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学科网（北京）股份有限公司 西北狼教育联盟2024 年秋季开学学业调研数学高二评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A B D C B C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC BC ACD 10 4 6 8,24 − 7.【解析】 依题意得 45 MAB = ， 180 75 105 MBA = − = ， 在 中， 600 15 9000 AB = = 米， 180 45 105 30 AMB = − − = ， 由正弦定理得sin 45 sin30 BM AB = ，得 2 9000 2 9000 2 1 2 BM = = 米， 又 sin 75 9000 2 sin(45 30 ) BM = + 9000 2(sin 45 cos30 cos45 sin30 ) = + 2 3 2 1 9000 2( ) 2 2 2 2 = + 3 1 9000( ) 2 2 = + 4500( 3 1) = + 所以该山顶的海拔高度为16000 sin 75 BM − 16000 4500( 3 1) = − + 11500 4500 3 = − 11500 4500 1.732 − = 3706米.故选：B 8.【详解】因为𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为𝐶𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以𝐶𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑦𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为𝐴, 𝐷, 𝐸三点共线，所以𝑥+ 3𝑦= 1，𝑥> 0, 𝑦> 0， 所以 2 𝑥+ 6 𝑦= ( 2 𝑥+ 6 𝑦) ⋅(𝑥+ 3𝑦) = 20 + 6𝑦 𝑥+ 6𝑥 𝑦≥20 + 2√ 6𝑦 𝑥× 6𝑥 𝑦= 20 + 12 = 32， 当且仅当 6𝑦 𝑥= 6𝑥 𝑦，即𝑥= 𝑦= 1 4时取等号，所以 2 𝑥+ 6 𝑦的最小值是32. 故选：C 11.【解析】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ， 因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3 倍，底面扇环所对的圆心角为π 2 ， 所以π π 3 2 2 R r = ，解得 3 R r = ，所以 2 2 CD R r r = − = = ，可得 3, 1 R r = = ， 所以弧的AD 的长度为3π 2 ，所以A 正确； AMB 学科网（北京）股份有限公司 该曲池的体积为 2 2 1 1 1 9 1 ( π π ) ( π π) 5 10π 4 4 4 4 V R r AA = − = − = ，所以B 不正确； 曲池的表面积为 2 2 1 1 1 1 1 ( 2π 2π ) 2 2 π( ) 4 4 4 S R r AA CD AA R r = + + + − 2 2 1 1 π (3 1) 5 2 2 5 π(3 1 ) 20 14π 2 2 = + + + − = + ，所以C 正确； 三棱锥 1 A CC D − 的体积为 1 1 1 1 1 2 5 3 5 2 3 2 A CC D CD D V S R − = = = ，所以D 正确. 故选：ACD. 13.【详解】其中，O 是球心，E 是圆锥的顶点，EC 是圆锥的母线， 由题意可知 3 4 π 36π 3 R = ，解得 3 R = ， 由于圆柱的高为2， 1 OD = ， 3 1 2 DE = −= ， 2 2 3 1 2 2 DC = − = ， 母线 2 2 8 2 3 EC = + = ， ∴圆锥的侧面积为 π 2 2 2 3π 4 6π S DC EC = = = ． 故答案为：4 6π 14.【解析】如图，以点A 为原点，分别以 , AB AD 所在直线为,x y 轴建立坐标系. 因 | | | | cos , 4 | | cos , AP AB AP AB AP AB AP AP AB = = ， 而| | cos , AP AP AB 表示AP 在AB 方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与x 轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点 1 2 , P P ， 则当点P 与点 1P 重合时，投影向量的数量最大，当点P 与点 2P 重合时，投影向量的数量最 小. 易得 1 2 (6,2), ( 2,2) P P − ，则| | cos , AP AP AB 的最大值为6，最小值为2 −， 故8 24 AP AB − . 四、解答题 15.（本小题满分13 分） 解 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)， 学科网（北京）股份有限公司 则z2＝a2－b2＋2abi，…………………………………………………….…….2 分 由题意得a2＋b2＝2 …………………………………………………….