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宜春一中 2024—2025 学年第二学期高二年级期中考试 的等比数列，所以 ，所以
...................................................................................................6'
数学参考答案
（2）因为 ，所以 ................................13'
1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B
9.AB 10.ABC 16.【答案】(1) ；
(2)递增区间为 ，递减区间为 ，极大值 ，极小值 .
【详解】对于A，由 ，得 ，∴ ，故A正确；
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
对于B， ，
则 ，解得 ，于是 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以所求切线方程为： ，即 ............................6'
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
（2）由（1）知，函数 ，定义域为 ，求导得
∴ 是函数的极小值， 是函数的极大值，故B正确；
，
对于C，当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，再根据单调性可知，当
当 或 时， ，当 时， ，
时，方程 有且只有两个实根，所以C正确；
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减........................................................10'
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
11. ACD
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
12．45 13． 14.3
极大值 ，极小值 ..................................................................................15'
【详解】由 可知：
当 为偶数时， ，当 为奇数时， ， 17.【答案】(1) ， (2)
所以 ，
【详解】（1）由题意可知 ， 当 时，
即
，由此解得 . 累加得
15.【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以数列 是以 为首项，3为公比 当 时， 满足上式.........................................................................................................4'
. 当 时， ，且 ，
两式相减得 ， ，即
数列 是首项为1，公比为 的等比数列， .............................................................7'
（2）
② .........................................8'
（2）当 时，不等式可化为 ，
①-②得
变形为
同构函数 ，求导得 ，
，
所以 在 上是增函数，而原不等式可化为 ，
...........................................15'
根据单调性可得： ，
再构造 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
4 当 时， ，则 在 上单调递减，
18．【答案】(1)见解析 (2)
e
【详解】 4 4
所以 ，即满足不等式成立的b≥ ,所以 的最小值为
e e；.............................17'
因为 ，
即 ，因为 ，
所以 ， ，
19.【答案】(1)数列 为周期数列，周期为2，(2) ，(3)不存在，理由见解析
所以数列 的周期为 ，
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，显然方程无解，
，
所以不存在非零常数 ，使得 是周期数列.......................17'
所以数列 是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4'
（2）因为无穷数列 是周期为 的周期数列，且 ， ，
所以当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ，
因为 对一切正整数 恒成立，
所以当 为偶数时， ，故只需 即可；
当 为奇数时， 恒成立，故只需 即可；
综上， 对一切正整数 恒成立，常数 的取值范围为 .......................................................9'
（3）假设存在非零常数 ，使得 是周期为T的数列，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是周期为 的周期数列，
