文档内容
余姚中学 2024学年第一学期高二上期中数学试题
命题人：黄建锋 审题人：谷巨平
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
𝑥2 𝑦2
1.𝑀是双曲线 − =1上一点，点𝐹 ，𝐹 分别是双曲线的左、右焦点，若|𝑀𝐹 |=5，则
1 2 1
4 12
|𝑀𝐹 |= ( )
2
A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2
2.在各项均为正数的等比数列{𝑎 }中，𝑎 =2𝑎 +3𝑎 ，若存在两项𝑎 ，𝑎 使得√ 𝑎 𝑎 =3𝑎 ，
𝑛 6 5 4 𝑚 𝑘 𝑚 𝑘 1
1 4
则 + 的最小值为 ( )
𝑚 𝑘
7 5 9
A. B. C. D. 2
3 2 4
3．若动点P(x,y)满足方程 ( x + 2 ) 2 + y 2 − ( x − 2 ) 2 + y 2 = 3 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
x2 y2
− =1
A． 9 7 B．
4 4
x9
4
2
+
y7
4
2
= 1
C．
x
8
2
+
y
4
2
= 1 D．
x
1
2
6
−
y
1
2
2
= 1
4．阅读材料: 在空间直角坐标系 O x y z 中, 过点P(x ,y ,z )且一个法向量为n=(a,b,c) 的平
0 0 0
面的方程为 a ( x − x
0
) + b ( y − y
0
) + c ( z − z
0
) = 0 . 阅读上面材料,解决下面问题: 已知平
面的方程为2x− y+z =2, 点M(−1,2,1), 则点 M 到平面的距离为（ ）
A.
5
1
1
0
0
2
2 102 5 6 6
B. C. D.
34 6 6
5. 已知直四棱柱ABCD−ABC D 的底面
1 1 1 1
A B − C D 为矩形, A B = 1 , B C = 3 ,且
1 2
CM = MB ,若点B到平面ABD 的距离为 , 则点C到直线
1 2 1 1 1 2
A M 的距离为（ ）
A. 3 0 B.
3
2
0
C. 5 D. 26. 长方体 A B C D − A B C
1
D
1
， A B = B C = 1 ，BB =2，动点
1
P 满足 B P B C B B
1
( , [ 0 ,1 ] ) = + ，
A P ⊥ B D
1
，则二面角 P − A D − B 的正切值的取值范围是（ ）
A．
0 ,
1
4
B．
0 ,
1
2
C．
1
4
,
1
2
D．
1
2
,1
7. 若圆 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 1 0 = 0 上至少有三个不同的点到直线 l : a x + b y = 0 的距离为 2 2 ，
则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A .
1 2
,
5
1 2
B .
9
,
5
1 2
C .
1 2
,
5
1 1
D .
9
,
5
1 1
8. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm,开口直径为8cm,旅客使用纸
杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（ ）
A .
3
7
7
B .
3
1
1
3
3 3 17
C.
17
D .
