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2024——2025 学年高二下学期期中考试
非篮球迷 45 10
数学试卷
附： ，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
考试范围：选择性必修一、二、三 命题人：王一森 时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每题所给出的 4 个选项中有且只有一个是符合题 k 2.706 3.841 6.635
意的。
A．有 90%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
1．已知数列{a }满足 ，则 是它的（ ） B．有 99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
n
C．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
A．第 6 项 B．第 7 项 C．第 8 项 D．第 9 项
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
2．设 A，B 为两个事件，若 ， ，则 P（A|B）等于（ ）
8．设等差数列{a }的前 n 项和为 S ，公差为 d，若 a +a ＞0，a ＜0，则下列结论不正确的是（ ）
n n 8 9 9
A． B． C． D．
A．d＜0
3．已知函数 f（x）＝ex+2x，则曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
B．当 n＝8 时，S 取得最大值
n
A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x
C．a +a +a ＞0
2 5 12
4．已知随机变量 ，若 E（X）＝2，则 P（X＝2）＝（ ） D．使得 S ＞0 成立的最大自然数 n 是 15
n
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每题所给出的 4 个选项中都有不止一个选项是
符 A． B． C． D．
合题意的，都选对得全分，部分选对得部分分，有错选不得分。
5．已知数列{a }为等比数列，其中 a ，a 为方程 x2+2025x+3＝0 的两根，则 a ＝（ ） 9．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
n 6 10 8
A． B． C． D．
A．线性回归方程 至少经过点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ）中的一个点
1 1 2 2 3 3 n n
6．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩 X ～N（ ， ），X ～N（ ， ），其中
1 1 2 2 1
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于 1
＜ ，σ ＞σ ，在同一直角坐标系中，X ，X 密度曲线的两个μ交点的横坐标为 x ，μ x ，且 x ＜x ，μ
2 1 2 1 2 1 2 1 2
C．若设直线回归方程为 ，则当变量 x 增加 1 个单位时， 平均增加 2 个单位
则μ（ ）
A．P（X ＜ ）＜P（X ＜ ） B．P（X ＜x ）＞P（X ＜x ） D．对具有线性相关关系的变量 x，y，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为（m，2.8），
1 1 2 2 1 2 2 2
C．P（X
1
＜xμ1 ）＞P（X
2
＜xμ1 ） D．P（X
1
＜
2
）＜P（X
2
＜
1
）
则实数 m 的值是﹣4．
μ μ
7．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
10．已知函数 f（x）＝x3﹣3x2，其导函数为 g（x），则（ ）
男生 女生 A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个互不相同的零点
篮球迷 30 15
第 1 页（共 2 页）C．方程 f（x）＝a 有三个不同解，则实数 a 的取值范围为（﹣4，0）
D．g（2﹣x）＝g（x）
11．已知数列{a }的前 n 项和 ，下列说法正确的是（ ）
n
A．a ＝2n+3
n
17．（本小题 15 分）已知函数 f（x）＝x3+ax2﹣3x，a R，且满足 f′（1）＝0．
B． 是公差为 1 的等差数列
∈
（1）求函数 f（x）的解析式；
C．数列{（﹣1）na }的前 2025 项和为﹣2023 （2）求函数 f（x）在区间 上的最大值与最小值．
n
D．数列 的前 n 项和
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 18．（本小题 17 分）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的 9 名选手来自于 3
个不同的班级，三个班级的选手人数分别是 2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名
12．若 （a 为正常数）的展开式中所有项的系数之和为 81，则展开式中的常数项为 ．
选手进行 8 场比赛，每场比赛采取 5 局 3 胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选
13．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了航模、无人机、Ai 技术等 5 门课程．分
出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以 3：0 或 3：
别安排在周一到周五，每天一节，其中 Ai 技术课不排在周一，航模和无人机课两天相邻的课程的安
1 取胜的选手积 3 分，失败的选手积 0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的选手积 2 分，失败的选手积 1
排方案种数为 ．
分．已知第 6 场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为 p（0＜p＜1）．
14．若函数 f（x）＝lnx﹣x﹣a 有两个零点，则 a 的取值范围是 ．
