文档内容
合肥一六八中学 2025 届高三 10 月段考试卷
数学
考生注意：
1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ， 均为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．－2 C．－1 D．
4．已知实数a，b，c满足 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 15米，开始时需将树苗集中放
置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所
走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A．（1）和（10） B．（4）和（5） C．（5）和（6） D．（4）和（6）
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义在 R 上的奇函数 ，且对任意实数 x 都有 ， ．若
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知O为坐标原点，点 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．三次函数 叙述正确的是（ ）
A．当 时，函数 无极值点 B．函数 的图象关于点 中心对称
C．过点 的切线有两条 D．当a<－3时，函数 有3个零点
11．已知 ，对任意的 ，都存在 ，使得 成立，
则下列选项中， 可能的值是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知复数 与3i在复平面内用向量 和 表示（其中i是虚数单位，O为坐标原点），则
与 夹角为______．13．函数 在 上的最大值为4，则m的取值范围是______．
14．设a、b、 ，则 的最大值是______．
四、解答题（本大题共 5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（13分）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（1）求角A；
（2）已知 ，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求出 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③：AC边上中线的长为 ．
（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．）
16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/ ，年用气量为 ．本年度计划将天然气单价下调到
2.55元/ 至2.75元/ 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/ ，下调单价后新增用气量
和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/ ．
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/ ）的函
数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））
（2）设 ，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?
17．（15分）已知函数 （a为常数，且 ， ），且 是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若 ，都有 成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求函数 在 处切线方程；（3）若 有两解 ， ，且 ，求证： ．
19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．
（2）①已知 ，都是正数，求证： ；
②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥一六八中学 2025 届高三 10 月段考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C C B B C A C AC ABD AC
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【答案】D
【解析】 ，∵ ，∴ ．故选D．
2．【答案】C
【 解 析 】 ∵ “ ” ， ∴ 平 方 得 ， 即
，则 ，即 ，反之也成立．故选C．
3．【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ， ， ，所以数列 的周期为3，所以
．故选C．
4．【答案】B
【解析】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，当 ， ， 时， ， ， ，故C错误；
对于D，因为 ， ，所以 ，故D错误．故选B．
5．【答案】B
【解析】 ，则 ，即 ，可
得 ，解得 或 ．那么 ．故选B．6．【答案】C
【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 x，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总
和为： ．
若S取最小值，则函数 也取最
小值，由二次函数的性质，可得函数 的对称轴为 ，又∵x为
正整数，故 或6．故选C
7．【答案】A
【解析】构造函数 ， ，则 ， ，
当 时， ， 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
∴ 在 处取最小值 ，∴ ，（ 且 ），
∴ ，∴ ；
构造函数 ， ， ，
∵ ， ， ，∴ ， 在 上递增，
∴ ，∴ ，即 ，∴ ．故选A．
8．【答案】C
【解析】因为 是奇函数，所以 是偶函数，因为 ，
所以 ，令 ， ， 在R上单调递增．
又因为 且 是奇函数，所以 的周期为3， ，则 ，
所以 ，则不等式 ，
因为 在R上单调递增，所以 ，即 ．故选C．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．【答案】AC
【解析】∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
， ，易知 ，故A正确；
∵ ， ，∴ ，故B错误；
， ，
∴ ，故C正确；
， ，故D错误．故选AC．
10．【答案】ABD
【解析】对于A： ， ， ， 单调递增，无极值点，故A正
确；
对于B：因为 ，所以函数 的图象关于点 中心对称，故B正确；
对于 C：设切点 ，则切线方程为 ，因为过点 ，所以
， ，解得 ，即只有一个切点，即只有一条切
线，故C错误；
对于D： ，当 时， ， ，当 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，当 时，， 单调递增， 有极大值为 ，所以若函数 有3
个零点， 有极小值为 ，得到 ，故D正确．故选ABD．
11．【答案】AC
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∵对任意的 ，都存在 ，使得 成立，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ， 在 上单调递减．在 上单调递
增．
当 时， ， ，
，故A正确，
当 时， ， ，故B错误，
当 时 ， ， ，
，故C正确，
当 时， ， ．故错误．
故选AC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】
【解析】由题知 ， ， ，∴ ．
故本题答案为 ．
13．【答案】
【解析】当 时，函数 的图象是由 向上平移 个单位后，再向下平移 个单
位，函数图象还是 的图象，满足题意，当 时，函数 图象是由 向下
平移m个单位后，再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知 满足
题意， 时不合题意．
故本题答案为 ．
14．【答案】
【解析】不妨设 ，则 ，
，
∴ ，
当且仅当 ， ， ，即 ， ， 时，等号成立．
故本题答案为 ．
四、解答题（本大题共 5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ．
即： ，
所以 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，得 ；
（2）选条件②： ．
在 中，由余弦定理得： ，即 ．
整理得 ，解得 或 ．
当 时， 的面积为： ，
当c=5时， 的面积为： ，
选条件③：AC边上中线的长为 ，
设AC边中点为M，连接BM，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ．
整理得 ，解得 或 （舍）．所以 的面积为 ．
16．【解析】（1） ， ；
（2）由题意可知要同时满足以下条件： ，
∴ ，即单价最低定为2.6元/ ．
17．【解析】（1） ，因为 是奇函数，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ；
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ， ，
令 ， ， ，由于 在 单调递增，所以 ．
18．【解析】（1） 的定义域为 ， ，当 时， ，当
时， ，当 时， ，故 在区间 内为增函数，在区间 为减
函数；
（2） ， ，所以 处切线方程为： ，
即 ；
（3）先证 ，由（1）可知： ，要证 ，
也就是要证： ，
令 ， ，则 ，所以 在区间 内单调递增， ，即 ，再证 ，
由（2）可知曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，
，∴ 在 处取得极大值为0，
故当 时， ， ，
则 ，即 ，
又 ， ，
∴ ．
19．【解析】（1）将20分成正整数 之和，即 ，假定乘积 已经最大．
若 ，则将 与 合并为一个数 ，其和不变，乘积由 增加到 ，说明原
来的p不是最大，不满足假设，故 ，同理 ．
将每个大于2的 拆成2， 之和，和不变，乘积 ．
故所有的 只能取2，3，4之一，而 ，所以将 取2和3即可．
如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p中2的个数不超过2个．
那只能是 ，最大乘积为 ；
（2）①证明：先证： ．
令 ，则 ， ，且 ，
故 ，其中 ，
∴ ，即 ， ，∴ ．
②让n固定，设n个正实数 之和为20，
由①可知 ， ，
要是 最大， 最大即可，
令 ，其中 ， ，
∴ 时， 单调递增， 时， 单调递减，
而 ，
所以这些正实数乘积的最大值为 ．
