………….….5 分
因为𝐴∈(0, 𝜋)，所以𝐴=
𝜋
3. .……………….….7 分
（2）分三种情况求解：
选择①𝑎= 3，因为𝐴=
𝜋
3 , 𝑎= 3，
由正弦定理得
𝑏
sin𝐵=
𝑐
sin𝐶=
𝑎
sin𝐴= 2√3， .……………….….9 分
即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2√3sin𝐵+ 2√3sin𝐶+ 3 .……………….….10 分
𝑙= 2√3sin𝐵+ 2√3sin (
2𝜋
3 −𝐵) + 3 .……………...….11 分
= 3√3sin𝐵+ 3cos𝐵+ 3 .……………….….13 分
= 6sin (𝐵+
𝜋
6) + 3， .………………..….14 分
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因为𝐵∈(0,
2𝜋
3 )，所以
𝜋
6 < 𝐵+
𝜋
6 <
5𝜋
6 ,
1
2 < sin(𝐵+
𝜋
6) ⩽1，.……………….….16 分
即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是(6,9]. .……………….….17 分
选择②𝑏= 3,因为𝐴=
𝜋
3 , 𝑏= 3，
由正弦定理得𝑎=
3√3
2sin𝐵, .……………...….….8 分
𝑐=
3sin𝐶
sin𝐵=
3sin(2𝜋
3 −𝐵)
sin𝐵
=
3√3cos𝐵
2sin𝐵+
3
2 .………………….….11 分
即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐=
3√3
2sin𝐵+
3√3cos𝐵
2sin𝐵+
9
2 .………………….….12 分
= 3√3(1 + cos𝐵)
2sin𝐵
+ 9
2 =
6√3cos2 𝐵
2
4sin 𝐵
2 cos 𝐵
2
+ 9
2
=
3√3
2tan𝐵
2
+
9
2， .………………….….15 分
因为𝐵∈(0,
2𝜋
3 )，所以0 <
𝐵
2 <
𝜋
3，所以0 < tan
𝐵
2 < √3，.………………….….16 分
即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是(6, +∞). .………………….….17 分
选择③𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3√3.
因为𝐴=
𝜋
3 , 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝑏𝑐sin𝐴= √3
4 𝑏𝑐= 3√3， .………………….….8 分
得𝑏𝑐= 12， .………………….….9 分
由余弦定理得𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −𝑏𝑐= (𝑏+ 𝑐)2 −3𝑏𝑐= (𝑏+ 𝑐)2 −36，.…………….12 分
即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= √(𝑏+ 𝑐)2 −36 + 𝑏+ 𝑐， .………………….13 分
因为𝑏+ 𝑐⩾2√𝑏𝑐= 4√3，当且仅当𝑏= 𝑐= 2√3时等号成立，.……………….….15 分
所以𝑙⩾√(4√3)2 −36 + 4√3 = 6√3. .…………………….16 分
即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是[6√3, +∞). .…………………….….17 分
19．（本小题满分17 分）
【解】（1）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
−
中，
1
AA ⊥平面ABC，
,
AC AB 平面ABC，
则
1
AA
AC
⊥
，
1
AA
AB
⊥
，所以点A 的曲率为
π
2π
π
2
2
3
2
BAC
−
−
=
，.…………1 分
所以
π
3
BAC
=
．因为AB
AC
=
，所以△ABC 为正三角形． .………………….….2 分
因为N 为AB 的中点，所以CN
AB
⊥
． .………………….….3 分
又
1
AA ⊥平面ABC，CN 平面ABC，所以
1
AA
CN
⊥
， .………………….….4 分
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因为
1
AA
AB
A
=
，
1
AA
AB
、
平面
1
1
ABB A ，所以CN ⊥平面
1
1
ABB A ．.……….….5 分
（2）取
1
AB 的中点D，连接DM，DN．
因为N 为AB 的中点，所以
1
/ /
DN
BB 且
1
1
2
DN
BB
=
．.………………….….6 分
又
1
/ /
CM
BB 且
1
1
2
CM
BB
=
，所以
/ /
DN
CM 且DN
CM
=
，.…………..….7 分
所以四边形CNDM 为平行四边形，则
/ /
DM
CN ． .…………….….8 分
由（1）知CN ⊥平面
1
1
ABB A ，则DM ⊥平面
1
1
ABB A ． .…………….….9 分
又DM 平面
1
AMB ，所以平面
1
AMB ⊥平面
1
1
ABB A ． .…………….…10 分
（3）取BC 的中点F，连接AF，则AF
BC
⊥
． .…………….…11 分
因为
1
BB ⊥平面ABC，AF 平面ABC，所以
1
BB
AF
⊥
，
因为
1
BB
BC
B
=
，
1
BB
BC
、
平面
1
1
BB C C ，所以AF ⊥平面
1
1
BB C C ．…….…12 分
又
1
B M 平面
1
1
BB C C ，所以
1
AF
B M
⊥
，过F 作
1
B M 的垂线，垂足为H，连接AH，
则
1B M
FH
⊥
，又
,
AF
FH
F AF
FH
=
、
平面AFH ，所以
1
B M ⊥平面AFH ，.…13 分
又AH 平面AFH ，
1
AH
B M
⊥
，
所以∠AHF 为二面角
1
1
A
MB
C
−
−
的平面角的补角． .…………….…14 分
设
1
B M
BC
E
=
，
2
AB =
，则
3
AF =
，
1
2
3
EF = +
=
，
2 2
ME =
．
由等面积法可得1
1
2
2
ME FH
EF CM
=
，则
3 2
3
2 2
2
EF CM
FH
ME
=
=
=
，
则
6
tan
3
AF
AHF
FH
=
=
， .…………….…16 分
故二面角
1
1
A
MB
C
−
−
的正切值为
6
3
−
． .…………….…17 分