（1）若进入决赛的 9 名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
率是多少？
15．（本小题 13 分）已知{a }是各项均为正数的等比数列，a ＝1，且 a ，3a ，a 成等差数列．
n 1 3 2 4
（2）在第 6 场比赛中，当 时，设甲所得积分为 X，求 X 的分布列及期望；
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设 b ＝a +log a ，求数列{b }的前 n 项和． （3）在第 6 场比赛中，记甲 3：1 取胜的概率为 f（p），求 f（p）的最大值．
n n 2 n n
16．（本小题 15 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝3AB
＝6，PD＝2，点 M 在棱 PC 上．
19．（本小题 17 分）已知 A，B 分别为椭圆 C： 的左、右顶点， ，
（1）当 M 为 PC 上靠近点 P 的四等分点时，求证：PA∥平面 MBD；
M，N 均为椭圆 C 上异于顶点的点，H 为椭圆 C 上的点，直线 HM 经过左焦点 F ，直线 HN 经过
1
右 （2）若直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45°，当 M 为 PC 的中点时，求二面角 P﹣BD﹣M 的余
焦点 F （1，0）．
2
弦值．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）试问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．第 1 页（共 2 页）（3）设△HMN 的面积与△HF
1
F
2
的面积分别为 S△HMN ， ，求 的最小值．
第 1 页（共 2 页）高二下期中考试数学参考答案 则 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，6，0），P（0，0，2），M（0，3，1），
一．选择题（共 8 小题）
所以 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
设平面 PBD 的法向量为 （x ，y ，z ），
1 1 1
答案 B D B C D C A D
则 ，则 ，即 ，
二．多选题（共 3 小题）
题号 9 10 11 令 x ＝1，则 （1，﹣1，0），
1
设平面 MBD 的法向量为 （x ，y ，z ），
2 2 2
答案 BCD ACD ABD
三．填空题（共 3 小题）
则 ，则 ，即 ，
12．24．13．36．14．（﹣∞，﹣1）．
令 x ＝1，则 （1，﹣1，3），
2
四．解答题（共 5 小题）
15．解：（1）设正项等比数列{a }的公比为 q＞0，∵a ＝1，且 a ，3a ，a 成等差数列， 因为 ，
n 1 3 2 4
∴2×3a ＝a +a ，∴6 a +a q，化为：q2+q﹣6＝0，解得 q＝2．∴a ＝2n﹣1． 又二面角 P﹣BD﹣M 的平面角为锐角，
2 3 4 3 3 n
（2）b ＝a +log a ＝2n﹣1+n﹣1．∴数列{b }的前 n 项和 2n﹣1 ． 所以二面角 P﹣BD﹣M 的余弦值为 ．
n n 2 n n
16．解：（1）证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM，
因为 AB∥CD，所以△ABO∽△CDO，所以 ，
因为 M 为 PC 上靠近点 P 的四等分点，所以 ．
因为 ，所以 PA∥MO，因为 PA 平面 MBD，MO 平面 MBD，
所以 PA∥平面 MBD． ⊄ ⊂ 17．解：（1）因为 f（x）＝x3+ax2﹣3x（a R），所以 f'（x）＝3x2+2ax﹣3，
（2）因为 PD⊥平面 ABCD， 则 f′（1）＝3+2a﹣3＝2a＝0，得 a＝0，∈故 f（x）＝x3﹣3x．
所以∠PAD 为 PA 与底面 ABCD 所成的角，所以∠PAD＝45°， （2）令 f'（x）＝3x2﹣3＝0，得 x＝1 或 x＝﹣1，列表如下：
因为 PD＝2，所以 AD＝2，
x ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3）
由题意得 AD⊥DC，又 PD⊥平面 ABCD，
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
所以 DA，DC，DP 两两垂直，
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
第 1 页（共 2 页）所以函数 f（x）在区间 上单调递增，在区间（﹣1，1）上单调递减， 所以 f（p）在 处取得极大值，即最大值，
在区间（1，3）上单调递增，
所以 ．
所以 f（x）的极大值为 f（﹣1）＝2，极小值为 f（1）＝﹣2，
19．解：（1）依题意可得： ，解得 a2＝9b2＝8，所以椭圆 C 的标准方程
又因为 ，f（3）＝33﹣9＝18，
．
因此，函数 f（x）在区间[ ，3]上的最大值为 18，最小值为﹣2．
18．解：（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件 A，
则 ；
（2）依题意 X 的可能取值为 0，1，2，3，
所以 ，
（2）
P（X＝1） ，
易得 F （﹣1，0），F （1，0），设 M（x ，y ），N（x ，y ）当 H（x ，
1 2 1 1 2 2 0
y ）， ，
0
， ，
，
所以 X 的分布列为：
则 ，
X 0 1 2 3
P
所以 ，
所以 X 的期望为 ．
， 同 理 可 得 ， 则
（3）依题意 （0＜p＜1），
．
则 f'（p）＝3[3p2（1﹣p）+p3×（﹣1）]＝3p2（3﹣4p），
（3）由（2）易得 ．
令 f'（p）＝0，得 ，
由 ， 得 5tk＝ 7（ t+k） ﹣ 9． 因 为 t＞ 1， k＞ 1， 所 以
当 时，f′（p）＞0，f（p）在 上单调递增，
，
当 时，f'（p）＜0，f（p）在 上单调递减，
第 1 页（共 2 页）解得 或 tk≤1（舍去），当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/20 18:06:35；用户：王一森；邮箱：15149842802；学号：57458473
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