…….4 分 且2ab＝2， ……………………………………………………..…….5 分 解得a＝b＝1 或a＝b＝－1，………………………………………………….6 分 所以z＝1＋i 或z＝－1－i. ………………………………………………….….7 分 (2)因为A 位于第一象限，所以z＝1＋i，…………………………..….…….8 分 z2＝2i， ……………………………………………………….9 分 z－z2＝1－i，………………………………………………..…………….…….10 分 所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)， …………………………………..….12 分 所以S△ABC＝1. ……………………………………….13 分 16. （本小题满分15 分） (1)在四棱锥P-ABCD 中，连接AC BD O = ，连EO ，如图，…………..….1 分 因四边形ABCD 是菱形，则O 是AC 的中点，而E 是PA 的中点， 则 / / PC EO ， …………..….4 分 又EO 平面EBD ，PC 平面EBD ， 所以 / / PC 平面EBD . …………..….7 分 (2)在正PAD 中，F 是线段AD 的中点，则PF AD ⊥ ，而平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD = ， PF 平面PAD ，因此，PF ⊥平面ABCD ，…………..….9 分 且 3 3 3 2 2 PF AD AB = = = ， …………..….11 分 在菱形ABCD 中， 120 ABC = ，则 60 BAD = ， ABD △ 是正三角形，BF AD ⊥ ， 3 BF = ， …………..….13 分 显然四边形DFBC 是直角梯形，其面积为 1 1 3 3 ( ) (1 2) 3 2 2 2 DFBC S DF BC BF = + = + = ， 所以四棱锥P DFBC − 的体积 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 DFBC V S PF = = = .…………..….15 分 17（本小题满分15 分） 解：（1）由频率分布直方图可得 0.04+0.08+𝑎+ 0.20 + 0.26 + 𝑎+ 𝑏+ 0.04 + 0.02 = 1，.…………..….1 分 学科网（北京）股份有限公司 又0.4𝑎= 𝑏，则𝑎= 0.15，𝑏= 0.06， .…………..…...3 分 该市居民用水的平均数估计为： 𝑥= 0.5 × 0.04 + 1.5 × 0.08 + 2.5 × 0.15 + 3.5 × 0.20 + 4.5 × 0.26 +5.5 × 0.15 + 6.5 × 0.06 + 7.5 × 0.04 + 8.5 × 0.02 = 4.07；.…………..6 分 （2）由频率分布直方图可得， 月均用水量不超过2 吨的频率为：0.04 + 0.08 = 0.12， 则月均用水量不低于2 吨的频率为：1 −0.12 = 0.88，.…………..….8 分 所以全市40 万居民中月均用水量不低于2 吨的人数为： 40 × 0.88 = 35.2（万）； .…………..….10 分 （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6 吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5 吨的频率为0.73， 则85%的居民每月的用水量不超过的标准𝑥（吨），5 < 𝑥< 6，.…………..….12 分 ∴0.73 + 0.15(𝑥−5) = 0.85 ，解得𝑥= 5.8， 即标准为5.8 吨. .……………….….15 分 18（本小题满分17 分） （1）因为sin𝐴−sin𝐶= 𝑏 𝑎+𝑐(sin𝐵−sin𝐶)， 所以𝑎−𝑐= 𝑏 𝑎+𝑐(𝑏−𝑐)， .……………….….2 分 得𝑏2 + 𝑐2 −𝑎2 = 𝑏𝑐， .……………….….3 分 所以cos𝐴= 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑏𝑐 = 1 2， .……………….….5 分 因为𝐴∈(0, 𝜋)，所以𝐴= 𝜋 3. .……………….….7 分 （2）分三种情况求解： 选择①𝑎= 3，因为𝐴= 𝜋 3 , 𝑎= 3， 由正弦定理得 𝑏 sin𝐵= 𝑐 sin𝐶= 𝑎 sin𝐴= 2√3， .……………….….9 分 即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2√3sin𝐵+ 2√3sin𝐶+ 3 .……………….….10 分 𝑙= 2√3sin𝐵+ 2√3sin ( 2𝜋 3 −𝐵) + 3 .……………...….11 分 = 3√3sin𝐵+ 3cos𝐵+ 3 .……………….….13 分 = 6sin (𝐵+ 𝜋 6) + 3， .………………..….14 分 学科网（北京）股份有限公司 因为𝐵∈(0, 2𝜋 3 )，所以 𝜋 6 < 𝐵+ 𝜋 6 < 5𝜋 6 , 1 2 < sin(𝐵+ 𝜋 6) ⩽1，.……………….….16 分 即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是(6,9]. .