5
2
2
2
2
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计18分。每小题给出的四个选项中, 有多项
符合题目要求,。全部选对得 6分, 选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。
9.(多选题)已知曲线𝐶：𝑎𝑥2+𝑎𝑦2−2𝑥+4𝑎2𝑦=0，下列结论正确的是 ( )
A. 当𝑎 =0时，曲线𝐶是一条直线 B. 当𝑎 ≠0时，曲线𝐶是一个圆
C. 当曲线𝐶是圆时，它的面积的最小值为2𝜋 D. 当曲线𝐶是面积为5𝜋的圆时，|𝑎|=1
𝑥2 𝑦2
10.(多选题)已知椭圆𝐶： + =1的左、右焦点分别为𝐹 ，𝐹 ，点𝑃是椭圆上的一个动点，则
1 2
4 3
以下说法正确的是 ( )
A. △𝐹 𝑃𝐹 的周长为6 B. 若∠𝐹 𝑃𝐹 =60°，则△𝐹 𝑃𝐹 的面积为√ 3
1 2 1 2 1 2
1 2 9
C. 椭圆𝐶上存在两个点𝑃，使得∠𝐹 𝑃𝐹 =90° D. + 的最小值为
1 2
2|𝑃𝐹1| |𝑃𝐹2| 8
11.|𝑥|+|𝑦|称为点𝑃(𝑥，𝑦)的“𝛿和”，下列说法正确的是 ( )
A. “𝛿和”为1的点𝑃(𝑥，𝑦)的轨迹围成的图形的面积为2
B. 设𝑃是直线2𝑥−𝑦−4=0上任意一点，则点𝑃(𝑥，𝑦)的“𝛿和”的最小值为2C. 设𝑃是直线𝑎𝑥−𝑦+2=0上任意一点，则使得“𝛿和”最小的点有无数个的充要条件是𝑎 =1
D. 设𝑃是椭圆𝑥2+
𝑦2
=1上任意一点，则“𝛿和”的最大值为√ 3
2
三、填空题: 本大题共 3小题, 每小题 5 分, 共 15分。
12.已知数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 =3𝑛−2，则𝑎 =__________．
𝑛 𝑛 𝑛
13.如图，两个正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐷𝐸𝐹的边长都是2，且二面角
𝐴−𝐶𝐷−𝐸的大小为60°，𝑀，𝑁为对角线𝐴𝐶和𝐹𝐷上的动点，
且满足𝐴𝑀 =𝐹𝑁，则线段𝑀𝑁长度的最小值为 ．
14.已知双曲线 C :
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) , 若双曲线不存在以点(2a,a)为中点的弦，则双曲线离
心率 e 的取值范围是 。
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在等差数列 { a
n
} 中， a
3
= 7 , a
9
= − 5 , { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
．
(1)求数列 { a
n
} 的通项公式；(2)求 S
n
取最大值时 n 的值；(3)设 T
n
= | a
1
| + | a
2
| + | a
3
| + + | a
n
| ，求 T
n
．
16. 已知数列{𝑎 }满足𝑎 =3，𝑎 =2𝑎 −2．
𝑛 1 𝑛+1 𝑛
(1)求证：{𝑎 −2}为等比数列；
𝑛
(2)求数列{𝑛𝑎 }的前𝑛项和𝑆 ．
𝑛 𝑛
17. 如图，平面四边形ABCD中， A B = 8 ， C D = 3 ，AD=5 3，ADC=90， B A D = 3 0 ，点
E，F满足 A E =
2
5
A D
1
，AF = AB，将△AEF 沿EF对折至 PEF，使得PC=4 3．
2
(1)证明： E F ⊥ P D ；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．18.已知𝐹是抛物线𝐶:𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点，𝐴是𝐶上在第一象限的一点，点𝐵在𝑦轴上，𝐴𝐵 ⊥𝑦
轴，|𝐴𝐵|=2，|𝐴𝐹|=3．
(1)求𝐶的方程；
(2)过𝐹作斜率为𝑘的直线与𝐶交于𝑀，𝑁两点，MON 的面积为√ 5(𝑂为坐标原点)，求直线𝑀𝑁的
方程．
19.已知平面上的动点𝑀(𝑥，𝑦)与定点(1,0)之间的距离和动点𝑀到定直线𝑥 =2的距离的比是常数
√ 2 ，记动点𝑀的轨迹为曲线𝐶，直线𝑙与曲线𝐶交于𝑃(𝑥 ，𝑦 )，𝑄(𝑥 ，𝑦 )两个不同的点，𝑂为坐
1 1 2 2
2
标原点．
(1)若直线𝑙的方程为𝑦 =2𝑥+2，求△𝑂𝑃𝑄的面积；
(2)若△𝑂𝑃𝑄的面积为√ 2 ，证明：𝑥2+𝑥2和𝑦2+𝑦2均为定值．
2 1 2 1 2