……………….….17 分 选择②𝑏= 3,因为𝐴= 𝜋 3 , 𝑏= 3， 由正弦定理得𝑎= 3√3 2sin𝐵, .……………...….….8 分 𝑐= 3sin𝐶 sin𝐵= 3sin(2𝜋 3 −𝐵) sin𝐵 = 3√3cos𝐵 2sin𝐵+ 3 2 .………………….….11 分 即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3√3 2sin𝐵+ 3√3cos𝐵 2sin𝐵+ 9 2 .………………….….12 分 = 3√3(1 + cos𝐵) 2sin𝐵 + 9 2 = 6√3cos2 𝐵 2 4sin 𝐵 2 cos 𝐵 2 + 9 2 = 3√3 2tan𝐵 2 + 9 2， .………………….….15 分 因为𝐵∈(0, 2𝜋 3 )，所以0 < 𝐵 2 < 𝜋 3，所以0 < tan 𝐵 2 < √3，.………………….….16 分 即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是(6, +∞). .………………….….17 分 选择③𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3√3. 因为𝐴= 𝜋 3 , 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝑏𝑐sin𝐴= √3 4 𝑏𝑐= 3√3， .………………….….8 分 得𝑏𝑐= 12， .………………….….9 分 由余弦定理得𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −𝑏𝑐= (𝑏+ 𝑐)2 −3𝑏𝑐= (𝑏+ 𝑐)2 −36，.…………….12 分 即△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= √(𝑏+ 𝑐)2 −36 + 𝑏+ 𝑐， .………………….13 分 因为𝑏+ 𝑐⩾2√𝑏𝑐= 4√3，当且仅当𝑏= 𝑐= 2√3时等号成立，.……………….….15 分 所以𝑙⩾√(4√3)2 −36 + 4√3 = 6√3. .…………………….16 分 即△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是[6√3, +∞). .…………………….….17 分 19．（本小题满分17 分） 【解】（1）在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C − 中， 1 AA ⊥平面ABC， , AC AB 平面ABC， 则 1 AA AC ⊥ ， 1 AA AB ⊥ ，所以点A 的曲率为 π 2π π 2 2 3 2 BAC − − = ，.…………1 分 所以 π 3 BAC = ．因为AB AC = ，所以△ABC 为正三角形． .………………….….2 分 因为N 为AB 的中点，所以CN AB ⊥ ． .………………….….3 分 又 1 AA ⊥平面ABC，CN 平面ABC，所以 1 AA CN ⊥ ， .………………….….4 分 学科网（北京）股份有限公司 因为 1 AA AB A = ， 1 AA AB 、 平面 1 1 ABB A ，所以CN ⊥平面 1 1 ABB A ．.……….….5 分 （2）取 1 AB 的中点D，连接DM，DN． 因为N 为AB 的中点，所以 1 / / DN BB 且 1 1 2 DN BB = ．.………………….….6 分 又 1 / / CM BB 且 1 1 2 CM BB = ，所以 / / DN CM 且DN CM = ，.…………..….7 分 所以四边形CNDM 为平行四边形，则 / / DM CN ． .…………….….8 分 由（1）知CN ⊥平面 1 1 ABB A ，则DM ⊥平面 1 1 ABB A ． .…………….….9 分 又DM 平面 1 AMB ，所以平面 1 AMB ⊥平面 1 1 ABB A ． .…………….…10 分 （3）取BC 的中点F，连接AF，则AF BC ⊥ ． .…………….…11 分 因为 1 BB ⊥平面ABC，AF 平面ABC，所以 1 BB AF ⊥ ， 因为 1 BB BC B = ， 1 BB BC 、 平面 1 1 BB C C ，所以AF ⊥平面 1 1 BB C C ．…….…12 分 又 1 B M 平面 1 1 BB C C ，所以 1 AF B M ⊥ ，过F 作 1 B M 的垂线，垂足为H，连接AH， 则 1B M FH ⊥ ，又 , AF FH F AF FH = 、 平面AFH ，所以 1 B M ⊥平面AFH ，.…13 分 又AH 平面AFH ， 1 AH B M ⊥ ， 所以∠AHF 为二面角 1 1 A MB C − − 的平面角的补角． .…………….…14 分 设 1 B M BC E = ， 2 AB = ，则 3 AF = ， 1 2 3 EF = + = ， 2 2 ME = ． 由等面积法可得1 1 2 2 ME FH EF CM = ，则 3 2 3 2 2 2 EF CM FH ME = = = ， 则 6 tan 3 AF AHF FH = = ， .…………….…16 分 故二面角 1 1 A MB C − − 的正切值为 6 3 − ． .…………….…17 分